數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)觀下“概率與統(tǒng)計(jì)”高考試題研究
——以2017-2019年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)卷為例*

涂冬雪 李孝誠(chéng) (淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 235000)

1 問(wèn)題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出了六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，強(qiáng)調(diào)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中著力發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．對(duì)于數(shù)學(xué)高考命題，指出“命題應(yīng)依據(jù)學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)和課程內(nèi)容，注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查，處理好數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與知識(shí)技能的關(guān)系，要充分考慮對(duì)教學(xué)的積極引導(dǎo)作用．對(duì)于每道試題，除了要給出傳統(tǒng)的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)外，還需要給出反映相關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的水平劃分依據(jù)．”[1]

關(guān)于“概率與統(tǒng)計(jì)”高考試題的研究，總體上以“概率與統(tǒng)計(jì)”相關(guān)試題的題型分布[2]、考生錯(cuò)誤與剖析、考題特點(diǎn)與價(jià)值[3]、試題結(jié)構(gòu)等方面進(jìn)行分析，缺少數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)觀下“概率與統(tǒng)計(jì)”高考試題的分析．結(jié)合我國(guó)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平的分析，需要建立數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)觀下的試題分析框架，深入分析試題對(duì)核心素養(yǎng)的反應(yīng)情況，顯得尤為重要．

2 數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)觀下“概率與統(tǒng)計(jì)”高考試題分析框架

2.1 “數(shù)據(jù)分析”核心素養(yǎng)

數(shù)據(jù)分析是研究隨機(jī)現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)技術(shù)，是大數(shù)據(jù)時(shí)代數(shù)學(xué)應(yīng)用的主要方法，也是“互聯(lián)網(wǎng)+”相關(guān)領(lǐng)域的主要數(shù)學(xué)方法．課程標(biāo)準(zhǔn)指出，數(shù)據(jù)分析，是指針對(duì)研究對(duì)象獲取數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，形成關(guān)于研究對(duì)象知識(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．?dāng)?shù)據(jù)分析過(guò)程主要包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型，進(jìn)行推理，獲得結(jié)論．

數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)具體表現(xiàn)為學(xué)生通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，能提升獲取有價(jià)值信息并進(jìn)行定量分析的意識(shí)和能力；適應(yīng)數(shù)字化學(xué)習(xí)的需要，增強(qiáng)基于數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的意識(shí)，形成通過(guò)數(shù)據(jù)認(rèn)識(shí)事物的思維品質(zhì)；積累依托數(shù)據(jù)探索數(shù)據(jù)的本質(zhì)、關(guān)聯(lián)和規(guī)律的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．

2.2 數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平

學(xué)業(yè)質(zhì)量是指學(xué)生在完成本學(xué)科課程學(xué)習(xí)之后的學(xué)業(yè)成就表現(xiàn)．而學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)是以學(xué)科核心素養(yǎng)及其表現(xiàn)水平為主要維度，結(jié)合課程內(nèi)容對(duì)學(xué)生成就表現(xiàn)的總體刻畫．學(xué)業(yè)質(zhì)量是學(xué)生自主學(xué)習(xí)與評(píng)價(jià)、教師教學(xué)活動(dòng)與評(píng)價(jià)、教材編寫的指導(dǎo)性要求，也是相應(yīng)考試命題的依據(jù)．

數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平，是指六個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的綜合表現(xiàn)．每一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)劃分為三個(gè)水平，都是通過(guò)四個(gè)方面進(jìn)行表述(表1)．新課標(biāo)對(duì)“數(shù)據(jù)分析”學(xué)科核心素養(yǎng)的三個(gè)水平給出了具體表現(xiàn)的描述，分別為水平一、水平二、水平三．每一個(gè)水平均是通過(guò)上述的四個(gè)方面去進(jìn)行描述．

表1

2.3 分析框架

依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》對(duì)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的界定和水平的劃分，結(jié)合“概率與統(tǒng)計(jì)”的學(xué)習(xí)內(nèi)容，構(gòu)建了數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)觀下的“概率與統(tǒng)計(jì)”高考試題三維分析框架(圖1)．

圖1 數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)觀下的“概率與統(tǒng)計(jì)”高考試題三維分析框架

首先是試題結(jié)構(gòu)維度．依據(jù)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平，分為情境與問(wèn)題、知識(shí)與技能、思維與過(guò)程和交流與反思四個(gè)方面．其次是試題內(nèi)容維度．依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)容要求，分為概率(包括必修課程：隨機(jī)事件的概率、隨機(jī)事件的獨(dú)立性；選擇性必修：隨機(jī)事件的條件概率、離散型隨機(jī)變量及其分布列、正態(tài)分布)、統(tǒng)計(jì)(包括必修課程：獲取數(shù)據(jù)的基本途徑及相關(guān)概念、抽樣、統(tǒng)計(jì)圖表、用樣本估計(jì)總體；選擇性必修：成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性、一元線性回歸模型、2×2列聯(lián)表)、計(jì)數(shù)原理(排列與組合、二項(xiàng)式定理)，最后是素養(yǎng)水平維度，依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)水平劃分，分為三個(gè)水平．

