HPM視角下智能計算思維的培養案例設計*

朱樹金 (華東師范大學教師教育學院 200062)

圖靈獎得主Edsger曾說：“我們所使用的工具影響著我們的思維方式和思維習慣，從而也將深刻影響著我們的思維能力．”[1]隨著人工智能時代的到來，智能計算思維(ComputationalThinking)被視為21世紀的關鍵技能，是信息化社會中數字公民所應該具備的基本素養．智能計算思維的發展對學科教育產生了巨大的沖擊，蔡金法和徐斌艷2016年提出將智能計算思維作為數學核心素養納入數學課堂教學之中[2]，智能計算思維與《普通高中數學課程標準(2017)》中的數據分析和運算能力有著密切相通之處，并且為上述能力的培養提供理論上的支撐與實踐層面的引領．

數學史中存在豐富的與智能計算思維有關的材料，圍繞相關的數學史問題進行設計，貫穿于不同學段的數學課程之中，不失為系統培養學生智能計算思維的良策．因此本文首先對智能計算思維的概念進行了介紹，并基于數學史進行培養學生智能計算思維的案例設計．

1 智能計算思維

目前關于智能計算思維的概念界定沒有明確統一的觀點，美國教育家Rapert在1996年第一次初步界定了智能計算思維的定義，自2006年周以真提出智能計算思維的正式定義之后學者們紛紛根據自己的學科背景和理解對智能計算思維進行多角度的定義與補充．魏茵托普(Weintrop)等研究者通過大量的文獻分析、專家訪談、數學課堂教學觀察及編碼分析，提出數學教育中的智能計算思維要素分類，它包括數據實踐、建立模型與模擬實踐、智能計算問題解決實踐、系統思維實踐四個要素[3]，并且對每個思維要素分別進行了界定(表1)．

表1 數學教育中智能計算思維的要素分類

2 案例設計

2.1 求最大公約數案例設計

(1)新課引入

設計意圖數學史家瓊斯(Jones)說：“數學史中具有豐富的可用于課堂的精彩有趣的歷史話題，研究的原因、最早的解法是什么、最后的解法是什么、最好的解法又如何，都能激發學生的興趣．”[4]本案例選取祖沖之計算閏月的數學史材料創設情境，引出本堂課需要解決的問題：怎樣求兩個數的最大公約數.一方面可以引發學生的好奇心與求知欲，另一方面古人收集數據、提出問題、解決問題的實踐可以培養學生的智能計算思維．

(2)方法探究

教師設計從簡單到復雜的問題串，講解求最大公約數

的方法．

問題1 求18和12的最大公約數．

由于18和12兩個數較小，根據學生的回答總結質因數分解法，把每個數分別分解質因數，再把各數中的全部公有質因數提取出來并相乘，所得的積就是這幾個數的最大公約數．由于質因數分解法和短除法有相同的原理，教師繼續介紹短除法．

問題2 《九章算術》第一卷第六題：又有九十一分之四十九．問：約之得幾何？

教師首先將此作為變式讓學生使用質因數分解法和短除法進行計算，鞏固剛才講過的方法，然后讓學生思考：當古人在沒有質因數的概念時他們會如何解決這個問題？思考后給出《九章算術》中的約分術：可半者半之，不可半者，副置分母、分子之數，以少減多，更相減損，求其等也．

問題3 求8 251和6 105的最大公約數．

學生大多選擇更相減損術來求解兩個較大數的最大公約數．之后教師講授歐幾里得的輾轉相除法：用較大數除以較小數，用出現的余數(若不為0)去除除數，再用出現的第二個余數(若仍不為0)去除第一個余數，如此反復，直到最后余數是0為止，那么最后的除數就是這兩個數的最大公約數．

設計意圖設計問題讓學生學習求最大公約數的質因數分解法、更相減損術、輾轉相除法．問題2讓學生站在古人的角度思考問題，體會知識的發生過程；問題3選擇兩個較大的數揭示知識的必要性，有助于學生更好地理解與接受知識．

(3)思維擴展

教師提供變式讓學生選擇合適的方法進行解題，并思考三種方法的異同．學生回答后教師引導學生總結更相減損術和輾轉相除法的算法步驟，通過自然語言或者程序框圖的形式呈現出來．之后教師讓學生思考：如果讓你來進行手動計算你會選擇什么樣的方法？如果計算機進行編程的話應該選擇什么樣的方法？

