期權波動率定義的理論錯誤及糾正

高宏 梅圣烽

摘要：本文指出了期權定價理論將股票價格假設為隨機變量的數學抽象錯誤，以及使用描述大量樣本軌道偏離均值離散程度的標準差來度量一條樣本軌道波動程度的基本概念錯誤。本文依據股票價格與時間“一一對應”的數量關系，將股票價格抽象為隨機過程中的一條樣本軌道，并用刻畫時間函數在某一區間相對變化程度的相對變化率來度量股票價格波動程度，可真實反映股票價格的波動程度、收益率及風險大小，為量化分析、投資決策、資產定價和風險管理提供有效可靠的科學依據和分析工具。

關鍵詞：股票價格;波動率;風險度量

一、引言

波動率（Volatility）是期權定價理論度量金融資產價格波動程度的一個統計參數。準確度量并預測股票價格的波動程度，不僅可為證券投資活動的量化分析、投資決策、資產定價、最優配置、風險管理及市場監管提供有效可靠的科學依據，而且對于完善股票市場的監管措施、防范和化解股票市場的系統性風險、減小股票市場對社會經濟造成的影響，促進社會經濟的持續穩定發展具有重要意義。由于隨機過程定義及基本概念的抽象性和復雜性，期權定價理論將股票價格與時間之間的數量關系錯誤地抽象為隨機變量，并根據眾多學者“股票價格的短期對數收益率為白噪聲序列”的實證研究結果，建立了描述股票價格波動現象的幾何布朗運動模型，得出了股票價格服從對數正態分布的結論，因而用刻畫正態分布隨機變量與其均值偏離程度的標準差來度量股票價格的波動程度。

期權定價理論將股票價格與時間之間的數量關系抽象為隨機變量，無形中使研究對象從一條樣本軌道改變為大量樣本軌道的集合，并用描述大量樣本軌道偏離均值離散程度的統計參數（標準差）來度量一條樣本軌道的波動程度，因而無法正確度量股票價格的波動程度。本文依據股票價格與時間“一一對應”的數量關系，將股票價格抽象為隨機過程中的一條樣本軌道，并用刻畫時間函數在某一區間相對變化程度的相對變化率來度量股票價格波動程度，可同時度量股票價格的波動程度、收益率及風險大小。

二、布朗運動理論

1827 年，英國植物學家布朗使用顯微鏡觀察懸浮在液體中的花粉微粒時，發現微粒總是在做無規則的運動。后來人們發現，這是一種廣泛存在于自然界、工程技術和人類社會中的動態隨機現象，如空氣污染擴散、陀螺隨機游走和股票價格波動等。

1905年，愛因斯坦首先使用概率分析方法對布朗運動進行了定量研究，為統計熱力學和隨機過程基礎理論的發展奠定了基礎。愛因斯坦認為布朗運動是由大量液體水分子的連續碰撞造成的，并從熱分子運動擴散方程推導出了大量一維布朗粒子的位置x在t時刻的概率密度函數（張太榮，2008）：

式中D為擴散系數，是物理學刻畫物質擴散速度的物理量，量綱為m2/s。

式（1）表明，大量布朗粒子在t時刻的空間位置服從參數為（0，2Dt）的正態分布，圖1給出了10個布朗粒子的位移曲線，可以看出，每個布朗粒子的位移均是時間t的函數。

1923年，維納根據式（1）的愛因斯坦布朗運動物理模型，歸納總結出了布朗運動的數學定義。

定義：設{W（t），t≥0}為隨機過程，如果

（1）{W（t），t≥0}為平穩獨立增量過程;

（2）W（0）=0;

（3）對任意的t>s≥0，W（t）-W（s）～N（0，σ2（t-s）），其中σ>0為常數。

則稱W（t）是參數為σ2的布朗運動，或維納過程。當σ=1時，稱W（t）是標準布朗運動，記為B（t）。

從式（1）和維納過程定義可以看出，維納過程服從正態分布，其方差為：

D[W（t）]=σ2=2Dt;; （2）

維納過程的方差σ2是用來刻畫隨機變量偏離均值分散程度的數字特征，度量的是大量樣本軌道偏離均值的發散程度，其物理意義與表示大量布朗粒子偏離原點擴散速度的擴散系數D相同。

