新醫科專業傅里葉變換虛擬仿真實驗平臺的構建與實現

孔祥慧，方 暉，夏 天，徐羅元，劉淑賢，劉東艷

（1.河北醫科大學醫學影像學院，河北石家莊 050013；2.上海培云教育科技有限公司，上海 200433）

0 引言

隨著科學技術的快速發展，虛擬仿真實驗越來越受到重視，各高校根據學校自身和學生特點，分學科、分專業地將虛擬仿真和大學傳統課堂有機結合，更好地培養學生的動手能力、創新精神和科學素養，從而提高教學質量和學生的綜合素質。目前，各高校在大學物理［1］、電子電工［2］、生物化學［3］、分子生物［4］、病理學［5］、生理學［6］、藥學［7］、基礎醫學［8］等多個學科和專業積極開展虛擬仿真實驗的構建，并著手應用到教學和實驗中，取得了良好的教學效果，學生也受益頗多。

我國醫學影像技術專業是依據醫療各學科的需要而發展起來的專業性極強的理工科專業［9-10］，是醫學與理工融合的新醫科專業，對數學知識的要求也就越來越高。很多醫學院校都在高等數學課程的基礎上開設了工程數學課程，而傅里葉變換是工程數學的核心內容之一，也是醫學影像技術專業后期《醫學影像成像原理》《圖像處理》等課程的理論基礎。但目前傅里葉變換理論知識與醫學實際應用的結合還有所欠缺，為更好地將傅里葉變換與影像專業技術相結合，應積極改變教學方式。嘗試建立傅里葉變換虛擬仿真實驗平臺，以適應時代和科技的發展，培養新型醫學影像人才。

1 醫學影像技術專業工程數學傅里葉變換教學現狀

1.1 理論知識抽象，難以理解

傅里葉變換相關知識比較抽象，學生難以理解，造成一定的教學困難。傅立葉級數是傅立葉變換的基礎，傅立葉變換是由傅立葉級數推演而來，傅立葉變換的公式的表達形式多樣，包括積分形式和三角形式，涉及相關知識范圍廣、抽象，對于初學者來說，理解起來較為困難。

1.2 教學方式單一，缺乏實踐

數學課程本身較其他學科顯得枯燥，工程數學更是如此，雖然目前很多數學教師在積極探索新的教學方式和方法，但是有時可能因為特殊情況（如班級容量較大等）而未能完全實施［11］。再加之國內高校很少開設工程數學實驗課程，單純理論教學方式太過傳統和單一，學生沒有動手操作的實踐機會，很難達到良好的教學效果，對于大多深奧的知識只是淺嘗輒止，并不能深究。

1.3 教學模式不合理，與應用銜接困難

醫學影像相關專業開設的工程數學課程，傅里葉變換教學內容并沒有充分的和醫學相關知識相結合，體現學科的特殊性。學生完成教學課程后，依舊對其圖像處理和分析應用沒有更深的理解。此教學模式造成知識斷層，理工科和其相關醫學應用的銜接困難。

1.4 學生僅了解應用，忽略原理探索

目前，醫學影像技術專業走到了一個瓶頸期。學生觀念還是停留在對于醫學影像設備的臨床應用，而缺乏成像原理與圖像處理的探究。例如在圖像處理方向上，如何將圖像優化、去除噪聲、提高清晰度等，僅限制在應用上。由此可見，薄弱的數學基礎限制了本專業的學科發展和人才技術水平的提高。

1.5 學生深造及創新空間受限

醫學影像技術專業畢業的學生獲得的是理工學士學位，學生畢業深造可以沿生物醫學工程或圖像處理方向發展，但由于數學功底較差，會造成基礎不扎實，難以選擇更多的深造方向，創新空間也會受到極大的限制。

2 傅里葉變換虛擬平臺建設的必要性

2.1 多學科交叉，覆蓋面廣

醫學影像技術專業是一個醫理工結合的交叉學科，其涉及多專業的相關知識。虛擬仿真實驗教學統一布局、多學科交叉、分層次、有重點，可以滿足對學生基礎理論的認知、專業技術的掌握和實際設計與綜合應用能力培養的要求［12］。通過此虛擬平臺，加快學生形成“醫工融合”的觀念，對自己的專業有更深的理解，將理工科知識應用到醫學中去。

2.2 具有創新性，可針對醫學生開展實驗課程

傅里葉變換知識抽象、晦澀，因此實驗是該門課程不可缺少的一環，通過實驗可使抽象的概念形象化，枯燥的內容趣味化，能夠收到良好的教學效果，有利于培養學生的學習興趣，提高其創新意識和實踐動手能力［13］。此平臺的建立，主要針對醫學院校開展相關數學實驗，循序漸進，引導學生將理論應用于醫用相關實踐中。此外，該虛擬平臺與示波器進行相關波形實驗相比，可不受無干信號的干擾，可觀察到更理想的波形變化。

