結(jié)合子空間旋轉(zhuǎn)技術(shù)的非圓信號(hào)快速DOA 估計(jì)

王薇，張明，姚博彬，殷勤業(yè)，穆鵬程

（1.西京學(xué)院信息工程學(xué)院，陜西 西安 710123；2.西安交通大學(xué)智能網(wǎng)絡(luò)與網(wǎng)絡(luò)安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710049；3.西安微電子技術(shù)研究所，陜西 西安 710000；4.長(zhǎng)安大學(xué)電子與控制工程學(xué)院，陜西 西安 710064）

1 引言

波達(dá)方向（DOA,direction of arrival）估計(jì)作為陣列信號(hào)處理的一個(gè)重要分支，廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲吶、無(wú)線通信等領(lǐng)域[1-3]。經(jīng)典的信號(hào)DOA 估計(jì)算法有多重信號(hào)分類（MUSIC,multiple signal classification）算法、求根 MUSIC（Root-MUSIC,root-multiple signal classification）算法等[4-6]。這些算法都建立在入射信號(hào)為窄帶或?qū)拵盘?hào)的基礎(chǔ)上，未考慮入射信號(hào)自身的結(jié)構(gòu)特征[6-7]。隨著二進(jìn)制相移鍵控（BPSK,binary phase shift keying）信號(hào)、調(diào)幅（AM,amplitude modulation）信號(hào)、多進(jìn)制幅移鍵控（MASK,multiple amplitude shift keying）信號(hào)等非圓信號(hào)在實(shí)際通信中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，眾多學(xué)者將非圓信號(hào)偽協(xié)方差矩陣不為零的特點(diǎn)應(yīng)用于DOA 估計(jì)中[7-14]，通過增加陣列接收信號(hào)矩陣的維度，擴(kuò)展陣列的有效孔徑，提高DOA 估計(jì)的精度。根據(jù)非圓信號(hào)的特性，文獻(xiàn)[9]提出了非圓MUSIC（NC-MUSIC,non-circular MUSIC）算法。該算法具有超高分辨率的優(yōu)點(diǎn)，但由于引入了二維譜峰搜索，算法運(yùn)算量龐大，工程實(shí)用性大打折扣。為了降低NC-MUSIC 算法的運(yùn)算復(fù)雜度，文獻(xiàn)[9]又提出了非圓Root-MUSIC 算法，利用多項(xiàng)式求根代替二維譜峰搜索，在一定程度上降低了NC-MUSIC 算法的運(yùn)算復(fù)雜度。文獻(xiàn)[10-11]采用凸優(yōu)化方法將NC-MUSIC 算法中的二維譜峰搜索轉(zhuǎn)化為一維譜峰搜索，大幅降低了譜峰搜索階段的運(yùn)算量，但其一維譜峰搜索仍具有較高的運(yùn)算復(fù)雜度。文獻(xiàn)[12-13]通過歐拉變換將復(fù)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)據(jù)，并在構(gòu)建空域字典集的基礎(chǔ)上，通過稀疏重構(gòu)實(shí)現(xiàn)DOA 估計(jì)。該算法雖可降低DOA 估計(jì)的運(yùn)算復(fù)雜度，但前提是要精確補(bǔ)償由傳輸時(shí)延帶來(lái)的非圓相位，且信號(hào)入射角度需精確位于字典網(wǎng)格上。當(dāng)實(shí)際環(huán)境不滿足前提要求時(shí)，算法的估計(jì)性能會(huì)嚴(yán)重下降。

為了降低非圓信號(hào)NC-MUSIC 算法的運(yùn)算復(fù)雜度，本文提出一種結(jié)合子空間旋轉(zhuǎn)的非圓信號(hào)快速DOA 估計(jì)算法。所提算法結(jié)合子空間旋轉(zhuǎn)技術(shù)（SRT,subspace rotation technique）[14]，通過對(duì)信號(hào)噪聲子空間的旋轉(zhuǎn)獲得降維噪聲子空間；所構(gòu)造的降維噪聲子空間與擴(kuò)展后陣列流型矩陣張成的空間具有正交性，利用該正交性和變量分離可將NC-MUSIC 算法的二維譜峰搜索轉(zhuǎn)化為一維譜峰搜索。所提算法在保持DOA 估計(jì)性能的基礎(chǔ)上，可將算法運(yùn)算復(fù)雜度降至NC-MUSIC 算法運(yùn)算復(fù)雜度的5%以下；對(duì)于大陣元情況，所提算法的計(jì)算效率提升明顯。