標準差σ不僅能度量服從正態分布的隨機變量偏離均值的發散程度，還能給出隨機變量位于±σ、±2σ和±3σ范圍內的概率分別為68.3%、95.4%和99.7%。

維納過程的定義及性質是以隨機變量的形式給出的，不能直接用來描述單個布朗粒子位移隨時間演變的過程，導致自然科學、工程技術和社會科學在研究動態隨機現象時，將單個布朗粒子位移、光纖陀螺隨機游走誤差和金融資產價格錯誤地抽象為隨機變量，并用刻畫隨機變量偏離均值離散程度的標準差來描述一條樣本軌道的時間運動規律，從而得出了一系列與事實不符的錯誤結論。例如，人們根據“維納過程方差與時間成正比”的結論，竟得出了下面的單個布朗粒子位移公式：

x（t）=; （3）

式（3）表明，單個布朗粒子的位移與時間的平方根成正比，與牛頓力學“質點位移與時間成正比”的結論不一致。

高宏（2019）從隨機過程樣本軌道角度重新定義了維納過程，給出了維納過程樣本軌道的位移公式、自相關函數和功率譜密度，得出了與牛頓力學“質點位移與時間成正比”完全一致的結論，可直接用于描述自然科學、工程技術和社會科學中的隨機運動現象、特性及規律。

三、股票價格與時間之間的數量關系

觀察股票價格隨時間的變化過程，有時間t和股票價格s兩個變量，這兩個變量并不是孤立地變化，股票價格s隨時間t的變化而變化。設s（t）為t時刻的股票價格，則對于任一個時間值t，股票價格都有唯一確定的值s（t）與t對應，兩者之間存在著“一一對應”的函數關系，因此，股票價格s （t）無疑是時間t的函數。

但是，期權定價理論卻將實際股票價格s（t）抽象為隨機變量S（t），股票價格究竟是時間函數s（t）？還是隨機變量S（t）？

我們以標準布朗運動為例，分析隨機過程、隨機變量和樣本函數三者之間的區別與關系。隨機過程B（t）實質上是定義在參數集T和狀態空間Ω上的二元函數B（ω，t）。對于固定的時間t，B（ω，t）為狀態變量ω的函數，稱為隨機變量，通常簡記為B（t）;對于固定的ω，B（ω，t）為時間t的函數，稱為樣本函數或樣本軌道，簡記為b（t）。因此，隨機過程即可看成是大量隨機變量B（t）的集合，也可看成是所有樣本軌道b（t）的集合，所有樣本軌道b（t）在t時刻的取值就是隨機變量B（t）在t時刻的狀態。隨機變量B（t）用來描述大量布朗粒子在t時刻的空間位置分布狀態，隨機變量的標準差σ可用來度量大量布朗粒子偏離原點的擴散程度，樣本函數b（t）則用來描述單個布朗粒子位移隨時間的演變過程。

注意：B（t）并不表示B（t）是時間t的函數，它只表示隨機變量B（t）在t時刻的狀態。

圖1所示的布朗粒子位移曲線清楚地表示出了隨機過程、隨機變量和樣本函數三者之間的關系。每個布朗粒子的位移曲線就是隨機過程定義中的樣本函數b（t），10個布朗粒子的位移曲線（10條樣本軌道）就構成了隨機過程B（t），所有樣本軌道b（t）在t時刻的取值就是隨機變量B（t）在t時刻的狀態。因此，隨機變量B（t）和樣本函數b（t）描述的是完全不同的物理現象，隨機變量B（t）用來描述大量布朗粒子在t時刻的空間位置分布，樣本函數b（t）用來描述一個布朗粒子隨時間的運動過程。

一個樣本函數或一條樣本軌道對應著隨機試驗中的一次“測量結果”，盡管每個布朗粒子的位移測量結果各不相同，但是單個布朗粒子的測量結果卻是一個確定性的時間函數。

股票價格的變化過程s（t）與一個布朗粒子位移的變化過程b（t）在數學形式上完全相同，根據隨機過程的定義，股票價格s（t）只能被抽象為隨機過程中的一條樣本軌道，而非隨機變量S（t）。

四、幾何布朗運動模型

眾多學者通過對股票價格波動現象長期觀察和實證研究，發現股票價格的變化是完全隨機的，股票價格的短期對數收益率為零均值不相關白噪聲序列。

設s（t）為t時刻的股票價格，y（t）=ln s（t），則股票價格s（t）的對數收益率（日）可表示為：

y（t）- y（t-Δt）=x（t）（4）

式中x（t）為白噪聲函數，不同時刻的x（t）值服從均值為零、標準差為σt的正態分布。

圖2為上證指數1998年-2020年的收盤價對數收益率（日），可以看出，上證指數的對數收益率為白噪聲序列，在下一時刻的方向和大小完全隨機變化。將不同時刻的上證指數對數收益率作為樣本點進行統計分析，其均值為0.0002，標準差σt=0.02，最大波動幅度為0.09，近似服從正態分布，有明顯的尖峰厚尾現象。

