基于康奈爾筆記法的根軌跡教學方法研究

王立國，劉 麗

（哈爾濱工業大學a.電氣工程及自動化學院；b.化工與化學學院，哈爾濱 150001）

0 引言

根軌跡法是“自動控制原理”教學中的重要內容之一［1-2］。根軌跡向上承接控制系統建模、方框圖化簡、傳遞函數分析，向下與Nyquist判據頻域分析、Bode圖的相頻特性分析相印證，因此講清楚這部分內容十分關鍵。但由于根軌跡是開環系統某一參數從零變化到無窮大時，閉環系統特征根在s平面上變化的軌跡，其繪制規則多達10 條，涉及漸近線、出射角、入射角、與虛軸的交點、分離點及根軌跡增益等多個概念的有機融合［3-7］，初學者對此多有困惑，難以把握根軌跡的學習實質，因此探究一種使學生易于理解的根軌跡教學方法十分關鍵。

康奈爾筆記法由康奈爾大學的Walter Pauk 博士［8］提出，此方法問世以來，已在生物學教學、深度閱讀、英語報刊閱讀、化學教學、臨床醫學教學、高職計算機課程學習及大學英語聽力理解中得到成功應用［9-13］。康奈爾筆記法又稱為5R筆記術，以Keywords（關鍵詞）、Notes（注解）及Summary（概括）為主要特征，包括Record（記錄）、Reduce（簡化）、Recite（背誦）、Reflect（補充）、Review（復習）5 個階段［14-17］，尤其適用于根軌跡概念煩冗、思路復雜及綜合性強的解題過程。

本文以康奈爾筆記法為出發點，以哈爾濱工業大學-伊頓聯合實驗室為依托，針對根軌跡教學及實踐教學中存在的問題，從教學理念、教學內容、教學方法等實踐環節方面進行改進。依據康奈爾筆記法將根軌跡法適用的穩定性分析、暫態性能分析及穩態性能分析進行5R歸納，總結為閉環傳遞函數分析、閉環極點的實部與虛部、閉環極點與坐標原點的距離、閉環極點與負實軸的夾角、主導極點、增加開環極點對根軌跡的影響等典型的關鍵詞，注解其作用與實質，并將其概括系統特征根在s平面移動對控制系統穩定性的影響。所做工作有助于學生對根軌跡內容的深入理解，促進了“自動控制原理”這一課程與國際知名院校的接軌。

1 康奈爾筆記法

康奈爾筆記法是一種集筆記、復習、自測和思考于一體的學習方法，以5R為特征；其精髓在于基于筆記本三欄區間劃分，將課前預習和自測相結合，快速、準確地進行課堂記錄，從而提高學生課堂學習的效率。康奈爾筆記法示意圖如圖1 所示，核心在于記錄、簡化、背誦、補充與復習。

圖1 康奈爾筆記法示意圖

1.1 Record（記錄）

Record（記錄），在最大的筆記欄（Notes）中先進行快速直接的記錄與收集。

（1）根軌跡的基本概念。根軌跡：當系統開環傳遞函數中某參數（如根軌跡增益）在某一范圍內（如）連續變化時，閉環特征根在s平面上移動的軌跡，稱為根軌跡。知識點總結見圖2。

（2）根軌跡學習的前期知識點（見圖3）。開環傳遞函數：前向和反饋通道的傳遞函數的乘積，G（s）H（s）；閉環傳遞函數；特征方程：1 ＋G（s）H（s）＝0；

系統的開環增益K，根軌跡增益Kg；開環傳遞函數的零點／極點；閉環極點及特征根等。

圖2 根軌跡的基本知識點總結

圖3 根軌跡學習的前期知識概括

1.2 Reduce（簡化）

Reduce（簡化），提煉重點，專注于獲取關鍵詞、關鍵語句，以便跟上授課速度，之后查缺補漏。

（1）根軌跡學習的必要性。基于特征方程應用Routh判據進行穩定性分析時，是通過Routh 表，利用特征方程根與系數的關系進行定性分析，得到的只是穩定、臨界穩定、失穩3 種定性狀態，難以定量分析系統穩定性；根據系統特征根可以定量分析穩定性，但特征根往往難以直接求出，因此亟須探求一種可行的穩定性定量分析方法。這是根軌跡法學習的初衷，如圖4 所示。圖4 表明，根軌跡法實質在于根據系統的開環零極點來分析系統的閉環極點／特征根的特性，屬于圖解方法，核心在于分析開環零極點隨著系統參數的變化在S平面發展趨勢及規律，可以部分定量分析控制系統的穩定性。