2 數(shù)據(jù)模型及非圓信號(hào)的NC-MUSIC 算法

2.1 數(shù)據(jù)模型

非圓信號(hào)是現(xiàn)代通信系統(tǒng)中的一種常見信號(hào)，其具有偽協(xié)方差不為0 的特征，即E{S2(t)}≠0（S(t)為非圓信號(hào)）。利用這一特征可通過增加虛擬陣元的個(gè)數(shù)，擴(kuò)展陣列的有效孔徑。常見的BPSK 信號(hào)、AM 信號(hào)、MASK 信號(hào)等非圓信號(hào)的非圓率均為1。對(duì)于最大非圓率（即非圓率為1）信號(hào)，由于理想情況下其經(jīng)過解調(diào)后所得信號(hào)為實(shí)信號(hào)，考慮實(shí)際中傳輸信道對(duì)信號(hào)的影響，經(jīng)解調(diào)后的信號(hào)模型為S(t)=SR(t)ej?，其中，SR(t)為實(shí)信號(hào)，?為信號(hào)初相與傳輸信道附加相位之和[7-13]。假設(shè)有K個(gè)互不相關(guān)的窄帶最大非圓率信號(hào)S1(t),S2(t),…,SK(t)分別以方向θ1,θ2,…,θK同時(shí)入射至一個(gè)M元均勻線陣，陣列陣元間距為d，陣列中的天線均為全向天線，天線增益均為單位增益。均勻線陣陣列結(jié)構(gòu)如圖1 所示。

圖1 均勻線陣陣列結(jié)構(gòu)

選定最左側(cè)陣元為參考陣元，則該均勻線陣的接收信號(hào)可以表示為

其中，信源矢量S(t)=[S1(t),S2(t),…,SK(t)]T∈CK×1，；陣列流型矩陣A=[a(θ1),a(θ2),…,a(θK)]∈CM×K，導(dǎo)向矢量，λ為信號(hào)載波波長(zhǎng)；，?k(k=1,2,…,K)為第k個(gè)窄帶非圓信號(hào)的非圓相位；加性高斯白噪聲矢量。

由于非圓信號(hào)具有E{S(t)ST(t)}≠0 和E{S*(t)SH(t)}≠0 的性質(zhì)，故可將接收信號(hào)X(t)與其共軛X＊(t)串聯(lián)，通過重構(gòu)接收信號(hào)矩陣來(lái)增加可利用的陣元個(gè)數(shù)[10-15]。重構(gòu)后的接收信號(hào)Y(t)為

其中，B和N0(t)分別為

2.2 非圓信號(hào)的MUSIC 算法

重構(gòu)后的接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣為

實(shí)際應(yīng)用中通常采用接收信號(hào)X(t)的L次快拍X(n) (n=1,2,…,L)估計(jì)協(xié)方差矩陣RY，即

其中，

對(duì)式(7)所示的空間譜函數(shù)關(guān)于入射角θ和非圓相位?進(jìn)行二維譜峰搜索，所得K個(gè)極大值對(duì)應(yīng)的入射角θ即為信號(hào)的DOA。NC-MUSIC 算法通過虛擬陣列的方法擴(kuò)大了陣列的有效孔徑[10-11]，極大地提高了DOA 估計(jì)的空間分辨率；同時(shí)，煩瑣的二維譜峰搜索帶來(lái)了極高的運(yùn)算復(fù)雜度，約束了其在實(shí)際工程中的應(yīng)用。

