基于Simulink的三連桿機械臂控制器參數(shù)化算法

(西安航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院,陜西 西安 710089)

現(xiàn)階段，馬寶離與霍偉等人對雙臂空間機器人抓無系統(tǒng)動力學(xué)及其控制進行了深入探究；陳安軍等人詳細分析了平面雙連桿機構(gòu)機械臂動力學(xué)建模與運動學(xué)分析相關(guān)問題；肖濤與黃強等人深層研究了給定手作業(yè)軌跡的仿人機器人推操作；Mettin U, Hera P L, Freidovich L等人明確指出了基于虛擬約束的控制策略機器人運動軌跡，尤其是三連桿機械臂軌跡跟蹤控制設(shè)計層面，因為模型復(fù)雜性，導(dǎo)致反饋增益求取難度明顯增大。謝俊，匡俐輝等人構(gòu)建了新型串聯(lián)中醫(yī)推拿機械臂模型，并進行了運動學(xué)與動力學(xué)分析，同時基于Adams做了速度與加速度仿真。盡管當前三連桿機械臂研究在不斷深入，且獲得一定成果，但是針對控制器的參數(shù)化設(shè)計方式相對繁雜，控制器結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜[1]。因此本文面向三連桿機械臂進行了控制器設(shè)計與直接參數(shù)化算法研究，基于三連桿機械臂控制器設(shè)計，明確指出簡潔的、優(yōu)化的直接參數(shù)化方法，不僅實現(xiàn)了機械臂動力閉環(huán)系統(tǒng)特征結(jié)構(gòu)優(yōu)化配置，還獲得所需特征結(jié)構(gòu)，在很大程度上改善了系統(tǒng)整體性能。

1 三連桿機械臂模型分析

就連桿i(1,2,3)而言，mi代表連桿質(zhì)量；Li代表長度；Lei代表連桿從前關(guān)節(jié)與中心的具體間距；Ji代表慣性力矩，連桿慣性力矩通過其中心軸與XY相垂直的平面；βi代表連桿與Y軸正半軸向之間的測量角。三連桿機械臂模型[2]示意圖具體如圖1所示。

為便于計算分析，以此進行明確標記[3]，即

(1)

機械手的運動方程，如式(2)所示：

W(β)β″+V(β,β′)β′+M(β)=Sτ

(2)

式中：τ為控制力矩向量。

圖1 三連桿機械臂

基于三連桿機械臂動態(tài)化方程，選擇直接參數(shù)化算法，通過特征結(jié)構(gòu)進行機械臂運動轉(zhuǎn)移于直立平衡點的控制規(guī)律進行優(yōu)化配置設(shè)計，從而保障三連桿機械臂控制的穩(wěn)定性與可靠性[4]。

面向三連桿機械臂運動要求為閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定安全，促使機械臂保持于穩(wěn)定狀態(tài)，順利轉(zhuǎn)移到直立平衡點，即

β=0，β′=0

(3)

就機械手運動方程為載體，合理設(shè)計包含兩個重要組成部分的機械臂控制器[5]。即

τ=τe+τf

(4)

τe負責補償系統(tǒng)的M(β)，即

τe=S-1M(β)

(5)

τf為狀態(tài)反饋控制規(guī)律，即

(6)

式中：T0(β,β′)與T1(β,β′)為反饋增益；υ為外部輸入信號，一般情況下，在仿真驗證時會直接忽視。

將機械臂控制器帶入機械手運動方程，可獲得閉環(huán)系統(tǒng)，即

W(β)β″+[V(β,β′)-ST1(β,β′)]β′-ST0(β,β′)β=Sυ

(7)

2 反饋控制律問題求解

針對反饋控制律問題設(shè)計求解，以促使閉環(huán)系統(tǒng)成為具備所期望線性系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu)。在具體問題中，W(β)行列式值并非為0。設(shè)定：

(8)

那么閉環(huán)系統(tǒng)公式可以轉(zhuǎn)變?yōu)橐浑A模式，即

γ′=Ue(β,β′)γ+Se(β,β′)υ

(9)

式中:

(10)

(11)

所以，促使Ue(β,β′)與任何給定相同維度常數(shù)矩陣相類似。

具體求解問題可明確描述為此形式，即：問題TLR，給定機械手運動方程，任何選擇矩陣集F∈R2n×2n，發(fā)現(xiàn)常數(shù)非奇異矩陣集N∈R2n×2n與反饋增益矩陣T0(β,β′)、T1(β,β′)，n代表矩陣維數(shù)，以滿足相關(guān)條件，即

N-1Ue(β,β′)N=F

(12)

所以，閉環(huán)系統(tǒng)矩陣，即

Ue(β,β′)=NFN-1

(13)

而常數(shù)矩陣明確定義為

(14)

后續(xù)問題即如何求取相關(guān)參數(shù)，以促使問題得以圓滿解決[6]。

3 直接參數(shù)化算法設(shè)計

就參數(shù)矩陣集選取約束條件與方式方法，其中包含Zariski開集定義，基于相關(guān)定理，可給定三連桿機械臂機械手運動方程直接參數(shù)化算法具體流程[7]。

首先，矩陣集F結(jié)構(gòu)。所謂矩陣集F一般代表Jordan形或?qū)切巍楸Ｕ掀錇镠urwitz矩陣，要求特征值都保持在復(fù)平面左半部分，則

λi(F)∈C-，i=1,2,3…,6

(15)

在遇到特殊情況時，矩陣集F可根據(jù)具體情況具體明確，在控制器仿真驗證時，選擇相對簡單的Hurwitz矩陣。

其次，最優(yōu)化問題。就系統(tǒng)相關(guān)標準要求，構(gòu)建性能指標，即

J=J(F,Z)