圖4 根軌跡特性的簡化分析

（2）根軌跡分析特點。①閉環極點位于S平面左半部，系統穩定；②閉環極點實部為負，無零點，非振蕩；③閉環極點有一對主導極點，振蕩；④響應時間取決于距離虛軸最近的極點；⑤零點的存在，增大阻尼，響應快；⑥極點的存在，減小阻尼，響應慢；⑦增加極點，穩定性下降，根軌跡右移；⑧增加零點，穩定性增加，根軌跡左移。

1.3 Recite（背誦）

Recite（背誦）：透過重點與資料的對照，轉化出可以執行的學習行動。突出內容的實質與深度，力求精簡，方便記憶。根據講義，根軌跡的繪制規則總結為：①Rule ＃1，根軌跡的起點和終點。②Rule ＃2，實軸上的根軌跡。③Rule ＃3，根軌跡的對稱性和漸近線。④Rule ＃4，漸近線和實軸的交點。⑤Rule ＃5，根軌跡的出射角和入射角。⑥Rule ＃6，根軌跡與虛軸的交點。⑦Rule ＃7，根軌跡的分離點。⑧Rule ＃8，分離點（多重）根軌跡方向夾角。⑨Rule ＃9，在某特定點上的根軌跡增益K。⑩Rule ＃10，閉環極點之和。

對上述規則應用康奈爾筆記法進行記錄整理，如圖5 所示。

圖5 根軌跡繪制規則背誦筆記總結

圖5 中將根軌跡繪制規則總結為點、線與面（角）：①點，涵蓋起點與終點（Rule ＃1），交點（Rule ＃4，Rule ＃6，Rule ＃7），極點之和（Rule ＃10），特定點上的根軌跡增益（Rule ＃9）。②線，涵蓋實軸上的根軌跡（Rule ＃2），漸近線（Rule ＃3）。③面／角，出射角和入射角（Rule ＃5），分離點（多重）根軌跡方向夾角（Rule＃8）。

圖5 計算的難點在于出射角和入射角：①出射角——指起始于開環極點的根軌跡在起點處的切線與正實軸的夾角。②入射角——指終止于開環零點的根軌跡在終點處的切線與正實軸的夾角。

