圓錐曲線經典教學案例分析與研究

（大連市交通口岸職業技術學校 大連交通技師學院，遼寧 大連 116011）

根據“立德樹人”的人才培養目標要求，體現以“服務為宗旨，就業為導向”，基于知識目標定位于理解橢圓、雙曲線、拋物線的定義標準方程和性質、能力目標定位于能從生活專業實例中抽象出橢圓、雙曲線、拋物線的模型、并會解決實際應用問題，提升數學建模的能力、素養目標定位于通過圓錐曲線的圖像歸納性質進一步掌握屬性結合思想方法，通過小組討論解決與圓錐曲線相關應用題，養成團隊協作的意識。

一、經典教學案例賞析

經典教學案例（一）

1.生活與專業情境創設

以貼近生活和專業崗位的實例作為教學素材，通過AR 視覺感受與雙曲線相關的無線電導航定位系統，播放熱電廠建造冷卻塔的視頻，通過AR 視覺感受汽車主減速器中運用的是準雙曲面齒輪的傳動原理。

2.問題引領，形成概念

通過實驗一拉鏈法畫出雙曲線圖像和實驗二利用幾何畫板繪制雙曲線圖像直觀感知雙曲線曲線的形成過程，進而通過以上情境創設教師給出問題（1）在畫雙曲線的過程中，拉鏈的兩端的位置是固定的還是運動的？（2）在畫雙曲線的過程中，拉鏈的兩端長度之差變了沒有？ 說明了什么？（3）在畫雙曲線的過程中，拉鏈的兩端長度之差與兩定點間距離有怎樣的關系。進而得出雙曲線的定義。

3.應用舉例，鞏固新知

案例題目：已知雙曲線型冷卻塔的建模圖形如下，焦距為10，雙曲線上的點到兩個焦點的距離之差為8，求該數學建模下冷卻塔的標準方程。

生活探究：利用雙曲線相交測定位置的無線電導航系統，由發射臺（岸臺，至少3 個）和接收臺（汽車上的接收臺）組成。形成雙曲線的幾何原理是：到兩個固定點距離差為常數的動點的軌跡，是以這兩個固定點為焦點的雙曲線，平面上兩條雙曲線就可確定一點。

經典教學案例（二）

1.生活情境創設

首都北京為什么會變“放射環形”交通結構為“雙曲線”式？在北京市域內，構建通過式（by-pass）的快速交通走廊，組織交通樞紐，創造“雙曲線”式交通軸，作為溝通市域大動脈，緩解城市交通向中心的聚焦。也就是說，機動車輛盡可能在三環、四環外面行駛，避免公路車流向北京中心城區聚集。雙曲線交通結構可緩擁堵

雙曲線型冷卻塔不僅結構穩定、強度大，且造型美觀體現了雙曲線的對稱美。

2.實驗探究新知

學生以小組為單位，借助幾何畫板，類比橢圓歸納得出雙曲線的性質與研究方法，探究雙曲線的對稱性、頂點、實軸、虛軸。進而在情境創設下探究新知。

3.生活實例應用

通過貼近汽車專業的問題已知汽車主減速器中的是準雙曲面齒輪的情境創設，進而引領案例的實際應用性。借助天文望遠鏡的反向虛聚焦原理，原理提到雙曲線繞實軸旋轉一周形成一個旋轉雙曲面。從旋轉雙曲面的一個焦點發射的光線，經過旋轉雙曲面的反射，會使得光線散開，雙曲線的這種反向虛聚焦的性質，在天文望遠鏡的設計中有著重要的應用。

二、案例的反思與改進

以學生的發展為本，關注知識的形成、發展過程，重視學生對解析幾何一般研究方法的理解和領悟，促進學生學習活動中的深層次的數學思維參與，把學生思維能力的培養，良好學習習慣的培養滲透在教學的活動之中。

我們在本課程的設計與實施過程中，與專業課對接，教師擴展知識面，不斷學習，找到更多學生感興趣的對接內容。基于情境創設專業化：通過汽車雙作用葉片泵、準雙曲面齒輪、汽車前照燈軸截面等專業情境導入，激發學習興趣和職業自豪感，感受數學在生活與專業中的應用價值。實現課堂教學信息化：借助幾何畫板、GeoGebra 軟件、智慧教室、UMU 學習平臺等，幫助學生直觀形象的理解抽象概念。引導學生突破知識形成自主化：遵循“學生主體，教師主導”的教學理念，通過實踐、探索、歸納學生自主活動，經歷知識的產生過程，提升數學思維能力。更新教學以及教學手段創新，采用混合式教學模式，線上自學線下互動利用信息平臺，采取任務驅動法、實驗探究等多種教學方法，有效達成了各項教學目標，突破重難點。

需要改進的從教學形式來看，小組合作探究體現了學生是活動的主體，通過小組間的互動、合作，使學習更有效。從教學效果來看，學生是活動的主體，通過翻轉課堂這種形式增加了師生之間的互動、合作，使學習更有效率。翻轉課堂對學生學習自覺性有一定要求，教師應根據教學內容、學生學情等實際情況合理選擇，真正做到一切從學生出發。

三、教學案例實施成效

通過案例的分析，學生能從生活與專業中抽象出橢圓、雙曲線、拋物線數學模型，并應用其解決簡單的實際問題。通過數學實驗和動手折紙，學生分析問題、解決問題的能力得到提升。對不同教學內容采用有針對性的教學方法，知識目標得以達成。學以致用，在文化系列素質賽中，學生積極參與畫圖比拼大賽、最強大腦、趣味速算等，提升了邏輯推理、數學抽象、數學運算等數學核心素養。