對于手動計算，當兩個數較小時傾向于選擇質因數分解法，當兩個數較大時由于輾轉相除法比更相減損術步驟更少，因此更加傾向于選擇輾轉相除法.但是計算機做乘除運算會比做加減運算慢得多，因此更相減損術在計算機上更為適用．

設計意圖有研究通過剖析典型的智能計算思維教學案例，發現不使用計算機而采取適當的教學活動同樣可以有效促進學生對計算思維的掌握和理解．本節課為小學學段的數學課程，學生認知水平較低，相關的計算機知識儲備不足，因此選擇算法總結的教學方式而并未運行計算機程序讓學生體會傳統的數學思維與智能計算思維之間的異同．

(4)課后活動

教師布置兩個課后活動，學生可以根據自己的興趣進行選擇．

活動1：本節課學習了農歷的閏月是怎樣計算的，學生課下通過查閱書籍、上網查閱資料等方式探究公歷的閏年是怎樣計算的，并形成報告．

活動2：本節課學習了求最大公約數的幾種方法并且分析了它們之間的異同，思考了計算機會選擇什么樣的算法，但是計算機求最大公約數的Stein算法與更相減損術具有一定的差別，學生通過查閱書籍、上網查閱資料等方式分析其與更相減損術之間的差別．

設計意圖活動1密切聯系實際生活，幫助學生學會用數學的眼光看待問題，活動2讓學生實際感受計算機的算法與程序，幫助擴展學生的視野，培養學生的智能計算思維．

2.2 計算圓周率π案例設計

(1)新課引入

教師設置課前討論環節：圓周率π是一個在數學及物理中重要的常用常數，相信同學們再熟悉不過，提到圓周率π你能想到什么？它是怎樣產生的又是怎樣被人們計算出來的呢？學生發言后播放微視頻介紹古人計算圓周率的歷史．

設計意圖M·克萊因認為：數學家探索數學知識的曲折經歷對學生有著很好的教育意義，給學生講述數學家在建立一個可觀的結構之前所經歷的艱苦漫長的道路可以讓學生頑強地去追求他所研究的問題，不會因為他自己的工作并非完美無缺而感到頹喪．通過介紹數學家計算圓周率π的發展歷史，讓學生了解歷史上數學家們發現知識解決問題時所遇到的困難、所犯的錯誤，從而對數學的學習形成正確的認識，更加自信、富有熱情地投入到數學學習中，這具有很好的德育價值．

(2)方法探究

教師介紹劉徽的割圓術：魏晉時期我國偉大的數學家劉徽創造了一個計算圓周率π到任意精度的迭代程序．劉徽從圓內接正6邊形開始，逐次做圓的內接正12邊形、24邊形、48邊形，并反復使用勾股定理求得正多邊形的邊長，使用其創造的多邊形面積公式求得多邊形的面積．“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”，隨著分割次數的增加，圓內接正多邊形的面積越來越接近圓的面積，從而求得圓周率π．

圖1

探究1證明劉徽求正多邊形面積公式：正2n邊形面積 = 正n邊形半周長×半徑．引導學生分小組利用“出入相補”原理證明劉徽求正多邊形面積公式的特殊情況：正12邊形面積 = 正6邊形周長的一半×半徑，由圖1可證，證明過程略．

探究2教師引導學生計算半徑為1的圓內接正12邊形的邊長和面積，不要求求出數值．作圖如圖2，計算過程如下：

求得圓內接正12邊形的邊長為AC，圓內接正12邊形的面積為3，劉徽之前人們所說的“周三徑一”就是使用圓內接正12邊形的面積代替圓的所求面積．

設計意圖劉徽的“割圓術”具有機械化的程序，是典型的用智能計算思維解決問題的機械化方法.此環節可以讓學生體會劉徽計算圓周率時的智能計算思維，感受劉徽簡潔的迭代計算方法，同時涉及勾股定理、正多邊形面積計算、出入相補原理等知識點，是興趣能力拓展和課內知識鞏固的完美結合．

圖2

(3)思維拓展

教師使用幾何畫板演示劉徽的割圓術，通過調整參數大小，圓周率的值精確度越來越高．劉徽在《九章算術注》中敘述了分割6邊形到12邊形直到192邊形，卻沒有敘述接下來的分割，但是劉輝的這個快捷算法理論上可以將圓周率計算到任意精度，教師引導學生總結劉徽“割圓術”的算法步驟．