(16)

其中，主要關(guān)于F與Z標量函數(shù)，以此構(gòu)成以下最優(yōu)化問題，即

(17)

但是在大多數(shù)具體問題中，因為幾乎任意矩陣Z都能夠滿足相關(guān)要求，因此約束條件一般都會被忽視。

再次，選取所需參數(shù)。通過性能最優(yōu)化算法，計算選擇最優(yōu)或者次級優(yōu)化參數(shù)矩陣集。在仿真驗證過程中，通過前兩個步驟引理可知，最優(yōu)化問題可直接忽略。

然后，控制器反饋增益計算分析。對反饋增益參數(shù)化表達式進行計算分析，特殊狀況下，通過獲得閉環(huán)特征向量矩陣N，那么閉環(huán)系統(tǒng)矩陣可通過Ue=NFN-1計算獲取。

最后，仿真驗證。基于數(shù)值仿真進行直接參數(shù)化算法有效性驗證，以證明其在實際應(yīng)用模型中的實效性。

4 仿真驗證分析

構(gòu)建三連桿機械臂模型，包含三個旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，即主軀干臂與水平面運動、主軀干臂與次軀干臂運動、次軀干臂與吊臂運動。通過對機械臂單次拉伸動作控制仿真研究，證明直接參數(shù)化算法應(yīng)用于機械臂控制器的最終實際效果。

4.1 機械臂模型構(gòu)建

三連桿機械臂模型構(gòu)建主要劃分為兩大部分，即機械臂剛體部分，各個連桿臂與關(guān)節(jié)之間對接，物理參數(shù)設(shè)置具體如表1所示；關(guān)節(jié)控制部分，各關(guān)節(jié)基于控制信號通過控制器的控制回路對關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)進行有效控制[8]。

表1 三連桿機械臂模型參數(shù)

其中，重力加速度g為-9.8m/s2。

4.2 控制器參數(shù)優(yōu)化

通過直接參數(shù)化算法優(yōu)化控制器參數(shù)的方法面向各個參數(shù)尋優(yōu)，對三連桿機械臂關(guān)節(jié)響應(yīng)指標進行綜合考察，同時與基于z-n臨界比例度法整定的響應(yīng)結(jié)果比較分析。直接參數(shù)化算法參數(shù)具體即：最大迭代數(shù)為104；加速度常數(shù)為1.21；慣性權(quán)重為0.92；適應(yīng)度函數(shù)指標權(quán)重為0.53。三連桿機械臂關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度以激勵信號為依據(jù)采取階躍信號，信號參數(shù)具體如表2所示。

表2 控制信號參數(shù)

通過z-n臨界比例度法與直接參數(shù)化算法對控制器參數(shù)進行整定分析。兩種不同算法整定之后，機械臂關(guān)節(jié)在既定時間內(nèi)響應(yīng)曲線[9]具體如圖2～圖4所示。

圖2 關(guān)節(jié)一4s以內(nèi)響應(yīng)曲線

圖3 關(guān)節(jié)二2s以內(nèi)響應(yīng)曲線

圖4 關(guān)節(jié)三2s以內(nèi)響應(yīng)曲線

由圖2～圖4可知，直接參數(shù)化算法在進行機械臂關(guān)節(jié)響應(yīng)優(yōu)化之后，并沒有出現(xiàn)振動現(xiàn)象，在0.2 s周圍到達穩(wěn)定狀態(tài)，超調(diào)量適宜。由于調(diào)節(jié)時間較短，可明確機械臂拉伸動作為一步到位，從而直接獲得了機械臂的良好控制效果，這就直接證明了直接參數(shù)化算法在三連桿機械臂控制器參數(shù)優(yōu)化中的有效性。

此外，基于響應(yīng)曲線測試的系統(tǒng)響應(yīng)超調(diào)量與調(diào)節(jié)時間，面向直接參數(shù)化算法與z-n臨界比例度法在三連桿機械臂控制器參數(shù)優(yōu)化中的實際效果進行對比分析，具體指標[10]如表3所示。

表3 關(guān)節(jié)響應(yīng)性能指標

由表3可知，在工業(yè)層面應(yīng)用較為廣泛的z-n臨界比例度法在三連桿機械臂控制器參數(shù)優(yōu)化中的效果并不顯著，但是直接參數(shù)化算法在超調(diào)量指標層面可獲得顯著優(yōu)勢，且調(diào)節(jié)時間較短，這就表明直接參數(shù)化算法在三連桿機械臂控制器參數(shù)優(yōu)化中更具優(yōu)越性。

5 結(jié) 論

總之，通過三連桿機械臂動力模型，明確直接參數(shù)化算法，有效解決系統(tǒng)特征結(jié)構(gòu)配置問題，促使閉環(huán)系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性系統(tǒng)，并且具備所需特性結(jié)構(gòu)。基于Simulink仿真驗證直接參數(shù)化算法，結(jié)果表明，直接參數(shù)化算法不僅簡潔可靠，還能獲取所期系統(tǒng)動態(tài)特征；控制器可實現(xiàn)機械臂穩(wěn)定運轉(zhuǎn)于直立平衡點位置；直接參數(shù)化算法可顯著優(yōu)化機械臂各個關(guān)節(jié)響應(yīng)調(diào)節(jié)時間與超調(diào)量，在參數(shù)優(yōu)化后，機械臂拉伸動作關(guān)節(jié)響應(yīng)既消除了振動，又減小了超調(diào)量，且調(diào)節(jié)耗費時間非常短。