3 2017-2019年“概率與統(tǒng)計(jì)”試題分析

全國(guó)卷由國(guó)家教育部考試中心命題，使用范圍廣，影響力大，備受關(guān)注．先對(duì)2017-2019年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)卷兩年的相關(guān)試題進(jìn)行編號(hào)、分類，試題指的是和概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容相關(guān)的試題，本文以2017-2019三年的全國(guó)卷(Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ)，共九套試卷中的“概率與統(tǒng)計(jì)”為例，利用分析框架進(jìn)行分析．

3.1 “概率與統(tǒng)計(jì)”高考試題的整體分析

從表2可以看出，“概率與統(tǒng)計(jì)”的內(nèi)容知識(shí)基本是以1道客觀題(5分)加上1道解答題(12分)的固定模式去進(jìn)行考查．2017-2018年無(wú)論在題型還是分值等方面都很穩(wěn)定．2019年，“概率與統(tǒng)計(jì)”的題目數(shù)量、分值均有所增加，這說(shuō)明“概率與統(tǒng)計(jì)”在高考中將越來(lái)越受到重視．

表2 2017-2019年“概率與統(tǒng)計(jì)”試題分布情況

3.2 試題結(jié)構(gòu)維度分析

在高考試題中，選擇合適的問(wèn)題情是考察數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要載體．因此，本部分主要分析“情境與問(wèn)題”方面．

表3 2017-2019年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)卷問(wèn)題與情景考查狀況分布

由表3可見(jiàn)，近三年情境主要包括現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情景、其他情景．圖2是2017-2019年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)卷“概率與統(tǒng)計(jì)”試題的情境分布情況，近三年的三套卷“概率與統(tǒng)計(jì)”試題都有現(xiàn)實(shí)情境的，共有15道題目，每種情境可分為熟悉的、關(guān)聯(lián)的、綜合的，數(shù)學(xué)問(wèn)題是指在情境中提出的問(wèn)題，從學(xué)生認(rèn)識(shí)的角度分為：簡(jiǎn)單問(wèn)題、較復(fù)雜問(wèn)題、復(fù)雜問(wèn)題．這些層次是構(gòu)成數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)劃分的基礎(chǔ)，也是數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)評(píng)價(jià)等級(jí)劃分的基礎(chǔ)．圖3表明這3年試題的問(wèn)題情境大致以現(xiàn)實(shí)情境為主，占統(tǒng)計(jì)總數(shù)的75%．

圖2 2017-2019年“概率與統(tǒng)計(jì)”試題的情境類型

圖3 2017-2019年“概率與統(tǒng)計(jì)”試題的情境分布

問(wèn)題情境可分為熟悉的、關(guān)聯(lián)的、綜合的．由表4可見(jiàn)，2017-2019年全國(guó)卷理科“概率與統(tǒng)計(jì)”高考題共有20道題目，其中10道題目的問(wèn)題情境屬于綜合的，占統(tǒng)計(jì)總數(shù)的50%．

3.3 試題內(nèi)容維度分析

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出高考命題中需要突出內(nèi)容主線和反應(yīng)數(shù)學(xué)本質(zhì)的核心概念、主要理論、通性通法、數(shù)學(xué)應(yīng)用和實(shí)際應(yīng)用．表5統(tǒng)計(jì)了考查內(nèi)容的具體情況．

表4 2017-2019年“概率與統(tǒng)計(jì)”試題的情境難度

圖4 2017-2019年概率與統(tǒng)計(jì)考查內(nèi)容分布情況

圖5 2017-2019年概率與統(tǒng)計(jì)考查內(nèi)容試題分布情況

圖4是近三年試題內(nèi)容的分布情況．其中，概率內(nèi)容(隨機(jī)事件的概率、隨機(jī)事件的獨(dú)立性、隨機(jī)事件的條件概率、離散型隨機(jī)變量及其分布列、正態(tài)分布)是主要考察內(nèi)容，其次是統(tǒng)計(jì)內(nèi)容，計(jì)數(shù)原理最少，只有2017年1道題考察過(guò)，僅占4%(圖5)．

3.4 素養(yǎng)水平維度的分析

近三年的11道客觀題的考查基本處于“數(shù)據(jù)分析”的水平一；近三年的9道解答題的考查則基本處于“數(shù)據(jù)分析”的水平二．故整體而言，近三年高考試卷關(guān)于“概率與統(tǒng)計(jì)”的命題難度基本可以達(dá)到“數(shù)據(jù)分析”的水平二．而之所以說(shuō)是“基本”，則是因?yàn)閺闹R(shí)與技能方面去看，上述的解答題可以說(shuō)達(dá)到了“水平二”狀態(tài)，但從客觀題和解答題這兩種題型的解題情況，無(wú)法確定學(xué)生是否在思維與表達(dá)這個(gè)方面上同樣達(dá)到“數(shù)據(jù)分析”的水平二．這需要繼續(xù)分析學(xué)生的答題情況．