由于時間間隔Δt很小，短期對數收益率與百分比收益率近似相等，式（4）可改寫為：

（5）

式中b（t）為標準布朗運動B（t）的樣本函數，b（t）的一階差分Δb（t）為服從（0，1）正態分布的白噪聲。

式（4）和式（5）中的y（t）、x（t）、s（t）和b（t）均為時間函數，但是期權定價理論卻將他們抽象為隨機變量Y（t）、X（t）、S（t）和B（t），于是式（4）和式（5）分別變化為：

Y（t）=Y（t-Δt）+X（t）（6）

（7）

X（t）為各態歷經隨機過程，其樣本函數x（t）的時間平均與隨機變量X（t）的統計平均在概率意義上相等，因此X（t）的方差為：

（8）

即X（t）為服從（0，σ2）正態分布的高斯白噪聲隨機過程。

設Y（0）=0，則Y（t）的數學期望和方差分別為：

E[Y（t）]=0;（9）

D[ Y（t）]= σ2t （10）

式（9）和式（10）表明，對數股票價格Y（t）服從參數為（0，σ2t）的正態分布。

Y（t）的數學期望為零，與實際股票價格中存在長期線性趨勢的事實完全不符，為了使式（6）和式（7）能夠描述長期線性趨勢，Samuelson增加了線性漂移項，建立了下面的股票價格數學模型：

Y（t）=μt+Y（t-Δt）+X（t）（11）

（12）

式中μ為漂移率，是指單位時間內股票價格對數收益率或百分比收益率均值的變化值。

式（11）稱為隨機游走模型，式（12）稱為幾何布朗運動模型，兩者的短期對數收益率始終為μ，與“股票價格短期對數收益率為零均值不相關白噪聲”的實證研究結果不符。

求解式（12）微分方程：

（13）

因此對數股票價格ln S（t）的數學期望和方差分別為：

（14）

（15）

表明ln S（t）服從方差為σ2t的正態分布（Hull，2011）。

正態分布的ln S（t）曲線應具有正態分布的對稱性和集中性，但實際對數股票價格ln s（t）曲線完全不滿足正態分布的對稱性和集中性。

從上面的幾何布朗運動模型建立過程可以看出，式（12）的股票價格幾何布朗運動模型存在下述2個嚴重錯誤：

第一，股票價格s（t）是時間t的函數，隨機游走模型和幾何布朗運動模型卻將其假設為隨機變量S（t），無形中將研究對象從一個樣本函數改變為大量樣本函數的集合。

第二，實際對數股票價格曲線不具有正態分布的對稱性和集中性，股票價格服從對數正態分布的結論與事實不符。事實上，幾何布朗運動模型描述的是圖1所示的大量樣本軌道（漂移率μ=0）在狀態空間的正態分布情況，而不是一條樣本軌道隨時間的演變過程。

五、股票價格線性趨勢和波動范圍

式（4）和式（5）是眾多學者通過對股票市場長期觀察和實證研究得到的經驗模型，也是對未來股票價格運動現象所做出的一種假定性和推測性論斷。因此式（4）和式（5）是建立期權定價理論或推導其他命題的起點和基礎。從式（4）和式（5）經嚴格邏輯推理得到的相關命題和結論，對股票價格具有解釋和預見功能，能夠預測股票價格的發展趨勢和變化結果。

將式（4）看作股票對數價格y（t）的一階差分，設y（0）=0，則有：

（16）

將其變換為：

（17）

式中為白噪聲函數x（t）在區間[0，t]上的算數平均值，其物理意義為白噪聲函數在區間[0，t]被截斷后，因“頻譜泄露”效應而產生的直流分量。

也是一條隨機過程樣本軌道，由概率論大數定律可知，隨著t的增加，的時間均值 會趨于一個常數，設E[]= μ，則y（t）中存在一條μ t的長期線性趨勢線。

從信號分析的角度看，對白噪聲信號x（t）進行算數平均，相當于對x（t）進行低通濾波，使x（t）中的高頻分量被衰減，低頻分量被放大，因此，是一個圍繞均值μ緩慢波動的低頻信號。

算數平均值的方差為：

（18）

式中σt為白噪聲函數x（t）的標準差。

反應了圍繞= μ上下波動的程度，在μ±3范圍內波動的概率為99.73%。當t較小時，變化異常劇烈，y（t）表現出很強的隨機性;當t充分大時，趨于穩定，y（t）圍繞長期線性趨勢線μ t，在固定寬度的線性通道內緩慢波動上行。

