“系統思維 整體構建”理念下的初中數學教學
——以“絕對值與相反數（3）”為例

■劉良勇韓新正

我們經常接觸到不同的教學方法，如“精講精練，講練結合”“先學后教，當堂訓練”“啟發式教學”“探究式教學”等。也有人說“教無定法”，教學無須設計，只需要教師按照教材上課即可。其實，我們知道“教無定法”的前提是“教學有法”。所謂“教學有法”，就是在尊重課堂規律的基礎上，基于課標，把握教材內容，根據學生實際，科學設計好一節課，然后通過適當的教學形式實施具體教學。那么，如何科學設計一節課呢？“系統思維整體構建”是設計一節課的有效理念。下面，筆者以蘇科版數學“絕對值與相反數（3）”為例做詳細介紹。

一、教學背景

本節課是初中數學的第二章內容。教材中依次安排了“正數和負數”“有理數和無理數”“數軸”“絕對值和相反數”版塊，本節課是“絕對值和相反數”的第三課時。在教材的安排上，編者借助“數軸”這一重要工具來引導學生比較有理數的大小，認識絕對值和相反數的概念。

二、課堂簡錄

1.從數學的內部產生問題，引發學生思考。

師：我們一起梳理一下數軸的作用。

生1：我們借助數軸，可以比較數的大小（數軸右邊的數總比左邊的大，正數大于負數，正數大于零，負數小于零）；可以知道絕對值的概念（數軸上的數表示的點到原點的距離）和相反數的概念。

師：我們借助數軸研究了3個問題，但每一個問題中都有沒有完成的工作，大家看看有哪些？

生2：（1）在比較數的大小中，還有兩個正數以及兩個負數沒有比較大小。（2）我們知道了絕對值的概念，但任給一個數，我們還不知道如何化簡。（3）我們認識了相反數，但還沒研究相反數和絕對值的關系。

師：好！那我們這節課就研究這3個問題。

2.借助數軸（工具），歸納絕對值化簡方法。

師：絕對值表示數軸上的點到原點的距離。當我們求一個具體數的絕對值時，是否都要通過畫數軸來解決呢？

生2：應該可以，就是比較麻煩。最好能找到直接化簡的方法。

師：好主意！我們不妨就來做做這方面的工作。求一個具體的數的絕對值，大家覺得我們應該先做什么？

生3：應該先對數進行分類，也就是分成正數、負數和零來探究。否則太籠統不好研究。

師：好！按照你的思路，我們將數分成三類研究。我們不妨先從正數研究起。大家回憶一下，過去我們是怎樣研究的？

生4：從特殊到一般，逐步發現規律，最后進行歸納。

師：你怎么想到的？小學的哪些經驗告訴你的？能否舉例？

生4：我們在學習分數的基本性質、比的基本性質時都是先舉例子，然后發現規律，再把發現的規律總結起來。

師：請把發現的規律用語言和字母表示出來。

生5：當a＞0時……

3.借助數軸（工具），比較兩個正數、兩個負數的大小。

讓學生觀察數軸：

（1）比較2和1，5和3，6和4的大小。引導學生觀察兩個正數的比較和絕對值的關系。

（2）比較-2和-1，-5和-3，-6和-4的大小。引導學生觀察兩個負數的比較和絕對值的關系。

（3）引導學生得出：兩個正數，絕對值大的正數大；兩個負數，絕對值大的負數小。讓學生借助數軸闡釋理由，把數的大小比較和絕對值關聯起來。

4.鞏固數軸用法，提煉數學思想。

師：借助數軸，我們找到了絕對值化簡的方法。如果我們會利用絕對值比較兩個正數和兩個負數的大小關系了，是不是就可以不要數軸了呢？

生6：我想可以不要了，因為數軸的使命已經完成了。

師：那我們看如下例題。

已知x＜y＜0，則，試將x、-x、y、-y按從小到大的順序排列。

生7：如果不用數軸，比較麻煩。這道題用數軸很直觀，大小關系一目了然。

師：通過上述例題，大家有什么感悟？

師生總結：數軸是基本方法，體現的是數形結合的思想；利用數軸得出絕對值的化簡和數的大小比較方法是技巧；我們在學習時既要掌握根本方法，也要學習各種技巧，這是“道和術的統一”。

5.鞏固練習，師生小結（略）。

三、教學啟示

1.教學設計要有系統思維和整體建構的意識。

設計一節課的教學首先要準確理解課程標準和教材要求，系統把握課標和教材，然后結合學生實際，把一節課的內容置于一章或教材的系統中思考，整體規劃一節課的立意、實施方案，確定上課主線。

