最短路徑問題的變式與探究

袁玉曉 張麗

最短路徑問題是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中較為常見的問題，本節(jié)內(nèi)容是對(duì)“將軍飲馬”問題進(jìn)行變式設(shè)計(jì)，開展對(duì)“最短路徑問題”的課題研究，從中讓學(xué)生體會(huì)轉(zhuǎn)化思想在解決實(shí)際問題中的重要作用.

一、建立模型

以課本中的將軍飲馬問題（如圖1）為基礎(chǔ)，教師提出問題，啟發(fā)學(xué)生思考，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，將草地、家兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河抽象為一條直線，這個(gè)問題是從草地出發(fā)到河邊飲馬再回到家（如圖2），也就是線段AC、BC的和.到河邊飲馬的地點(diǎn)有多個(gè)，設(shè)點(diǎn)C是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上面的問題就轉(zhuǎn)化為C在直線l什么位置時(shí)AC+BC的值最小.

以將軍飲馬問題為基礎(chǔ)，啟發(fā)學(xué)生思考，理解題意，畫出圖形，并將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，以便于更好地解決問題.

二、解決問題

如圖3，如果B地位于河對(duì)岸，如何在直線l上找到一點(diǎn)C，使線段AC與CB的和最小？學(xué)生會(huì)很自然地想到“兩點(diǎn)之間線段最短”，連接AB與直線l的交點(diǎn)即為所求.這個(gè)問題大部分學(xué)生都能掌握，如何遷移到我們剛才的問題呢？

受到啟發(fā)，學(xué)生會(huì)將新舊知識(shí)產(chǎn)生聯(lián)想，想到用“兩點(diǎn)之間線段最短”去解決，若把曲線轉(zhuǎn)化為直線，那么兩條線段的和不就最小了嗎？接下來讓學(xué)生自主探究、合作交流，與教師的適當(dāng)點(diǎn)撥相結(jié)合，展示分析過程.根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和軸對(duì)稱，學(xué)生會(huì)想到只要做出點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，就滿足了BC等于B′C，再用問題 圖5一的方法，連接AB′，線段與直線l的交點(diǎn)就是我們要求做的點(diǎn)，如圖5所示.

學(xué)生對(duì)于最短路徑問題無從下手，通過以上解決問題的方法進(jìn)行總結(jié)，運(yùn)用軸對(duì)稱的性質(zhì)，將“同側(cè)”難以解決的問題，轉(zhuǎn)化為“異側(cè)”容易解決的問題，學(xué)生體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，起到突破難點(diǎn)的作用.

讓學(xué)生回顧總結(jié)，體會(huì)軸對(duì)稱的“橋梁”作用，感悟數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，明確解題的方法與策略，為后面進(jìn)一步的學(xué)習(xí)探究做準(zhǔn)備.

三、運(yùn)用新知

如果題目中再多一個(gè)動(dòng)點(diǎn)呢，要找到MN兩點(diǎn)的位置使路徑最短，也就是三條不在同一條直線上的線段轉(zhuǎn)化到一條直線上，學(xué)生會(huì)想到分別做A的對(duì)稱點(diǎn)，連接兩對(duì)稱點(diǎn)，從而得到了兩點(diǎn)的位置和最短的路徑.此題由一個(gè)動(dòng)點(diǎn)上升到兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，對(duì)學(xué)生提出了更高的要求和挑戰(zhàn)，但是符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

四、拓展新知

想一想：如圖，如果從A地出發(fā)，到一條平直的河邊a的某一地方飲馬，然后沿著河邊行走一定的路程，再來到B地，如何在河邊找到一點(diǎn)可使所走的路線全程最短？

引導(dǎo)學(xué)生分析行走一定的路程的含義，再提出如下問題：

（1）要使所走的路線全程最短，實(shí)際上是使幾條線段之和最短？

（2）如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”的數(shù)學(xué)問題.

在“將軍飲馬問題”的背景下進(jìn)行改編，有造橋選址問題的影子，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)，讓學(xué)生的能力得到進(jìn)一步鍛煉與提高.

問題教學(xué)是啟發(fā)學(xué)生思維的源泉和動(dòng)力.以問題為核心的教學(xué)，是通過引導(dǎo)學(xué)生分析問題、解決問題，培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要方式，通過設(shè)置有層次性、靈活性的問題，調(diào)動(dòng)學(xué)生探索的積極性.數(shù)學(xué)問題的解決，環(huán)環(huán)相扣，之間有著密切的聯(lián)系.因此，學(xué)生學(xué)習(xí)要善于觀察、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)知識(shí)之間的聯(lián)系，把新知識(shí)與舊知識(shí)進(jìn)行融合，轉(zhuǎn)化問題和解決問題是深度學(xué)習(xí)最核心的特征，學(xué)生要根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)，在相似的問題情境中舉一反三，才能夠更好地理解問題、轉(zhuǎn)化問題、解決問題.