數學史在高等數學教學中的應用探討*

蘇倩倩

鄭州商學院，河南 鞏義 451200

一、前言

數學史是研究數學概念、數學方法和數學思想的起源和發展，也是與社會政治、經濟和一般文化聯系的學科［1］。HPM最早提出在數學教育教學中融入數學史的觀點，旨在通過將數學史融入數學教學中來提高數學教學水平。世界各國數學家在不同時期都相繼認可了數學史在數學教學中所發揮的作用。自此，該觀點被越來越多的人所熟悉，已有大量對其探索和研究的成果。但更多成果旨在談論數學史在數學教學中的意義，而對于數學史在數學教學中的應用的研究仍在不斷發展中。事實上，能真正把數學史高效的運用到課堂教學中的老師并不多，這就需要我們共同努力、共同探討。鑒于此，在這里筆者將自己多年的教學經驗和想法與同仁們進行分享討論。

二、數學史在概念中的應用

（一）極限的概念

極限方法是高等數學中的一種基本方法，它是為求某些實際問題的精確值而產生的。在講解極限的概念時，我們不能直接給出極限的符號定義，這樣不便于學生理解記憶。如果我們在極限概念的教學中引入數學名題就能大大的提高教學效果，同時還能夠幫助學生形成正確的數學觀。如：我國古代莊子的名句“一尺之錘，日取其半，萬世不竭。”即：一尺長的木棍，每天截掉一半，把每天截掉的長度按照天數可排成一個數列，然后將這個過程無限制的進行下去，當截取的天數無限增加趨于正無窮時，截掉的木棍長度無限接近于零，那么零就是這個數列的極限。再如：我國古代數學家劉徽用“割圓術”計算圓周率，即用正多邊形來逼近圓，當正多邊形的邊數不斷增加時，正多邊形的周長就無限的接近圓的周長，進而得到比較精確的圓周率。通過這樣的設計，能加深學生對極限概念的理解。

（二）導數的概念

微分學是高等數學的重要組成部分，而導數又是貫穿整個微分學的一個基本概念。在講授導數概念時，我們可以先介紹牛頓的貢獻，他通過研究做變速直線運動的質點的瞬時速度得到了點導數的概念。即把“平均速度”的時間間隔選的較短時，這個平均速度就近似于質點在初始時刻的瞬時速度，時間間隔越短，近似程度就越好，當時間間隔無限趨于零時，就得到了質點在初始時刻的瞬時速度，進而引出導數的概念。然后再介紹數學家萊布尼茨的貢獻，他通過求平面曲線上一點處的切線，進而得到了導數的概念。我們發現雖然兩位偉人研究問題的背景不同，但他們的實質是一樣的，即他們都是從實際問題出發得到了相同的數學概念和數學模型。由大家熟悉的導數和切線的問題逐步引出導數的概念的方法，導數的概念用學生可以理解的方式表達出來，加深學生對導數概念的理解。

（三）定積分的概念

在學習定積分概念時，我們可以先講如何求曲邊梯形的面積。阿基米德用窮竭法將曲邊梯形分成多個矩形組成的階梯圖形，小矩形的個數越多，得到了小矩形面積之和就越接近曲邊梯形的面積，當小矩形的個數趨于無窮大時，小矩形面積和的極限就是曲邊梯形的面積。另外，我們也可以從黎曼測量一塊形狀不規則的土地面積說起。為了精確的測量這塊土地的面積，黎曼采取了和阿基米德類似的方法，即將這塊土地分割成一個個小長條，把每個小長條近似看成長方形，分別計算這些長方形的面積，然后再求和，這個和就可以近似看成這個土地的面積。采用這樣的教學方法，可以提高學生的學習興趣，加深學生對定積分概念的理解。問題產生的背景和數學家各不相同的思考過程要讓學生充分了解，只有這樣學生才能獲得有效的學習方法，得到的知識也是長期持久的。