設計意圖一方面，計算機的引入使課堂探究意味十足，為數學的思想和方法注入了更多、更廣泛的內容，使學習者擺脫繁重乏味的數學演算和數值計算，尋找解決問題的新角度；另一方面，總結算法步驟可以幫助學生更好地理解知識、理解技術服務于生活，讓問題解決更加便捷，培養使用智能計算思維解決問題的能力與意識．

(4)課后活動

教師介紹在計算機發明之前，數學家們使用幾何的方法來求解圓周率，而在計算機發明后一大批方法涌現出來，如蒲豐投針法、蒙特卡洛法、微積分的方法等．計算圓周率的方法很多，教師讓學生分小組搜集資料、查閱書籍，尋找有什么方法可以用來計算圓周率，并選擇一種感興趣的方法進行模擬，形成報告．

設計意圖課后探索是課堂的延續與升華.由于時間和課時安排，教師只能選擇有代表性的方法在課堂上展示分析，課下的自主學習可以幫助學生重新梳理整合知識、拓展視野，有利于培養學生的自主學習能力．蒲豐投針等實驗包含構造分析數據的數據實踐、利用計算機進行模擬的實踐等，可以很好地培養學生的智能計算思維．

3 數學史融合方式及其與智能計算思維間的聯系

對案例中數學史在教學中的運用方式進行分析(表2)，數學史在整體性重構后融入到培養學生的智能計算思維的教學中，教學過程可以很好地涉及學生智能計算思維的各組成要素．

表2 數學史融合方式及其與智能計算思維間的聯系

4 基于數學史培養智能計算思維的價值

基于數學史設計教學案例培養學生的智能計算思維體現了“方法之美”“知識之諧”“探究之樂”“能力之助”“德育之效”．

(1)方法之美．一方面，古人面對數學問題時給出了不同的解答方法，如求最大公約數，古人采用了更相減損術和輾轉相除法；另一方面，傳統的數學思維和智能計算思維求解問題的方法具有差異．通過問題的多種解法，學生能感受不同方法間的共性與差異，體會傳統的數學思維和智能計算思維之間的區別，呈現出“方法之美”．(2)知識之諧．一方面，學生通過學習案例中的數學史問題學習新的知識，重溫勾股定理、出入相補原理等舊知識；另一方面，通過智能計算思維解決問題可以加深學生對知識的理解，體現出“知識之諧”．(3)探究之樂．一方面，數學史為探究性活動提供了豐富的資源依托，案例中的數學史問題解法多樣、探究意味濃厚，學生也可以體會歷史上數學家對問題的探究過程；另一方面，智能計算思維與當代計算機技術緊密聯系，提供探究工具，具有豐富的探究價值與探究空間，體現出“探究之樂”．(4)能力之助．一方面，案例中的歷史問題可以培養學生提出問題、解決問題的能力，幫助學生感受古人解決問題的智能計算思維；另一方面，通過智能計算思維解決問題可以培養學生收集數據、建立模型、設計算法、評價優化等多種能力，體現出“能力之助”．(5)文化之魅．一方面，案例中的數學史問題歷史悠久，體現了數學與現實生活的聯系，展示出中國古代數學實用性強的特點，教學設計也充分體現了M·克萊因的數學文化原理；另一方面，智能計算思維的教學設計中同樣呈現了多元的學習文化，既有中國傳統文化注重循序漸進的課堂講授，也有西方注重實踐探索的探究活動．(6)德育之效．一方面，教學設計落實“立德樹人”這一思想，通過數學史培養學生形成正確的價值觀，理解數學也是在困難與挫折中不斷向前發展的，體會數學家勤奮努力、不怕挫折、勇于攀登的精神；另一方面，培養學生的智能計算思維，幫助學生體會人工智能時代智能計算思維的重要性．

5 結語

吳文俊說：“貫穿在整個數學發展歷史過程中有兩個中心思想，一是公理化思想 ，另一是機械化思想．”[5]人工智能時代這種機械化的思想更應該被人們所重視，因此本研究選取合適的史料，基于數學史進行案例設計，培養學生的智能計算思維，讓學生體會古人解決問題時所具有的計算思維方式，認識到傳統數學思維和智能計算思維之間的差異．但是在設計過程中尚未開展實證研究，因而存在值得完善的地方.正如魏茵托普所說：“這只是將計算思維引入數學課堂的第一步，要實現這個目標還需要教師、學校管理者、決策者等一系列利益相關者的支持．”[3]我們有理由相信，從HPM視角下培養學生的智能計算思維無論是對于當前的教學實踐、案例開發，還是對今后教科書的修訂和編寫，都具有重要的參考意義．