關于圓中函數關系問題的探究與思考

杜成智

[摘? 要] 圓中的函數關系問題是初中數學的經典問題，融合了幾何與函數等重點知識，在圓中構建函數關系需要把握兩點：一是幾何特性，二是函數知識. 問題解析一般結合與數量關系聯系緊密的定理，如三角函數、三角形相似性質、勾股定理等. 文章結合實例加以探究，并開展解后反思，提出幾點教學建議，與讀者交流.

[關鍵詞] 圓;函數關系;三角函數;三角形相似;勾股定理

圓是初中幾何的重點圖形，含有一些較為特殊的性質定理，中考對圓的考查也較為全面，既關注圖形的幾何特性，又注重其與函數的聯系，其中圓中的函數關系是需要重點掌握的問題類型. 圓中的函數關系問題表面上是探究線段之間的長度關系，實則屬于幾何性質問題，是函數與幾何特性相綜合的典型代表. 下面對圓中的函數關系問題進行探究.

問題探究

例1? 如圖1所示，已知PQ為⊙O的直徑，⊙O的半徑長為1，點M是PQ延長線上的一點，以點M為圓心作圓，設與⊙O相交于點A和B，連接PA并延長，與⊙M相交于點C.

設問? 若AB恰好為⊙O的直徑，設OM=x，AC=y，試求y關于x的函數解析式.

思路分析? 上述屬于圓中函數關系探究題，突破時可參照如下步驟進行.

第一步——提取已知量和特殊條件.

1. 特殊線段：OA=OB=OQ=OP=1，AB⊥PQ;

2. 圓的位置及半徑長：①⊙O的半徑為1，定點O為圓心;②⊙M的圓心位于PQ的延長線上（動點M），且半徑處于變化中.

第二步——由性質出發探求函數關系.

1. y與x函數關系實質：由于OM=x，AC=y，問題就是要探究線段OM與AC的長度關系.

2. 求解思路：添加輔助線，提取特殊角，聯系幾何特性，在直角三角形中構建三角函數關系.

過程突破? 過點M作AC的垂線，設垂足為點N，如圖2所示，由圓的垂徑定理可知AN=NC= y，由題意可得PM⊥AB，AB為⊙O的直徑，則OA=OP=1，所以∠APO=45°，PA= ，則PN=PA+AN= + y. 易知PM=1+x，∠NPM=45°，在Rt△PNM中，由三角函數可得cos∠NPM=cos45°= = = ，整理可得y= x- ，即y關于x的函數解析式為y= x-? （x>1）.

方法總結

上述求解圓中的函數關系所采用的基本思路是由“幾何性質”向“數式關系”轉化，實現了幾何關系的代數量化，其中的三角函數是實現問題轉化的關鍵，初中階段三角函數的構建依托直角三角形，可從函數的角度建立線段比值.

實際上在數學幾何中溝通“數”與“形”的公式定理也較為多樣，除了上述的三角函數外，還可以利用直角三角形的勾股定理、相似三角形對應邊成比例的性質來提取線段關系，進而推導函數關系. 因此，在求解圓中的函數關系問題時可以采用如下步驟和策略.

第一步，探究x與y所表示的具體內容;

第二步，結合圖像觀察x與y是否存在直接聯系;

第三步，探究圖像中的幾何性質，提取幾何關系. ①若已知角度，可嘗試構建直角三角形，利用三角函數來建立變量間的函數關系;②若可提取相似三角形，可嘗試利用相似三角形邊長間的比例關系建立變量間的函數關系;③若存在特殊的直角或直角三角形，可嘗試利用勾股定理建立變量間的函數關系.

而在實際求解時還需關注兩點：一是注重方法的融合，上述函數關系轉化的三種策略可以相互結合，減少計算過程;二是重視變量取值，由于圓中的函數關系與線段的取值有著直接聯系，故在實際求解中需要重點關注自變量x的取值，以確保結果合理.

拓展探究

圓中的函數關系問題是幾何性質與代數運算的綜合，上述例1重點講解了三角函數在函數關系轉化中的應用思路，下面結合上述總結的方法策略，講解勾股定理的平方和轉化和相似三角形的比例轉化在解題中的應用.

1. 勾股定理的平方和轉化

勾股定理是幾何中的常用定理之一，該定理充分反映了直角三角形中三邊線段長的關系，利用該定理求解圓中的函數關系同樣需要依托直角三角形，由三邊平方和關系進行函數關系轉化.

例2? 如圖3所示，線段AB=10，點C位于線段AB上，現分別以AC和BC為半徑作⊙A和⊙B，設點D是⊙B上的一點，連接AD，與⊙A相交于點E，連接EC并延長，與⊙B相交于點F，試回答下列問題.