3 結(jié)合SRT 的SRTRD-NC-MUSIC 算法

NC-MUSIC 算法利用非圓信號(hào)偽協(xié)方差矩陣不為零的特性重構(gòu)接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣，根據(jù)信號(hào)子空間和噪聲子空間的正交性構(gòu)造二維空間譜函數(shù)估計(jì)非圓信號(hào)的DOA。該算法以增加虛擬陣元的方法提高了DOA 估計(jì)的精度，同時(shí)也帶來(lái)了煩瑣的二維譜峰搜索[11-12]。本文所提算法——SRTRD-NC-MUSIC 算法以降低非圓信號(hào)NC-MUSIC 算法的運(yùn)算復(fù)雜度為目標(biāo)，結(jié)合SRT 實(shí)現(xiàn)快速估計(jì)非圓信號(hào)DOA。SRTRD-NC-MUSIC 算法分為2 個(gè)步驟：首先，對(duì)噪聲子空間矩陣按行分塊，利用SRT 構(gòu)造降維噪聲子空間；然后，根據(jù)所構(gòu)造的降維噪聲子空間與擴(kuò)展后陣列流型矩陣張成空間的正交性，結(jié)合變量分離把NC-MUSIC 算法的二維譜峰搜索轉(zhuǎn)化為一維譜峰搜索。SRTRD-NC-MUSIC 算法在將二維譜峰搜索轉(zhuǎn)化為一維譜峰搜索的同時(shí)，通過構(gòu)造降維噪聲子空間有效避免了一維譜峰搜索中的冗余計(jì)算。

3.1 子空間旋轉(zhuǎn)及重構(gòu)噪聲子空間

對(duì)2M×(2M?K)維的噪聲子空間進(jìn)行分塊處理，可得

3.2 構(gòu)造降維空間譜函數(shù)

通過搜索f(θ,?)的極小值，即可獲得信號(hào)DOA 的估計(jì)。將b(θ,?)按式(13)進(jìn)行變量分離，即

因此，可構(gòu)造出新的一維空間譜函數(shù)為

對(duì)式(16)構(gòu)造的空間譜函數(shù)進(jìn)行譜峰搜索，所得K個(gè)極大值對(duì)應(yīng)的角度θ即為信號(hào)DOA 的估計(jì)。與NC-MUSIC 算法相比，SRTRD-NC-MUSIC 算法通過旋轉(zhuǎn)噪聲子空間降低了噪聲子空間的維數(shù)，且只需進(jìn)行一維譜峰搜索即可估計(jì)信號(hào)DOA。后文分析將表明，SRTRD-NC-MUSIC 算法可以在保證DOA 估計(jì)精度的前提下，降低NC-MUSIC 算法的運(yùn)算復(fù)雜度，大幅提升計(jì)算效率。

3.3 SRTRD-NC-MUSIC 算法化簡(jiǎn)

將式(8)代入式(9)，可得

對(duì)2×2M維矩陣按式(18)進(jìn)行劃分，即

將式(19)代入式(17)和式(18)，可得

進(jìn)一步將式(20)代入式(16)，并省略式中角度θ的標(biāo)記，可得

因此，SRTRD-NC-MUSIC 算法可化簡(jiǎn)為

對(duì)比式(7)和式(22)可得，SRTRD-NC-MUSIC算法不僅將NC-MUSIC 算法中的二維譜峰搜索轉(zhuǎn)化為一維譜峰搜索，而且通過矩陣分塊和子空間旋轉(zhuǎn)，有效降低了噪聲子空間的維數(shù)，進(jìn)一步去除了一維譜峰搜索中的冗余計(jì)算。

3.4 運(yùn)算復(fù)雜度分析

本文采用復(fù)數(shù)乘法的數(shù)量來(lái)衡量算法的運(yùn)算復(fù)雜度[12-14]。NC-MUSIC 算法和 SRTRD-NCMUSIC 算法均包含對(duì)協(xié)方差矩陣的特征值分解。根據(jù)文獻(xiàn)[18]所提的快速子空間分解法可得，矩陣進(jìn)行特征值分解的運(yùn)算復(fù)雜度為O(4M2K)。對(duì)比NC-MUSIC 算法和SRTRD-NC-MUSIC 算法可知，SRTRD-NC-MUSIC 算法需額外構(gòu)造新噪聲子空間和計(jì)算。已知為2M×(2M?K)維矩陣，為(M+1)×(2M?K)維矩陣，故構(gòu)造所需的運(yùn)算復(fù)雜度為O[(M?1)(M+1)(2M?K)]+O[2M(2M?K)][14]。

