巧用拼圖實驗感悟數形結合

焦倩玉

蘇科版初中數學教材七年級下冊第九章“整式乘法與因式分解”中，一個非常重要的思想是用不同的方法計算同一塊圖形的面積，那么它們是相等的。通過這個思想推演證實了這一章的法則和公式。課標要求學生能推導乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2，（a±b）2=a2±2ab+b2，了解公式的幾何背景，能利用公式進行簡單計算;反過來，也能利用公式法進行多項式的因式分解。

“整式乘法與因式分解”這一章中，“整式乘法”和“因式分解”是兩種互逆變形，“整式乘法”的最終結果是“和”的形式，“因式分解”的最終結果是“積”的形式，學生容易混淆。

筆者在學生完成此章的學習之后，開展了一節拼圖實驗的教學，期望學生通過拼圖實驗，探索拼圖與整式乘法、因式分解之間的內在關系，弄清這兩種變形的互逆關系及各自的功能，進一步體會數形結合的思想方法，發展幾何直觀和推理能力。

一、教學實錄

實驗工具：A型紙片（邊長為a 的正方形）、B型紙片（邊長為b 的正方形）、C型紙片（長為a、寬為b 的長方形）各若干。

1.操作與發現。

用1張A型紙片、1張B型紙片、2張C型紙片拼成如圖1的正方形。計算整個圖形的面積。

于是，可得整式乘法（a+b）2=a2+2ab+b2，因式分解a2+2ab+b2=（a+b）2。

將1張B型紙片按如圖2的方法放置于1張A型紙片上。計算陰影部分的面積。

生1：陰影部分面積是大正方形面積剪去小正方形面積，即a2-b2。

生2：把未被覆蓋部分剪開（如圖3），重新拼圖。這個新的長方形的面積為（a+b）（a-b）。

生3：把陰影部分剪成兩個一樣的梯形（如

圖4），每個梯形的上底是b，下底是a，高是（ab），總面積是（a + b ）（a - b ）2·2=（a+b）（a-b）。

于是，可得整式乘法（a+b）（a-b）=a2-b2，因式分解a2-b2=（a+b）（a-b）。

【教學說明】課標要求學生借助圖形直觀發現整式乘法，了解公式的幾何背景。借助圖形直觀，經歷“由形到數”，學生易于發現結論。使用不同的方法計算同一個圖形的面積，分別對應“整式乘法”結果“和”的形式和“因式分解”結果“積”的形式

2.操作與思考。

用1張A型紙片、4張B型紙片、4張C型紙片拼成一個正方形。計算它的面積。

生4：因為要拼一個正方形，所以它的長和寬應該相等。我將唯一的A型紙片放在左上角。跟A連接的只能是C，它們都有共同的邊a，所以我分別在A的右側和下側放了一張C，于是就發現此時的右下角缺了一個邊長為b 的小正方形，自然需要放一張B型紙片。現在我還剩下2張C型紙片和3張B型紙片，重復剛剛的過程，在這個新的正方形右側和下側放一張C，最后再把剩余的3張B型紙片補上就好了。

師：說得非常清晰！拼圖的關鍵是相互連接的邊長度相同。

由這個拼圖，可得整式乘法（a+2b）2=a2+4ab+4b2，因式分解a2+4ab+4b2=（a+2b）2。

取1張A型紙片、2張B型紙片、若干張C型紙片，使其拼成一個長方形。計算它的面積。

師：這與上一題有什么不同之處？

生5：我們不知道C型紙片的具體數量。

生6：雖然題目的條件沒有說，但是由于A型紙片和B型紙片的邊長都不相等，所以無法連接。只能在空白處補上3張C型紙片。

由這個拼圖，可得整式乘法（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2，因式分解a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）。

分別取若干張A型、B型、C型3種紙片，使其拼成一個長方形，并計算（a+b）（a+3b）。

師：讀完題后，你有什么想法？

生7：要計算（a+b）（a+3b），表明這個長方形的長為a+3b，寬為a+b。跟上一個拼圖相比，寬不變，長多了b，再在右側添加1張C型紙片和1張B型紙片。

于是，得到整式乘法（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2。

分別取若干張A型、B型、C型3種紙片，使其拼成一個長方形，并將多項式a2+10ab+9b2 分解因式。

師：你可以不用動手拼圖就得到答案嗎？

生8：（a+b）（a+9b）。我發現這3道題的多項式分別為a2+3ab+2b2、a2+4ab+3b2、a2+10ab+9b2，觀察得到ab 項的系數都比b2項的系數大1。而這個矩形的長每增加b，C型紙片和B型紙片同時增加，保持C型紙片一直比B型紙片多一張。

師：非常棒！他已經自覺地將數和形結合起來看了，關注到了多項式的系數與拼圖之間的聯系。

于是，得到因式分解a2+10ab+9b2=（a=b）·（a+9b）。

【教學說明】在操作與思考中設置了4個不同的問題。問題1明確紙片數量，要求拼一個正方形。問題2需要學生自己確定紙片的數量拼一個長方形。這兩個問題都是“由形到數”。問題3計算兩個多項式相乘，這兩個多項式分別對應長方形的長和寬。問題4將一個多項式分解因式，這個多項式每一項的系數對應不同類型紙片的數量。這兩個問題都是“由數到形”。

3.拓展與延伸

有A 型紙片、B 型紙片、C 型紙片各10 張。從中取若干張紙片（每種紙片至少取1張），把取出的這些紙片拼成一個正方形（所拼的圖中既不能有縫隙，也不能有重合部分）。你覺得可以拼出多少種不同的正方形？

（小組討論，成果匯報。）

問題的關鍵是使用的3種類型的紙片中，使用最多的同一種紙片不能超過10張。假設a 的系數為m，b 的系數為n，使用完全平方公式將（ma+nb）2 進行展開，得到m2a2+2mnab+n2b2，分別觀察a2、ab、b2 的系數m2、2mn、n2，只要它們小于等于10即可。故按順序找出6種情況如下表：

【教學說明】拓展與延伸對學生提出了更高的要求，即不動手拼圖，只借助多項式的系數和不同類型紙片之間的對應關系得到結果。由于紙片的數量是有限的，這就限制了多項式的系數的大小。再融合分類討論的思想，有邏輯地列出問題的完整答案。

二、教后反思

筆者引導學生利用3種不同類型的紙片拼圖，再現整式乘法與因式分解的情境。筆者通過弱化條件或改變條件與結論，問題設計層層遞進，引發學生深入思考。隨著紙片的數量不斷增加，學生可以發現：如果給定數量的紙片能夠拼成一個矩形，那么從整體和部分兩個角度計算這個圖形的面積可以得到一個整式乘法公式，同時與紙片面積一樣的多項式就能分解因式。學生感悟數量關系與圖形性質的相互轉化，加深了對拼圖與整式乘法和因式分解之間關系的理解。

“讓學生獲得適應未來生存與發展所必需的數學活動經驗”是義務教育階段數學課程的目標之一。數學活動經驗只有個體在親歷數學活動的過程中才能獲得。在本節數學實驗課中，學生不斷從事拼圖、計算面積等活動，通過獨立思考、合作交流，并輔以歸納總結和提升，有助于自身基本活動經驗的形成。總之，數學實驗本質上是一種解決問題的活動。教師是活動的組織者、引導者與合作者，學生才是活動的主人。要想學生真正參與到數學活動中來，教師要精心設計實驗，讓學生在探索中獲得真知，體會學習數學的快樂。