（1）證明BF平行于AD;

（2）如果BD⊥AD，設AC的長為x，DF的長為y，試求y與x的函數解析式，并直接寫出x的取值范圍.

解析? （1）證明BF與AD平行，可從圓中線段之間的關系入手，推理得出∠AEC=∠BFC，進而可證BF//AD.

（2）根據BD⊥AD，BF//AD，可推得∠ADB=∠DBF=90°，則△DFB為直角三角形. 已知AB=10，AC=x，則BC=10-x，在Rt△DFB中使用勾股定理，有DF2=BD2+BF2，代入線段長，可得y2=2（10-x）2，整理后可得y= （10-x），所以y與x的函數解析式為y= （10-x），且x的取值范圍為0

評析? 上述圓中的函數關系問題較為簡單，利用幾何性質即可提取其中的直角三角形，結合勾股定理就可推導出對應的函數關系.

2. 相似三角形比例轉化

相似三角形比例轉化策略的核心是提取相似三角形，對于涉及圓的綜合問題，其推理策略與常規的幾何證明一致，需緊扣三角形相似的判定定理. 實際求解時可以按照“證明相似——比例式轉化”的思路進行.

例3? 如圖4所示，在△ABC中，已知AC=BC=10，cosC= ，點P是AC上的一個動點（不與點A和點C相重合）. 以PA為半徑作⊙P，與邊AB的另一交點為D，過點D作BC的垂線，設垂足為點E，試回答下列問題.

（1）當⊙P與BC相切時，求⊙P的半徑;

（2）連接BP，與DE相交于點F，設AP長為x，PF長為y，試求y關于x的函數解析式，并直接寫出x的取值范圍.

解析? （1）可設⊙P與邊BC的切點為H，設圓半徑為R，連接HP，作HP⊥BC，在Rt△HCP中使用三角函數，由cosC= 可知sinC= ，而sinC= = ，從而可解得R= .

（2）求y關于x的函數解析式，實則就是求AP與PF的長度關系. 在△ABC中，已知AC=BC=10，cosC= ，設AP=PD=x，∠A=∠ABC=β，過點B作BH⊥AC，如圖5，則BH=AC·sinC=8，同理可推知CH=6，HA=4，AB=4 ，則tan∠CAB=2. 在Rt△BHP中使用勾股定理可得BP= ，則DA=? x，BD=4 -? x.

如圖6所示，由PA=PD，得∠PAD=∠CAB=∠CBA=β. tanβ=2，則cosβ= ，sinβ= ，所以EB=BD·cosβ=4- x. 分析可知PD∥BE，進一步可知△DFP∽△EFB，由相似性質可得 = ，將線段長代入其中，可得 = ，整理可得y= ·? （0

評析? 上述求解圓中的線段函數關系時，綜合運用了三角函數與相似三角形的比例式. 首先利用三角函數的線段比值轉化相關線段長，然后利用相似三角形的線段比例關系構建y與x的函數關系，從而完成了求解. 其中構建直角三角形和提取兩線平行是思路構建的關鍵.

解后思考

圓中的函數關系問題屬于典型問題，上述對其中常用的函數關系構建策略進行了探討，對于強化學生基礎，提升學生能力有著極大的幫助，下面結合教學實踐提出兩點建議.

1. 理解問題本質，促進知識融合

圓中的函數關系，不僅是對線段長度關系的反映，同樣體現了圖形中的幾何特性，因此求解圓中的函數解析式，實則是挖掘幾何性質，這是圓中函數解析式的問題本質. 因此在教學中需要引導學生理解問題本質，理解三角函數法、相似三角形比例轉化法、勾股定理平方和法的構建依據. 考慮到圓中函數關系問題的綜合性較強，需綜合運用幾何性質，靈活進行代數運算，如上述例3綜合三角形相似、兩線平行、勾股定理來構建解題思路. 在備考復習階段，教師應注重引導學生進行知識融合，依托幾何圖形探究性質定理，由定理出發歸納圖形特征，幫助學生構建完整的知識體系.

2. 引導設問探究，注重方法總結

素質教育的核心是促進學生發展，倡導采用引導、啟發的教學方式，使學生掌握解題方法，提升數學思維. 以上述圓中的函數關系問題為例，教學中有必要引導學生理解問題，然后引導學生發掘題目中的條件，包括等量、不變量、隱含量等，培養學生在復雜背景下的讀題、識題、悟題能力. 解題教學中可采用講練結合的方式，引導學生獨立分析、自主計算，加強師生互動，讓學生充分參與到教學中. 解題教學的目的是使學生掌握類型問題的解法，因此教學中要注重方法總結，包括類型問題的構建思路、方法技巧，以及問題分析中所涉及的數學思想，通過探究典型問題的解法來提升學生的綜合能力.