初中數學解題教學中隱含條件挖掘的有效途徑

（甘肅省和政縣第一中學，甘肅 和政 731200）

什么是隱含條件呢？通常隱含條件是隱藏在題目內部的，出題者不會直接給出，需要解題者經過一定的分析、推理、轉換才能獲得的解題條件，很多時候隱含條件往往是很多難題的突破口.廣義上來說解數學題的過程，不僅要能夠發現題目中可用的條件，更加需要從題干甚至是已知結果中不斷地挖掘和發現隱含條件，并利用隱含條件經過推理、計算和論證并最終得到解題答案的過程.數學題中的隱含條件五花八門，種類繁多，但是隱含條件的存在還是有一定的規律性.為此我們分析具體的隱含條件挖掘的方法，希望能夠對實際的教學活動提供幫助.

一、從已知條件推理挖掘隱含條件

很多隱含條件往往就存在于已知條件中，只需要經過簡單的推理便能夠得出，但是由于很多學生不注意思考，著急做題，不僅費時也導致解題過程非常的麻煩.從已知條件挖掘隱含條件的方法有以下三類：奇偶分析法、特殊值分析法、特殊公式推理法.顯然奇偶分析法，是通過等式兩邊的奇偶性找出隱含條件.而特殊值分析法，指的是能夠從已知條件中用特殊化的思想，發現隱含條件，這類題中往往會出現一定的類似于恒成立之類的字樣，我們就能將題目中的關鍵變量進行特殊化，例如設為1 或0 等容易計算的數值，從而大大地簡化解題過程.特殊公式推理法，則是指能夠從題面中發現觀察出特殊情況的存在.我們以題1 為例，重點分析特殊工時的隱含條件.

題1 已知一元二次方程x2-（k-2）x+（k2+3k+5）=0，x1 和x2 分別為它的兩個實根，求x21+x22 的最大值.

如果學生不仔細審視題目，直接解題的過程得出是19 的答案，但是這個解題過程中忽略了一個非常重要的情況，那就是這個方程既然存在實根，那么這個方程一定要滿足Δ ≥0，所以k 一定有一個取值范圍，這就是已知條件中隱含的公式和公理的發掘.

二、從結論或者公式逆推發現隱含條件

這種方式一般應用于很多的證明題中，需要解題者靈活地看待已知條件和求證之間的關系，有一定的逆推思想.這種逆推的思想是挖掘證明題中隱含條件的關鍵所在，也是很多較難的證明題的重要的解題思想.為此我們通過以下題目分析這種發現隱含條件的方法.

題2 如果1a+1b+2c=0，求證：a2+b2+c2=（a+b+c）2.

分析這一道題目，我們既可以從論證的結果出發，將等式化簡得到ab+bc+ca=0 這一隱含的條件，然后通過逆推的思想，從論證出發探索如何得到這一答案.也可以直接順向的推理.當然了這道題目難度不大，但是確是一個典型的代表，給很多類似的證明題目提供了一種解題思路，那就是能夠從論證的結果中發現隱含的條件，通過逆推的思想積極地與論證結合，分析發現兩者之間的聯系.

三、求值范圍和定義域隱含條件的挖掘

有時候，雖然題目中并沒有給出求解的范圍，但是所求的值的取值范圍是存在一定的隱含條件的，由于忽視了隱含條件中的求值范圍，所以常常會影響到解題的準確性.它不像很多隱含條件那樣，會影響解題者發現解題方向和思路，此類隱含條件如果不被挖掘出來一樣能夠解題，但是往往會干擾解題的結果.而由于忽視定義域的存在導致解題錯誤也是忽視了隱含條件的挖掘過程，兩者具有一定的相似性.下面來實際的經典題目解析.

題3 已知二次函數y=ax2+4x+a 的最大值是3，求a 的值.

如果不注意分析a 的取值范圍，那么盲目的解題過程是直接代入公式中，列出一個關于a 的二次方程，并化簡解答得到a=4 或者a=-1.但是實際上這個解答過程是錯誤的，原因在于題目明確地指出了二次函數的最大值，而當a大于零的時候，二次函數的圖像開口向上，是不存在最大值的，所以正確的答案應該是a=-1.

題4 已知二元二次方程3x2+2y2=6x，求x2+y2 的最大值.

如果不去分析已知條件的定義域，沒有發現題干中的隱含條件，粗心的學生解題的過程會是這樣的：由3x2+2y2=6x 化簡得到y2=6x-3x22，因此可以將x2+y2 化簡成一個關于x 的二次函數，但是這個過程明顯忽略了已知條件對于x 的限定范圍，所以解題的過程是錯誤的.由于y2 實際上是大于等于零的，這個時候x 有一個限定的取值范圍，上述解答忽視了這一點，因此導致錯誤的解題答案.

以上兩個例題的分析我們能夠發現，隱含條件的挖掘不僅僅出現在審題的初期，也有可能是隱含在解題過程中的，因此就需要培養學生敏銳的觀察力和分析能力，著重在數學解題教學中培養學生縝密的思維，不僅僅要細致地審題，也要在解題中不斷地思考和發現.

四、數形結合挖掘隱含條件

利用數形結合的思想挖掘隱含條件，一般都能夠大大地簡化解題過程.幾何圖形是一種直觀的圖像化的數學公式，在初中的數學解題教學過程中，教師應該積極地引導學生從公式中發現典型的幾何圖形，能從圖形中發現公式的約束條件，進而激發靈感，充分應用數形結合的思想發掘隱含條件.題5就是一道典型的數形結合挖掘隱含條件解題的過程，具體分析如下.

題5 求函數y=sinx4-cosx 的最值.

這一道題咋一看無從下手，但是如果能夠熟悉單位圓的公式，理解題目隱含的條件sin2x+cos2x=1，我們就能夠將題目大大的簡化.我們把（4，0）看作是一個定點的話，這道題目就轉化成了一個求一個定點到一個單位圓上任意一點連線斜率的最值問題.即k=0-sinx4-cosx，求k 值的最值問題，如圖1 所示.

初中數學解題教學中隱含條件非常的多，完全列舉出來是不太現實的，我們從幾類典型的題目著手，并在解題過程中穿插了挖掘隱含條件的思想和途徑，希望能夠對實際的教學過程有所幫助，為此類隱含條件的講解提供一個思想.