表6 2017-2019概率與統(tǒng)計(jì)考查內(nèi)容基本情況

4 結(jié)論與建議

4.1 結(jié)論

基于數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)觀下的高考試題分析框架，對(duì)2017-2019年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)卷“概率與統(tǒng)計(jì)”試題進(jìn)行了縱向分析，結(jié)果表明：(1)近三年，特別是2018-2019年，試題均較好地反映了數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，且客觀題基本上處于水平一，解答題處于水平二；(2)試題情境設(shè)置靈活，更側(cè)重生活情景，學(xué)生熟悉情境較多，解答題主要是綜合的；(3)試題知識(shí)考查面全，重點(diǎn)突出，在考査概率知識(shí)的同時(shí)，注重滲透統(tǒng)計(jì)推斷思想；(4)試題越來(lái)越強(qiáng)化數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)文化方面的考查力度，重視數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，充分體現(xiàn)“概率與統(tǒng)計(jì)”知識(shí)在生活中的應(yīng)用；(5)試題越來(lái)越重視學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和數(shù)學(xué)探究能力的考查．

4.2 建議

(1)注重?cái)?shù)據(jù)分析素養(yǎng)的考查，適當(dāng)降低計(jì)算量、計(jì)算復(fù)雜度

關(guān)于“概率與統(tǒng)計(jì)”內(nèi)容的試題設(shè)置要注重讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到確定性數(shù)學(xué)和不確定性數(shù)學(xué)之間的差異，理解并接受不確定性思維，并懂得運(yùn)用統(tǒng)計(jì)思想和概率模型思想去解決問(wèn)題．也就是說(shuō)命題應(yīng)側(cè)重讓學(xué)生了解統(tǒng)計(jì)方法的基本思想及其應(yīng)用[4]．新課標(biāo)提出通過(guò)四個(gè)方面去綜合評(píng)價(jià)學(xué)生“數(shù)據(jù)分析”核心素養(yǎng)水平，實(shí)質(zhì)就是降低計(jì)算量、計(jì)算難度，避免學(xué)生單純記憶和機(jī)械套用公式進(jìn)行計(jì)算，是進(jìn)一步對(duì)學(xué)生在思維與表達(dá)、交流與反思等方面提出具體的要求，這就要求試題設(shè)置要考察學(xué)生是否很好地理解了不確定性思維并初步運(yùn)用其相關(guān)思想去解決問(wèn)題．對(duì)于每一道試題，命題人除了要給出傳統(tǒng)的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)外，還需要給出反映相關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的水平劃分依據(jù)．綜合上述分析，試題設(shè)置應(yīng)注重?cái)?shù)據(jù)分析素養(yǎng)的考查，適當(dāng)降低計(jì)算量、計(jì)算復(fù)雜度．

(2)設(shè)置開(kāi)放題，綜合考查“數(shù)據(jù)分析”素養(yǎng)

在上述對(duì)于解答題的分析當(dāng)中，我們只能根據(jù)學(xué)生的解題情況去判斷知識(shí)與技能這個(gè)方面上的水平，難以確定學(xué)生是否運(yùn)用了相應(yīng)水平的思維去解題，而上述也得到：未來(lái)的高考命題很有可能會(huì)從多個(gè)維度去綜合考查學(xué)生的學(xué)業(yè)質(zhì)量水平．因此建議，設(shè)置合理的開(kāi)放題，可以從答題情況和答題理由中觀察學(xué)生的思維和表達(dá)過(guò)程，顯然這種類型的命題形式可以從多個(gè)維度上綜合反映學(xué)生“數(shù)據(jù)分析”核心素養(yǎng)的水平，故認(rèn)為未來(lái)的高考命題可能會(huì)出現(xiàn)這類型題目．但由于開(kāi)放題是遵循滿意原則和加分原則進(jìn)行評(píng)分(達(dá)到測(cè)試的基本要求視為滿意，有所拓展或創(chuàng)新可以根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行加分)，由于這種評(píng)分方式往往會(huì)帶來(lái)評(píng)分的公平性問(wèn)題，故命題時(shí)往往要考慮這類題目閱卷的公平性和可操作性．

(3)設(shè)置綜合題，對(duì)不同數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的綜合考查

前面提到未來(lái)的高考命題會(huì)趨向于從多個(gè)方面去綜合考查學(xué)生的“數(shù)據(jù)分析”學(xué)科核心素養(yǎng)．而這里講的不同數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的綜合考查，則是指一道高考題目綜合考查了不同的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，其中不同數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是指新課標(biāo)提出的六種數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．比如在一道估計(jì)總體性質(zhì)的題目中，用樣本空間的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征或性質(zhì)，是統(tǒng)計(jì)建模的基本思想和基本手法，既可以表現(xiàn)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)水平，也可以表現(xiàn)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平，像這道題目在考查了“數(shù)據(jù)分析”素養(yǎng)的同時(shí)，也考查了“數(shù)學(xué)建模”素養(yǎng)．未來(lái)的高考命題可以對(duì)不同數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)進(jìn)行綜合考查．