NC-MUSIC 算法和SRTRD-NC-MUSIC 算法均包含譜峰搜索過程。在譜峰搜索階段，NC-MUSIC算法需同時(shí)對(duì)入射角θ和非圓相位?進(jìn)行二維譜峰搜索。假設(shè)在角度搜索范圍和[0,2π]非圓相位搜索范圍內(nèi)總的搜索角度數(shù)均為J，則NC-MUSIC 算法完成譜峰搜索所需的運(yùn)算復(fù)雜度為O[J2(2M+1)(2M?K)]。根據(jù)SRTRD-NC-MUSIC 算法的式(22)進(jìn)行譜峰搜索時(shí)，計(jì)算的運(yùn)算復(fù)雜度為O[M(M+1)]，計(jì)算的運(yùn)算復(fù)雜度為O(M)，計(jì)算的運(yùn)算復(fù)雜度為O(M2+1)，則SRTRD-NC-MUSIC 算法完成譜峰搜索所需的運(yùn)算復(fù)雜度為O[J(2M2+2M+1)]。

綜上，NC-MUSIC 算法和SRTRD-NC-MUSIC算法總的運(yùn)算復(fù)雜度分別為

實(shí)際中，通常有J?M＞K，故可將式(24)近似為

圖2 對(duì)比了不同陣元數(shù)和信源數(shù)下NC-MUSIC算法、RD-NC-MUSIC 算法[11]和 SRTRD-NCMUSIC 算法的運(yùn)算復(fù)雜度。圖2 中，總搜索角度數(shù)J=1 000。RD-NC-MUSIC 算法的運(yùn)算復(fù)雜度為[11]。可見，3 種算法的運(yùn)算復(fù)雜度都隨著陣元數(shù)增加而增大。與NC-MUSIC 算法相比，SRTRD-NC-MUSIC 算法大幅降低了算法運(yùn)算復(fù)雜度，尤其是在陣元數(shù)目較多的情況下，SRTRD-NC-MUSIC 算法的計(jì)算效率優(yōu)勢(shì)更明顯；同時(shí)，SRTRD-NC-MUSIC 算法的運(yùn)算量?jī)H為RD-NC-MUSIC 算法的運(yùn)算量的25%左右。

圖2 不同算法運(yùn)算復(fù)雜度與陣元數(shù)M 和信源數(shù)K 之間的關(guān)系

3.5 算法實(shí)施步驟

根據(jù)上述分析可得，SRTRD-NC-MUSIC 算法的具體實(shí)施步驟如下。

步驟1根據(jù)陣列接收信號(hào)X(t)的L次快拍X(n)(n=1,2,…,L)和式(2)重構(gòu)接收矩陣Y(n)。

步驟2按照式(5)計(jì)算重構(gòu)后接收信號(hào)協(xié)方差矩陣的估計(jì)，并根據(jù)式(6)對(duì)進(jìn)行特征值分解，獲得噪聲子空間。

步驟3根據(jù)式(8)對(duì)進(jìn)行分塊處理，同時(shí)根據(jù)式(9)和式(18)分別構(gòu)造新的噪聲子空間和矩陣。

步驟4根據(jù)式(22)構(gòu)造一維空間譜函數(shù)PSRTRD-NC-MUSIC(θ)。

步驟5確定步驟4 中PSRTRD-NC-MUSIC(θ)的R個(gè)極大值，這R個(gè)極大值對(duì)應(yīng)的角度即為入射信號(hào)DOA 的估計(jì)。

4 仿真結(jié)果與分析

下面通過計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證SRTRD-NC-MUSIC 算法的有效性，并與NC-MUSIC 算法、RD-NC-MUSIC算法進(jìn)行比較分析。實(shí)驗(yàn)中接收陣列采用均勻線陣（其中，圖3～圖7 的陣元數(shù)目均固定為8），陣元間距d=0.5λ，入射信號(hào)為等功率的窄帶BPSK 信號(hào)，噪聲為加性高斯白噪聲。各實(shí)驗(yàn)結(jié)果均采用3 000次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)平均。定義均方根誤差（RMSE,root mean square error）為

