研究轉化與化歸思想在高考數學解題中的應用

孫寧

隨著新高考制度的實施，高考數學試題的綜合性越來越強，與學生的生活聯系也更加緊密，學生在解答試題時要能抓住試題考查的本質，把試題中隱含的數學條件轉化為熟悉的數學知識和數學方法，進而降低解決試題的難度.轉化與化歸思想是數學學習中最基本的思想方法，在高考數學解題過程中具有重要的應用，可有效解決高考數學試題，在平時的教學中教師要通過相關的練習，讓學生在審題、試題分析中領會轉化與化歸思想的應用.在高考數學試題的解決過程中，常用的轉化與化歸方法有換元轉化法、數與形轉化法、等價轉化法、補集轉化法等，運用這些方法可達到化難為易、化繁為簡的目的.

一、使陌生問題轉化為熟悉問題

在每年的高考數學試中，很多試題的題干對于學生來說是很陌生的，如果無法把陌生的問題轉化為學生熟悉的問題，則會無從下手.合理的轉化與化歸方法可以幫助學生把陌生的問題轉化為熟悉的問題，把沒見過的問題轉化為在平時的練習中遇到過的問題，讓學生在熟悉的環境中解決數學問題.如2019年高考數學試卷理科新課標Ⅱ第21題：已知點A（-2，0），B（-2，0），動點M（x，y）滿足直線AM與BM的斜率之積為-12，記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說明C是什么曲線.本題中的陌生問題是曲線不是恒等變形的，熟悉的問題的曲線方程的求解，在解題過程中需要把恒等的變形通過添加條件轉化為不恒等的變形.答案：曲線C的方程為x24+y22=1（|x|≠2），或者x24+y22=1（y≠0），所以C為中心在坐標原點，焦點在x軸上的橢圓，且不含左右頂點.

二、使抽象問題轉化為具體問題

抽象性是高中數學知識典型的特點，特別是在新高考制度改革后，抽象性的試題比例增加，學生在解答此類問題時需要把試題情境中給出的抽象條件轉化為具體的、形象的數學條件，使已知條件之間的關系明朗化，多用于抽象函數問題的解決，是轉化與化歸思想和數形結合思想融合的體現.如2019年高考數學試卷理科新課標Ⅰ第5題：函數f（x）=sinx+xcosx+x2在[-π，π]的圖像大致為（ ?）.

本題考查的是函數奇偶性的判斷，直接使用奇偶性函數的性質只能排出A項，另外三項需要使用特殊值法把抽象的問題轉化為具體的問題，本題中的特殊值可取fπ2，判斷本題選D.

三、使未知問題轉化為已知問題

轉化與化歸思想在高中數學解題過程中的重要應用方式，是把試題中包含的不知道的知識和方法轉化為學生已經知道的知識和方法，即可使未知問題轉化為已知問題，這也是問題解決的實質.高考數學試卷中的試題中設置的問題很多看似與已知條件關聯不大，但深入探究便可發現，我們可以把已知條件一步步進行轉化，逐漸與所設問題聯系起來，探究的過程是環環相扣的，后續的問題解決需要運用已知條件推導出的相關條件，進而把未知問題轉化為已知問題.如2019年浙江高考數學試卷第20題：設等差數列{an}的前n項和為Sn，a3=4，a4=S3，數列{bn}滿足：對每個n∈N*，Sn+bn，Sn+1+bn，Sn+2+bn成等比數列.（1）求數列{an}、{bn}的通項公式;（2）記Cn=an2bn，n∈N*，證明C1+C2+…+Cn<2n，n∈N*.本題主要考查數列通項公式的求解，第一小題可根據{an}的首項和公差求出{an}的通項公式，然后結合已知條件可確定{bn}的通項公式;第二小題的解答則需要根據第一小題的結果進行放縮，然后再對不等式進行轉化，即可對題中的不等式進行證明.

總之，學生在解答高考數學試題中遇到難題是必然的，教師能做的便是在平時的練習中訓練學生的心態，任何問題都有其解決辦法，我們只要把試題中涉及的問題不斷轉化，將陌生的問題轉化為熟悉的問題，將抽象的問題轉化為具體的問題，將未知的問題轉化為已知的問題，降低試題的難度，就能順利解答問題.