三、數學史在符號上的應用

萊布尼茨（1946-1746）是德國數學家、自然主義哲學家、自然科學家，也是歷史上最偉大的符號學家。他曾說“要發明，就得挑選恰當的符號，要做到這一點，就要用簡明的少量符號來表達或比較忠實的描繪事物內在本質，從而最大限度減少人的思維勞動”［2］。因此，他發明了一套適用的符號系統，如微分符號dx，dy和積分符號 都是萊布尼茨引進的，符號d是“差”的英文deviation的首字母，體現了微分“差”的本質，符號 是“和”的英文sum的首字母拉長得到了，充分體現了積分“和”的本質，dnx表示n階微分等等，這些符號進一步促進了微積分學的發展。另外，函數符號f（x）、求和符號、虛數符號i、自然對數底e等是另外一位符號大師歐拉引進的。通過這些故事的講解，一方面可以讓學生熟悉記憶這些符號，另一方面可以增加課堂氣氛。

四、數學史在幾何圖形中的應用

在講解定積分在平面圖形的應用中，我們會碰到很多陌生的圖形，如：阿基米德螺旋線、心形線、雙紐線等。如何讓學生記住這些圖形呢？下面以心形線為例說明。

水中貴族——百歲山是大家非常熟悉的一個產品，百歲山的廣告講述的是一個凄美的愛情故事：故事的主人公笛卡爾于1596年生于法國，黑死病爆發時他離開法國流浪到了瑞典，在街頭認識了瑞典18歲的小公主克里斯汀，并成為了她的數學老師，長期的相處使得他們彼此產生了愛慕之心，國王知道后很生氣，把笛卡爾趕出了瑞典，同時公主也被囚禁了起來。笛卡爾回到法國后給公主寫了很多信都被國王攔下了，后來染上黑死病的笛卡爾給公主寄出第13封信后就死了。笛卡爾給公主的第13封信中只有一個公式r=a（1-sinθ）。國王和瑞典的數學家都看不懂這封信，于是把信交給了小公主，公主看后立馬明白了，因為這個公式在坐標系里畫出來是一個心形的圖形。這封享譽世界的另類情書，現在還保存在歐洲笛卡爾紀念館里，紀念著這段凄美的愛情。

五、數學家的榜樣作用

數學家歐拉的命運是坎坷的，28歲時他的一個眼睛失明，56歲時雙目失明、妻子逝世。但是這樣的打擊并沒有阻止他追求數學真理，他在數學方面仍保持著高度的創造力。歐拉是歷史上寫論文最多的數學家，他的論文長且多，曾被科學院限制篇幅。在他去世之后的10年內，他的文章還在科學院的院刊上持續發表。由于歐拉擁有百折不撓的毅力、孜孜不倦的精神以及無與倫比的貢獻，后人把他譽為“數學英雄”。阿貝爾的一生也是多舛的，27歲時他便與世長辭，但是他在方程論方面的貢獻無人能比，同時還被后人譽為橢圓函數的創始人之一。數學家阿基米德在敵人破城而入、生命垂危的關鍵時刻還在研究數學問題，他的墓碑上沒有一個文字，只有一個漂亮的幾何圖形。通過講解數學家在成長過程中所遭遇的挫折，可以幫助學生正確對待學習中所碰到的困難，培養他們勇于挑戰難題，攻克難關的勇氣。

六、作業中融入數學史

上完每次課都要給學生布置作業，除了課后作業以外，還要布置和數學史有關的作業。即要求學生通過網絡、圖書館或者其他參考書籍搜索和本次課有關的數學文化內容，從而主動了解所學知識發生和發展的過程。這樣不僅可以加深學生對本次課內容的了解，還可以培養學生自主學習的能力。

七、結語

通過學習數學史，不僅可以建立學生獨立思考意識，還可以培養學生研究問題的良好習慣，學生通過對問題的思考與分析，更能對問題產生深刻印象，熟練掌握數學知識，進一步應用于解決數學問題中。學生不斷的在學習、思考、探究過程中進行循環，久而久之形成一系列的解決數學問題的思維能力，讓學生對數學產生興趣，培養學生自主學習的能力［3］。