其中，θi和分別為信號(hào)入射角的真實(shí)值和估計(jì)值，Nm為蒙特卡羅仿真的次數(shù)。對(duì)于來(lái)波方向相近的2 個(gè)信號(hào)，如果滿足

即認(rèn)為成功分辨2 個(gè)入射信號(hào)。其中，θ1和θ2分別為2 個(gè)信號(hào)的來(lái)波方向，P(·)為空間譜函數(shù)。

圖3給出了SRTRD-NC-MUSIC算法和NC-MUSIC算法的DOA 估計(jì)效果。選定信號(hào)入射角分別為?40°、?20°和10°，信噪比（SNR,signal-to-noise ratio）為 5 dB，快拍數(shù)為 1 000。由圖 3 可看出，SRTRD-NC-MUSIC 算法可以準(zhǔn)確有效地估計(jì)出入射信號(hào)的 DOA。與 NC-MUSIC 算法相比，SRTRD-NC-MUSIC 算法估計(jì)的空間譜峰更尖銳，兩者估計(jì)精度基本一致；同時(shí)，SRTRD-NC-MUSIC算法的運(yùn)算復(fù)雜度快速減小，計(jì)算效率顯著提升。

選定信號(hào)入射角分別為?20°和15°，圖4 和圖5分別給出了SRTRD-NC-MUSIC 算法、NC-MUSIC算法和RD-NC-MUSIC 算法的估計(jì)誤差隨信噪比和快拍數(shù)的變化對(duì)比。圖4 固定快拍數(shù)為500，圖5固定信噪比為10 dB。從圖4 可以看出，3 種算法的估計(jì)誤差均隨信源信噪比的增加而減小；同時(shí)，由于SRTRD-NC-MUSIC 算法將NC-MUSIC 算法中的二維譜峰搜索轉(zhuǎn)化為一維譜峰搜索，故其估計(jì)性能較NC-MUSIC 算法略差，但整體較接近NC-MUSIC算法的估計(jì)性能，且優(yōu)于RD-NC-MUSIC 算法的估計(jì)性能。由圖5 可得，隨著快拍數(shù)的增加，重構(gòu)后的接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣可更加精確地估計(jì)，故3 種算法的估計(jì)誤差都有所減小；且SRTRD-NC-MUSIC 算法的估計(jì)性能更接近NC-MUSIC 算法的估計(jì)性能。由此可見，SRTRD-NC-MUSIC 算法計(jì)算效率的提高并未以過大地犧牲估計(jì)精度的方式換取。

圖3 SNR=5 dB 時(shí)SRTRD-NC-MUSIC 算法和NC-MUSIC 算法的DOA估計(jì)效果

圖4 不同算法的估計(jì)誤差與信噪比的關(guān)系

圖5 不同算法的估計(jì)誤差與快拍數(shù)的關(guān)系

圖6 和圖7 的信號(hào)入射角均分別固定為18°和20°，快拍數(shù)為500。圖6 對(duì)比了不同信噪比下SRTRD-NC-MUSIC 算法、NC-MUSIC 算法和RD-NC-MUSIC 算法成功分辨出2 個(gè)靠近目標(biāo)的概率。由圖6 可見，在低信噪比（SNR＜0）情況下，SRTRD-NC-MUSIC 算法的分辨成功率明顯高于NC-MUSIC 算法和RD-NC-MUSIC 算法，這是因?yàn)镾RTRD-NC-MUSIC 算法通過構(gòu)造降維噪聲子空間改善了信號(hào)子空間與噪聲子空間的正交性，且降維噪聲子空間的維度下降，使其空間譜變得更尖銳。故相比于其他2 種算法，SRTRD-NC-MUSIC 算法分辨2個(gè)靠近目標(biāo)的能力更強(qiáng)。圖7給出了SNR=5 dB時(shí)SRTRD-NC-MUSIC 算法與NC-MUSIC 算法的10 次疊加空間譜。由圖7 可得，SRTRD-NC-MUSIC算法估計(jì)的空間譜峰比NC-MUSIC 算法更尖銳，分辨相近來(lái)波方向上信號(hào)的能力更強(qiáng)，驗(yàn)證了圖6 的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