圖3為道瓊斯工業平均指數的對數價格曲線，100多年來始終在固定寬度的線性通道范圍內波動運行。

六、波動率定義錯誤

期權定價理論假設資產價格服從對數正態分布（Augen，2016），并用一年內的股票連續復利收益率的標準差來定義股票價格的波動率（Natenberg，2019）。

由式（15）的方差計算公式，可直接寫出期權到期時間T時的波動率σT計算公式：

（19）

式中T為期權到期時間，σ為股票價格幾何布朗運動模型參數，即式（8）定義的隨機變量標準差，σ在概率意義上等于股票日對數收益率的標準差σt。

（一）波動率的物理意義

將對數股票價格y（t）視為一個布朗粒子在t時刻的位移，則y（t）與布朗粒子運動的數學模型完全相同，即y（t）的一階差分Δy（t）和布朗粒子位移的一階差分均為白噪聲函數x（t）。對數股票價格y（t）曲線就相當于圖1中的一個布朗粒子位移曲線（一條樣本軌道）。

波動率（標準差）與擴散系數D具有相同的物理意義，是描述大量布朗粒子擴散速度的統計參數和物理量，不能用來度量一個布朗粒子位移的波動程度。

從隨機過程的角度看，標準差是度量大量樣本軌道偏離均值離散程度的統計參數，無法用來描述一條樣本軌道的波動程度。

（二）波動范圍與事實不符

期權定價理論假設股票價格服從式（12）幾何布朗運動模型描述的對數正態分布，則t時刻對數股票價格y（t）的方差為σ2t，因此，y（t）在范圍內波動的概率為99.73%，這表明對數股票價格y（t）的波動范圍會隨時間t的平方根不斷增大，與實際對數股票價格在固定寬度的線性通道內運行的觀察結果（見圖3）嚴重不符。

（三）數學抽象錯誤

將實際問題正確地抽象為數學問題是建立科學理論或解決實際問題的第一步，也是最為關鍵和重要的一步。如果不能將實際問題正確地抽象為數學問題，即使使用正確的數學推理和分析方法，也會得出一系列錯誤的結論。

前面已經對股票價格與時間之間的數量關系進行了分析，得出股票價格是時間函數的結論。根據隨機過程定義，股票價格只能被抽象為隨機過程中的一條樣本軌道s（t），而非隨機變量S（t）。

期權定價理論錯誤地將實際股票價格s（t）抽象為隨機變量S（t），無形中使研究對象從一條樣本軌道改變為大量樣本軌道的集合，導致整個期權定價理論建立在錯誤的隨機變量假設基礎上，并使用描述大量樣本軌道擴散速度的統計參數（標準差）來度量一條樣本軌道的波動程度，必然無法正確描述、解釋和預測股票價格波動現象及規律，在實際應用時給金融市場帶來巨大的災難。

（四）正態假設與事實不符

期權定價理論首先假設資產價格服從對數正態分布，然后用正態分布的標準差來度量資產價格偏離平均值的程度。

圖2為上證指數的日收益率。上證指數的日收益率在下一時刻的正負和大小是完全隨機的，將不同時刻的上證指數日收益率作為樣本點進行統計分析，上證指數的日收益率分布曲線是一條中間高，兩端逐漸下降且完全對稱的鐘形曲線，與正態分布近似，并具有如下的正態分布性質：

1.對稱性。絕對值相等的正、負收益率出現的次數大致相等。

2.集中性。收益率分布曲線的高峰位于正中央。

圖4為上證指數自2003年9月至2020年9月的年收益率曲線。上證指數的年收益率曲線在一段時間內始終上升，在另一段時間內一直下降。也就是說，上證指數的年收益率不是完全隨機變化，而是存在明顯的確定性變化趨勢，不具有正態分布的對稱性和集中性，不滿足期權定價理論的正態分布要求，因此，日收益率的標準差根本無法用來度量圖4所示年收益率的波動程度。

（五）風險度量問題

期權定價理論將方差作為風險的度量，由于不考慮價格變動的方向，因此偏離了投資風險的原始含義。

投資風險的原始含義是指遭受損失的可能性。股票價格向上波動會給投資者帶來收益，向下波動才會給投資者造成損失。如果將股票價格向上的大幅波動視為風險，投資者在規避風險的同時，也會失去獲取超額收益的良好機會。因此，波動率在理論和實踐上均無法真實反映投資風險的本質，與投資者的心理感受完全不一致。

（六）模型參數錯誤

式（12）的幾何布朗運動模型是隨機微分方程，其參數在概率意義上等于股票價格日收益率的標準差，但是期權定價理論卻將股票價格的年波動率當作幾何布朗運動模型和BS期權定價公式中的使用（Hull，2011）。

七、重新定義波動率

定義波動率參數的目的，是為了衡量資產價格在給定時期內上下波動的程度，為量化分析、投資決策、資產定價和風險管理提供科學依據。期權定價理論將股票價格抽象為隨機變量，只能用刻畫隨機變量偏離均值離散程度的統計參數（標準差）來度量股票價格的波動程度，因而無法正確描述和度量股票價格的實際波動程度。