2.3 培養新型高端影像技術人才

醫學影像技術是進行醫學檢查的一項常用技術，該項技術的應用面非常廣泛。伴隨著醫學影像技術的廣泛應用，人才市場對醫學影像技術人才的需求也隨之增加。不少高校依據人才市場對該項技術人才的廣泛需求，有針對性地設計了相關人才培訓計劃，并在高校設置以培養醫學影像技術人才為目標的醫學影像技術學的專業課堂，對教材內容、課堂設計等方面也適時進行了技術創新和改革［14］。積極開展相關教學改革，該虛擬平臺的構建，可初步培養學生建立起數學與影像技術關系的思維，而不是將兩者剝離。學生可以在該平臺發揮他們的創造力，推動學生內部學術交流，激發更多地靈感，實現共同進步。

3 傅里葉變換虛擬仿真實驗平臺的設計和實現

傅里葉變換虛擬仿真實驗平臺分為4 個模塊，如圖1 所示，分別為基礎知識、典型案例、心電圖和二維傅里葉變換等子模塊。4 個模塊由淺入深地將抽象的傅里葉變換理論知識具體化、形象化，并充分與其應用聯系起來。

圖1 傅里葉變換虛擬仿真實驗平臺構成

3.1 基礎知識模塊

作為工程數學重要的一部分，傅里葉變換發揮著重要的作用。傅里葉指出，任何周期函數都可以用正弦函數和余弦函數構成的無窮級數來表示：

的級數稱為傅里葉級數。

式中：a0、an、bn為傅里葉系數。而傅立葉變換是能將滿足一定條件的某個函數表示成三角函數（正弦和／或余弦函數）或者它們的積分的線性組合，可對不同的波進行分解。

但此公式較為抽象，學生無法了解各個參數的意義，也就難以理解傅里葉級數時域和頻域轉化的真正意義。該模塊著重實現學生對傅里葉級數的初步認識，理解各種波時域和頻域的轉換，通過時域的波形和頻譜圖進行對比深入理解傅里葉變換。在該模塊中，通過調整不同正弦波信號，每個輸入項含頻率、幅值、初相位3 個輸入參數，將各個正弦波疊加，可得到不同波形的信號波形及頻譜圖。學生通過此模塊可更加深刻地理解傅里葉級數的原理及改變各個參數對波形圖的影響。

例如通過調整合適的頻率、幅值、初相位輸入參數可以得到矩形波圖像，如圖2 所示。

圖2 矩形波及其頻譜圖

3.2 工作原理

通過第一模塊的學習，學生已能初步理解傅里葉變換。但對于影像專業的學生，需要將理論應用于實際。虛擬平臺第2 模塊介紹傅里葉變換簡單的實際應用，構建了兩個典型案例模塊，分別為音頻采集模塊和磁共振射頻模塊。

3.2.1 音頻采集

為更加形象地展現傅里葉變換在實際中的廣泛應用，該模塊對聲音進行傅里葉變換，讓無形的聲波可視化。根據所學知識，聲波也是一種波，可通過正弦波的疊加得到，即也可表示為傅里葉級數。在該模塊，學生自己錄制聲音，軟件生成音頻時域信號。點擊“FFT Audio”后，軟件可將時域信號通過傅里葉變換生成頻域信號。由頻譜圖可以看出人聲是由低頻信號組成，點擊“filter”中的低通濾波對頻率波形進行處理，顯示波形和原波形可進行對比，如圖3 所示。

通過此模塊幫助學生理解生活中常見時域信號與頻域信號的關系，以及濾波器的功能作用。

圖3 音頻濾波前后對比圖（藍色為濾波前信號，橙色為濾波后信號）

3.2.2 核磁共振

該模塊是傅里葉變換的醫學應用，為更貼近醫學影像技術專業學生的使用和理解，能更好促進“醫工結合”。在醫學成像理論中，學生們已經了解了核磁共振成像原理。利用核磁共振成像，把人體放到梯度場強中，施加一個與人體氫質子旋進頻率相同的射頻脈沖進行激發，使人體內的氫質子產生核磁共振現象，核磁共振會釋放出微弱電磁波，通過線圈接收這個信號，再經過傅里葉變換和k空間的填充（k空間為一個抽象的頻率空間，一個以空間頻率為單位的空間坐標系所對應的頻率空間），最終可得到核磁共振的圖像。磁共振成像中，對于不同層厚的選擇，需要進行選擇性激勵，即用一個有限頻帶（窄帶）的射頻脈沖僅對共振頻率在該頻帶范圍的質子進行共振激發。在該模塊中代表有限頻帶的射頻脈沖有方波與sinc 波信號，分別對應磁共振信號中的硬脈沖（hardpulse）與軟脈沖（softpulse）信號，探究這兩個信號的特點及頻域與時域的變化關系。以方波脈沖為例，其函數及其傅里葉變換，F（ω）＝，頻帶脈寬，可知脈寬和頻帶成反比。該模塊中T 為方波信號的周期，t為時域信號持續時間（可選擇500，800，1 000，2 000 μs 4 個檔位），N 為Sinc 波瓣個數。例如將周T 從1 000 μs改為100 μs，如圖4 所示。通過T ＝100 μs寬度頻域信號（橙色）與T ＝1 000 μs 寬度（藍色）頻域信號進行對比可知，當方波信號寬度增加時，相應的頻率帶寬會變窄，幅值變高。

