坐標平面上的二重積分的數值算法

何洪英，張世

(西華師范大學，四川南充 637000)

積分算式決定于積分區域，幾個世紀以來，由于沒有重積分的數值算法，文獻和教材中二重積分的積分區域都相當簡單，用極坐標表示的積分區域常常只限于圓，所以本文作了較為詳細的介紹.

1 坐標平面上的二重積分算式和通用數值計算公式

坐標平面分為xOy平面，yOz平面，zOx平面和rOθ平面，這里只介紹xOy平面和rOθ平面，且只介紹xOy平面和rOθ平面上的積分并將其簡稱為二重積分.

xOy平面和rOθ平面上的二重積分的一般算式為：

(1)

(2)

(3)

二重積分與積分變量名無關，所以只須考慮式(1)和式(3).

能找到理論解的定積分不多.能找到理論解的二重積分更少，而且沒有通用算法，無法用計算機計算.

定理1當h1=(x2-x1)/n1→0，h2=(g2(x)-g1(x))/n2→0時，

(4)

證明：二重積分理論解的確定過程為，先將外層積分變量視作常量對內層積分積分，將結果作為新的被積函數對外層積分變量積分.

式中當k2為偶數時v=2，為奇數時v=1.

若用復合牛頓積分公式積分，當k1為奇數時v=1,為偶數時v=2.

證畢.

(5)

定理2 當h1=(r2-r1)/n1→0，h2=(g2(r)-g1(r))/n2→0時，若用復合牛頓積分公式計算，則

(6)

式(4)與被積函數無關，令f*(x,y)=xf(x,y)，則有

若用復合高斯積分公式，則有

高斯積分公式中高斯點與所選正交多項式不同而不同，本文只用高斯——勒讓德積分，即只選勒讓德正交多項式.

欲行積分須先有算式，二重積分算式由被積函數和外層積分上、下限(外層積分變量所取最大值和最小值)及內層積分的上、下限函數組成.式(1)和式(3)與被積函數無關，而且被積函數是用戶給定的，所以不必考慮，后者由積分區域決定.

積分區域分為可直接寫出積分算式的區域和須分割成若干子區域，各子區域均可寫出積分算式的區域兩類.

2 可直接寫出積分算式的積分區域及算例

這類區域共有八類.

(1) 積分邊界為用直角坐標表示的有一邊平行于x軸或y軸的曲邊三角形.

計算結果如下：

n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值100100-145.209 293500500-145.044 3161 0001 000-145.041 806

(2) 積分區域為一對邊平行于x軸或y軸的四邊形.

計算結果如下：

n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值10010082.544 27350050082.649 1991 0001 00082.652 512

(3) 積分區域為一邊是圓弧，另兩邊是任意兩條用極坐標表示的相交曲線(交點的r值不是區域的最大值，就是最小值)所圍成的曲邊三角形.

計算結果如下：輸入a=2.5

n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值1001000.182 0495005000.182 0631 0001 0000.182 064

(4) 一對邊為同心圓弧，另一對邊是用極坐標表示的曲線所圍成的曲邊四邊形.

計算結果如下：輸入a=2.5

n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值1001000.950 2715005000.950 3101 0001 0000.950 311

(5) 積分區域為曲邊兩邊形，兩交點的x坐標或y坐標分別是積分區域的最大值和最小值.

式中θ是方程a(θi+sinθi)-xi=0(i=0,1,…,n-1)的根.

顯然θ0=0，θn1=2π，積分計算中要計算n1-1個根，文中用牛頓法計算，由于θi>θi-1，計算θi時，初值取θi-1+ε，ε

計算結果如下：當eps=0.000 001 eps1=0.000 1

n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值1001001.517 4185005001.537 1901 0001 0001.539 658

這是一廣義積分，由于e1002已相當接近0，所以實算時外層積分的上、下限分別取100和-100.

計算結果如下：

n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值100100-0.571 325500500-0.694 2541 0001 000-0.694 253

(6) 積分區域是用極坐標表示的曲邊兩邊形，兩交點的r坐標分別是積分區域的最大值和最小值.

計算結果如下：輸入a=2.5

n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值1001003.158 7075005003.161 8051 0001 0003.162 002

(7) 積分區域為用直角坐標表示的封閉曲線函數.