圖6 不同算法的分辨成功概率與信噪比的關(guān)系

圖7 SRTRD-NC-MUSIC 算法與NC-MUSIC 算法的疊加空間譜

圖8 對(duì)比了不同陣元數(shù)目下采用SRTRD-NCMUSIC 算法、NC-MUSIC 算法和RD-NC-MUSIC算法完成DOA 估計(jì)的計(jì)算機(jī)時(shí)間開銷。圖8(a)為SRTRD-NC-MUSIC 算法與NC-MUSIC 算法的仿真時(shí)間對(duì)比，圖8(b)為SRTRD-NC-MUSIC 算法與RD-NC-MUSIC 算法的仿真時(shí)間對(duì)比。選取信號(hào)入射角分別為?10°和30°，角度搜索間隔為0.05°，SNR=10 dB，快拍數(shù)為500。以Intel(R) Core(TM)i5-5300U 處理器，2.3 GHz CPU，4 GB 內(nèi)存的PC平臺(tái)運(yùn)行3 種算法的MATLAB 程序。由圖8 可看出，SRTRD-NC-MUSIC 算法的計(jì)算機(jī)時(shí)間開銷顯著小于其他2 種算法。同時(shí)，3 種算法的時(shí)間開銷均隨陣元數(shù)增加而增大；SRTRD-NC-MUSIC 算法的計(jì)算效率優(yōu)勢(shì)隨陣元數(shù)增加更明顯。這與上文運(yùn)算復(fù)雜度分析部分的現(xiàn)象一致。圖8(a)中，由于SRTRD-NC-MUSIC 算法將NC-MUSIC 算法的二維譜峰搜索轉(zhuǎn)化為一維譜峰搜索，且利用噪聲子空間的秩虧特性，通過構(gòu)造降維噪聲子空間避免了一維譜峰搜索中的冗余計(jì)算，故SRTRD-NC-MUSIC 算法可將算法復(fù)雜度降低至NC-MUSIC 算法運(yùn)算復(fù)雜度的5%以下。圖8(b)中，與RD-NC-MUSIC 算法相比，SRTRD-NC-MUSIC 算法構(gòu)造的降維噪聲子空間維度下降，去除了一維譜峰搜索中的冗余計(jì)算，故SRTRD-NC-MUSIC 算法可將算法復(fù)雜度降低至RD-NC-MUSIC 算法運(yùn)算復(fù)雜度的25%以下，大幅提高算法的計(jì)算效率。

圖8 不同算法的計(jì)算機(jī)時(shí)間開銷與陣元數(shù)的關(guān)系

5 結(jié)束語(yǔ)

本文以降低非圓信號(hào)NC-MUSIC 算法的運(yùn)算復(fù)雜度為目標(biāo)，提出了一種結(jié)合子空間旋轉(zhuǎn)的非圓信號(hào)快速DOA 估計(jì)算法。SRTRD-NC-MUSIC 算法對(duì)噪聲子空間按行分塊，并通過子空間旋轉(zhuǎn)的方法構(gòu)造降維噪聲子空間；在將二維譜峰搜索轉(zhuǎn)化為一維譜峰搜索的同時(shí)，利用降維噪聲子空間有效避免了一維譜峰搜索中的冗余計(jì)算。通過實(shí)驗(yàn)仿真和運(yùn)算復(fù)雜度分析可以看出，SRTRD-NC-MUSIC 算法能夠在保持 DOA 估計(jì)性能的前提下大幅降低NC-MUSIC 算法的運(yùn)算復(fù)雜度，顯著提高算法的計(jì)算效率；特別是在陣元孔徑較大的場(chǎng)景下，SRTRDNC-MUSIC 算法計(jì)算效率提升更明顯。