1.4 Reflect（補充）

Reflect（補充）：對根軌跡整體策劃有了了解后，與剛剛學習過的動態性能指標分析相比總結，補充系統動態響應與穩態響應之間的對應關系，具體如圖6所示。

根據圖6，動態響應與穩態響應關系，可定量地總結為如下幾點：

（1）動態性能分析，閉環極點的實部反映系統的調整時間，負實數極點離虛軸越遠，對應的分量衰減越快，系統的調節時間就越短，響應越快。

（2）閉環極點與負實軸的夾角β反映了系統的超調量。

圖6 穩態響應與動態響應關系總結

（3）穩定性分析，閉環極點在S左、右平面的分布反映了系統的穩定性；根軌跡全部位于S 平面的左半側，且距離虛軸越遠越穩定。

（4）閉環極點的虛部表征系統輸出響應的振蕩頻率。

（5）閉環極點與坐標原點的距離表征了系統的無阻尼自然振蕩頻率。

（6）當系統具有多個閉環極點時，可借助于主導極點的概念，將系統簡化成低階系統。

（7）系統穩態誤差的大小與系統的開環增益成反比，開環增益與根軌跡增益之間存在比例關系。

（8）增加開環零點，可使根軌跡向左半S 平面彎曲或移動，增加系統的相對穩定性，增大系統阻尼，改變漸近線的傾角，減少漸近線的條數。

（9）增加開環極點，可使根軌跡向右半S 平面彎曲或移動，降低系統的相對穩定性，減小系統阻尼，改變漸近線的傾角，增加漸近線的條數。

（10）由已知的開環零、極點的分布及根軌跡增益，通過圖解法找出閉環極點。一旦閉環極點確定后，再補上閉環零點，系統性能便可以確定。

（11）由于閉環特征根和系統開環傳函有相關性，因此改變開環傳函的參數可以達到改變系統性能的目的。

1.5 Review（復習）

Review（復習）：這樣一則以康乃爾筆記法寫成的課堂記錄與筆記，可以讓學生事后回顧與查找資料時更容易找到重點。核心在于總結關鍵詞，盡快從筆記本中提煉出關鍵思想和關鍵事實，把濃縮后的要點記錄在左手邊的那一欄。關注那些關鍵的字詞和那些最為重要的概念。

繪制根軌跡的基本規則（見圖7）源于相角條件和幅值條件，可將根軌跡的起點和終點、實軸上的根軌跡、根軌跡的漸近線、漸近線和實軸的交點、出射角和入射角、根軌跡與虛軸的交點、分離點、分離點（多重）根軌跡方向夾角及某特定點上的根軌跡增益及閉環極點之和統一于相角條件和幅值條件之下。

圖7 根軌跡繪制規則與響應參數歸納

在綜合分析根軌跡分析對系統動態性能與穩態性能分析的基礎之上，對系統的校正做出延伸與預測，為教材的第6 章（超前、滯后及期望校正）奠定理論分析基礎。

（1）增加開環零點對根軌跡的影響。①改變漸近線的條數和漸近線的傾角。②相當于增加微分作用，使根軌跡向左移動或彎曲，提高相對穩定性，過渡過程時間縮短；③增加的開環零點越接近坐標原點，微分作用越強，系統的相對穩定性越好。

（2）增加開環極點對根軌跡的影響。①改變漸近線的條數和漸近線的傾角。②相當于增加積分作用，使根軌跡向右移動或彎曲，從而降低了系統的相對穩定性。系統阻尼減小，過渡過程時間加長。③增加的開環極點越接近坐標原點，積分作用越強，系統的相對穩定性越差。

2 實例分析

實例：某系統開環傳遞函數為式（1），試繪制以為α變量的參數根軌跡，并討論系統的穩定性。

應用康奈爾筆記法求解過程如圖8～12 所示，按照根軌跡繪制規則來進行，突出角度的大小與方向選擇；注意虛軸左側系統穩定；虛軸右側，失穩；根軌跡與虛軸交點，系統臨界穩定。

圖8 等效（參數）特征方程的推導

圖9 開環零極點、實軸上根軌跡

圖10 根軌跡的漸近線相關計算

圖11 與虛軸交點的相關計算

圖12 出射角的相關計算

圖8～10 分析中，注意應用Rule ＃1～Rule ＃4 時與幅值條件、相角條件結合起來，實際上根軌跡分析過程時刻與幅值、相角相關。

3 結語

基于美國康奈爾大學筆記法思想，將其與“自動控制原理”教學中的根軌跡法有機結合，建立根軌跡10 條繪制規則與康奈爾大學筆記之間的邏輯教學體系，突出記錄、簡化、背誦、補充與復習5 個環節教學內容、教學方法的改進；以哈爾濱工業大學-伊頓聯合實驗室為依托，提出了具有哈爾濱工業大學電氣工程教學特色的康奈爾大學筆記法思路。

2018 年9 月，將康奈爾大學筆記法思想融于“自動控制原理”雙語教學中，突出圖1～7 所示的教學體系模式。重點對15 個同學的筆記／作業進行觀察、總結及改進，取得了較為理想的授課效果。現在這15 人有14 人以保研的資質進入碩士學習階段（課題進展順利）、其中1 人的“自動控制原理”結業考試成績為滿分（100 分）；未取得保研資格的學生（1 人）后來自己考研成功。這在一定程度上驗證了所提康奈爾大學筆記法教學思想的有效性。