計算結果如下：輸入x0=2，y0=3，a=5，b=4.

n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值10010062.765 37050050062.825 9041 0001 00062.829 750

算例中的積分能得到理論值的很少，本例的理論值為abπ=62.83185，計算值與理論值可比較.

(8) 積分區域的邊界為用極坐標表示的封閉曲線(函數).

計算結果如下：輸入a=2.5.

n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值100100180.103 879500500179.996 8951 0001 000179.990 496

只有以上八類積分區域可直接寫出積分算式.

3 須分割的積分區域及算例

(1) 積分區域為用直角坐標表示的曲邊多邊形.

將曲邊多邊形中某些邊分成多段，將一個區域變成多個子區域，總可以在每個子區域中選一邊的一個端點為核心點，將該子區域其它曲線的端點用直線相連，使其不和其它曲線相交，這樣每個子區域就變成若干個最多只有一條邊為曲線的三角形組成了.

當這些三角形中有一條邊平行于x軸或y軸時，可直接寫出積分算式并用式(4)積分.否則必有xA>xB>xC或yA>yB>yC，過點B作平行于y軸的直線，可將之分割成公共邊為平行于y軸的兩個曲邊三角形.

對于最多只有一條直線邊，該直線邊既不平行x軸又不平行于y軸，則須將其分割成兩個公共邊平行于x軸或y軸的三角形或公共邊平行于x軸或y軸的一曲邊三角形和一曲邊兩邊形，同樣可寫出積分算式和積分.

計算結果如下：

n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值100100-0.190 071500500-0.191 6521 0001 000-0.191754

(2) 積分區域邊界是由n條用極坐標表示的曲線連接成的封閉曲線.

分割方法為：選一曲線端點為坐標極點并與其它n-2個端點相連，若能生成n-2個曲邊三角形.當曲線是圓弧，則可直接寫出算式積分，否則須分割成兩塊或三塊積分.

本例用了三個算法：復合梯形積分公式，6階復合牛頓積分公式，5階復合高斯積分公式.三組計算結果如下：輸入a=2.5.

組別n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值一組100100-22.221 365500500-22.255 6131 0001 000-22.259 821二組6060-22.222 443120120-22.243 450300300-22.255 853三組5050-22.155 202100100-22.210 515500500-22.253 542

計算結果如下：

n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值1001002.106 0435005002.109 6201 0001 0002.110 072

(3) 積分區域為用直角坐標描述的曲邊兩邊形，但兩交點至少有一個的x坐標不是區域的最大值或最小值.

計算結果如下：輸入a=2.5.

n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值10101.263 45820201.263 39550501.263 386

例14積分區域如圖14所示，被積函數為x2e-y2，積分算式為：

計算結果如下：

n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值10010068.973 16850050069.432 8431 0001 00069.489 116

(4) 積分區域邊界為極坐標表述的曲邊兩邊形，一交點不是區域中的最大值.

計算結果如下：

n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值100100-0.014 133500500-0.014 13410001000-0.014 134

4 第一型空間曲面積分

第一型空間曲面積分實際上是空間封閉曲面投影到坐標平面上的積分，也屬于坐標平面積分.

這里只介紹空間曲面f(x,y,z)=f(x,y,z(x,y))=0投影到xOy平面的積分.

計算結果如下：

n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值100100554.772 736500500555.307 7821 0001 000555.341 774

5 結束語

文中只解決了坐標平面上的二重積分的計算問題，原因是尚有柱面上和錐面上的積分，以及投影在高為dz的無數微圓柱面上的積分.

文中絕大多數算例都用復合梯形牛頓積分公式計算，原因是復合梯形牛頓積分公式簡單.只有一例作者增添了5階復合高斯積分公式和6階復合梯形牛頓積分公式計算，否則不能說給出了兩組通用數值計算公式.

特別指出復合高斯積分公式不僅可用于用極坐標表示的定積分，還可用于極坐標表示的各種二重積分和三重積分，原因是定積分和重積分與積分與變量名無關.一旦給出了積分算式，各變量就失去了數學意義和物理意義，就都可按直角坐標處理.