同樣對于sinc波的周期T 進行變化時，學生們也可以得出當周期T 變化時，頻率和幅值的變化，并得出相應的結論。由此將兩種波形傅立葉變換后的波形進行比較，學生可自我總結出何種波形更適合與磁共振成像中的選擇性激勵。

3.3 心電圖應用

心電圖是由一系列波組所構成的，因此心電圖也可以通過傅里葉級數進行分析。在該模塊，可繪制心電圖的頻譜圖，發現在頻率為0 的地方有一個很強的直流信號，該信號的存在極大地壓縮了其他頻率的幅度，通過基線矯正（baseline correction）可以將此直流信號濾掉。此外，該模塊有低通、帶阻、帶通濾波器可供選擇，學生可自行選擇各種類型的濾波器，比較各種濾波下頻率圖的差別。例如選擇帶阻濾波器時可以觀察到50～100 Hz頻率被壓制，將此頻域信號轉化為時域信號并局部放大后可見曲線變得更加光滑，如圖5所示。

圖4 不同寬度的方波信號頻域對比圖

圖5 帶阻濾波器濾波前后對比圖

3.4 二維傅里葉變換模塊

在醫學實際工作中，醫學影像圖像是二維的灰度圖像。根據診斷和治療的需要，有時需對影像進行處理。醫學影像圖像通常在計算機內部以二維離散數據矩陣的形式進行處理，因此有必要進一步研究二維離散傅里葉變換及其逆變換。

二維的灰度圖像數據常表示為

為方便處理，一般選擇方形數據，M ＝N。離散傅里葉變換定義和推導如下：

上述公式常用于將圖像的灰度分布函數變換為圖像的頻率分布函數，逆變換則是將圖像的頻率分布函數變換為灰度分布函數。

在該模塊中，學生可選擇灰度圖像樣品，進行二維傅里葉變換。如選擇圖像處理經典圖片Lena圖，進行二維傅里葉變換后可得到頻譜圖和相位譜圖，由于譜圖中頻譜的動態范圍很大，圖像顯示很不明顯，可進行一次對數變換，得到傅里葉變換后實部、虛部、頻譜以及相位譜圖像，如圖6 所示。

由于頻譜圖移頻到原點后，圖像的頻率是以原點為中心對稱分布的，所以可以清晰看出圖像的頻率分布，如圖7 所示。此外，移頻后可以分離有周期性的干擾信號。若移頻后的頻譜圖除原點以外還存在以某一點為中心、對稱分布的亮點，則這些亮點是由干擾信號產生的。

通過此模塊可以對二維傅里葉變換有更深刻的理解和認識，對后期的圖像處理課程以及醫學影像圖像的處理都有很大的幫助。

圖6 Lena圖的譜圖

圖7 移頻后的譜圖

4 實證分析

4.1 對象和指標

為檢驗此虛擬平臺的教學效果，對130 名醫學影像技術專業學生開設工程數學實驗課課程。在完成相關理論課程后，學生在老師的指導下上機進行操作。通過一學期的課程教學，將學生自我評價進行反饋和統計。

4.2 統計分析

由圖8 所示統計數據可以看出，學生在自我評價中都有較好的反應。其中在理論聯系實際能力、創新意識、對知識的理解和自主學習方面有較明顯的提高。尤其在理論結合實際方面，學生有較大的提高，為后期CT、MRI成像原理課程的學習奠定了良好的基礎。

圖8 學生自我評價

5 工程數學其他模塊構建虛擬仿真實驗平臺的可行性及展望

工程數學所涉及的知識非常廣泛，主要包括《線性代數》《概率統計》《計算方法》《積分變換》《復變函數》這幾門課程。如果也能將數學實驗和這些課程的教學結合到一起，可能會收到很好的效果［15］。不僅傅里葉變換對于醫學影像技術專業學生有重要意義，卷積和線性代數等相關知識，也都與醫學圖像后處理有著密不可分的聯系。為實現理論和實驗相結合，將工程數學更充分地應用于醫學領域中，需要建立更多的工程數學的虛擬仿真實驗平臺，應用于實驗和教學中。

6 結語

目前大部分醫學高校忽視了醫學影像技術專業是理學科而并非是醫學科，過分注重臨床影像技術技能操作的培養，使得學生在物理原理和臨床醫學教育方面的知識都不系統，醫工結合教育出現漏洞［16］。傅立葉變換相關知識是聯系數學理論與成像理論的一個重要橋梁?；谔摂M仿真理念，融合“醫工結合”發展趨勢，創建一個面向醫學影像技術專業學生的傅里葉變換虛擬仿真教學實驗平臺。該平臺將傅里葉變換可視化，用一個個鮮明的曲線或圖形展示出相關參數對波形的影響，旨在使學生對每一堂課的內容有感性認識，進一步激發學生的學習積極性與主動性，較好地培養他們的自主創新意識。該平臺執行效率高、操作簡單易行，仿真過程的可視化程度進一步提高，有利于數據的調試和優化。通過完善和改進，該平臺還可以進一步優化和發展其他數學模塊，提供更加豐富的實驗教學內容。