本節課圍繞“通過數軸觀察所得”這個主線展開。絕對值的化簡、數的大小比較都是圍繞這條主線進行的。完成教學任務后，教師繼續提醒學生“數軸是否就可以不用了”，不斷強化數形結合思想，整個過程思維連貫。這讓我聯想到，在教完“作線段的垂直平分線”后直接讓學生完成“過直線外一點作已知直線的垂線”。教材直接給出具體的作法，學生聽完之后恍然大悟。但學生不禁要問：“我怎么才能自然想到這一作法？”其實，我們只要緊緊扣住本節課主題“作線段的垂直平分線”即可。教師可以用連續追問的方式來設計教學環節：（1）“過直線外一點作已知直線的垂線”是個新問題，那么它怎么轉化為“作線段的垂直平分線”呢？（2）關鍵就是要在直線上找一條線段，使這條線段的垂直平分線過那一點。（3）假如我們已經作出這條線段，那么該線段和那一點又構成什么樣的三角形？（等腰三角形。）（4）怎樣作這個等腰三角形呢？（以直線外一點為圓心，以適當的長度為半徑作弧，該弧和直線有兩個交點。）這樣就自然回到作法中去了。這樣的設計始終抓住“系統思維”這一主線，使教學過程自然靈動，一氣呵成。

2.好的教學設計要關注“道”和“術”的有機統一。

好的教學既要關注本質的、一般的思想方法，又要關注知識的學習和技能的形成。比如數形結合的思想，從特殊到一般的思想，分類的思想，這是數學最本質的東西，是教學生用數學的思維思考世界，是學生應對未來世界的關鍵能力和必備品格，會影響學生一輩子。沒有數學思維、思想訓練，數學就變成了簡單的數學游戲，數學育人的效果就會大打折扣。但必要的技能訓練也不可少，比如計算、化簡、實驗操作等，沒有知識的學習和技能的訓練，就不會有數學能力的形成，數學素養就會變成空中樓閣。本節課研究絕對值如何化簡時，教師先啟發學生思考“我們是不是每次都要根據定義畫出數軸，求出一個數的絕對值呢？”，再引導學生思考“如何化簡？面對這么多的數我們該怎么辦？”，那就是先把數分為正數、負數和零三類，然后再從特殊到一般，探究三類數的絕對值的規律，得出絕對值化簡的法則，最后通過適當的習題予以鞏固。整個過程既有數學思想的引領，又有適當的練習訓練；學生既學到了數學思想，又獲得了解題技能。

3.讓學生產生問題意識是設計一節好課的起點。

學習的起點基于問題。問題既可以從生活情境中產生，也可以從數學的內部產生。教材提供的情境是的相反數是的相反數是的相反數是 ；（3）||0= 。如果我們對教材的情境不做處理，那么，教材的情境就像一種假問題情境，這樣的問題和發現不是來自學生的思考，而是來自教師的設計。教師設計的問題應該是真問題。本節課中，教師從復習數軸的作用開始，梳理出利用數軸學習了3個方面的知識。然后教師提問：“這3大方面還有哪些問題沒有解決？”啟發學生觀察思考。等學生列出新的研究問題時，教師繼續追問怎樣研究，通過運用問題串的方式引導學生思考。學生在問題的牽引下，不斷思考，不斷去尋找解決問題的方法。

4.引導學生怎樣研究比運用結論更重要。

定理、規則的教學，其主要價值應體現在定理和規則的發現過程中。特級教師卜以樓認為：研究一個定理，一般要從猜想、驗證、證明這三個方面去把握。如果離開了猜想、發現定理這兩個環節，培養學生的創新意識和實踐能力就會在教學中打折。事實上，發現一個定理的價值遠遠大于證明這個定理。本節課研究絕對值的化簡，不是簡單的告知結論，也不是讓學生填空，像計算工具一樣得出結論，而是讓學生完整參與絕對值化簡的發現過程。同樣，通過數軸比較兩個正數和兩個負數的大小，也是讓學生在實踐中得出結論，最后回歸原點——“會利用絕對值比較兩個正數和兩個負數的大小關系了，是不是就可以不要數軸了呢”，再一次強調數軸的根本作用。這樣的研究過程教會學生的不僅是知識和技能，還有研究數學的方法和使學生受用一輩子的數學思想。

系統思維、整體構建是數學教學中應該始終貫徹的基本觀點、基本策略和基本方法。我們如果能運用整體的觀點去理解、去學習、去探究數學知識和設計一節課，就會有一種統領全局，居高臨下，“一覽眾山小”的感覺和效果。