高三數學課堂的高效源于“用教材教”*
——例談改編教材例習題的幾種手段

江蘇省江浦高級中學 (211800) 徐愛勇

縱觀近些年高考卷，每年試題中總會有相當一部分直接來源于教材例習題的改編、拓展、整合，有些試題甚至就是教材的原題.這一舉措對推進課程改革起到了良好的“風向標”作用，同時還能夠更加理性地引導教師在教學過程中要重視教材的使用，注重挖掘教材的內涵.“用教材教”這一觀點應當成為全體一線教師達成的一條基本共識.“用教材教，而不是教教材”真正的意圖是要求教師能夠更加靈活地、富有創造性地使用教材.如果把教材文本呈現的內容看作是“露出海面的冰山一角”，那么“用教材教”就要求教師能夠把“海面以下的巨大冰山托出海面”，讓學生領略到“整座冰山”.

高效課堂是學生主動學習、積極思考的課堂，是師生互動、生生互動的課堂，是學生對所學知識主動實現意義建構的課堂.構建高效課堂業已成為全體同仁不懈的追求.基于此，筆者試結合自身的教學經驗和體會，來闡述在高三復習過程中，改編教材例習題的幾種手段，以期能夠達到高效備考的目的，希望能夠引起廣泛地關注.

1.手段1——變換圖形

案例1(蘇教版數學2 P95第21題)已知M(-1,3),N(6,2)，點P在x軸上，且使PM+PN取最小值，求點P的坐標.

變式平面直角坐標系中，點A(1,-2),B(4,0),P(a,1)，N(a+1,1)，當四邊形PABN的周長最小時，過三點A,P,N的圓的圓心坐標是．

評析：本題主要考查的核心知識點為“求點關于線的對稱點”.更多時候，對其變式多為“改變對稱軸的位置”，從而增加其運算的容量.更有甚者，將對稱軸直線的斜率定為1或-1，從而直接得出結果，將解題思索過程固化，偏離了解題教學的價值方向.

改變已有命題的條件或結論的表現形式，將原命題中的條件或結論間接化、隱蔽化，或改變問題的背景變換出新的命題的方法.本題變式的核心就是“將線段BN平移至PC，其中C(3,0)”即可，從而體現其“靈動性”.

2.手段2——以圖思題

案例4(蘇教版必修4P122例5圖3-2-2)如圖1，在半圓鋼板上截取一塊矩形材料，怎樣截取能使這個矩形的面積最大？

圖1

圖2

變式(1)(蘇教版必修4 P121思考)在一個圓所有內接矩形中，怎樣的矩形面積最大？

(2)(蘇教版必修4 P132 第18題)如圖2，在半徑為R,圓心角為60°的扇形AB弧上任取一點P，作扇形的內接矩形PNMQ，使點Q在OA上，點M,N在OB上，求這個矩形面積的最大值及相應的∠AOP的值.

圖3

(3)(蘇教版數學5 P19例4)如圖3，半圓O的直徑為2，A為直徑延長線上的一點，OA=2，B為半圓上任意一點，以AB為一邊作等邊三角形ABC，問：點B在什么位置是，四邊形OACB的面積最大？

(4)在(3)的基礎上，點B在什么位置時，線段OC的長取最大值？

評析：通過歸納類比、拓展思考、反思建構，做到舉一反三，由此及類，由習題到模式，這是培養解題能力、抽象概括能力的重要手段.本組題在教材中均為核心題型，按照如此串聯和變式，圓→半圓→扇形→矩形→三角形→面積→長度→……一目了然，從而增強了復習的針對性.

3.手段3——變量包裝

變式(1)已知u≥1，v≥1且(logau)2+(logav)2=loga(au2)+loga(av2)(a>1)，則loga(uv)的最大值為，最小值為．

評析：有些問題看似平淡無奇，缺乏新意，但若我們對問題進行改頭換面，或提煉，或抽象，或純化，往往會有意想不到的感悟.這些感悟主要是把一個個零散的發現由表及里、由淺入深地集中和聯系起來，再通過恰當的方法加以處理，化歸為已有的認識，就自然形成了構造模型的方法，這一構造思想一般超越了問題的原有意境，具有更為豐富的想象力和創造力.

4.手段4——直觀想象

案例4(蘇教版數學5 P56第6題)設Sn是等比數列{an}的前n項和，S3,S9,S6成等差數列，求證：a2,a8，a5也成等差數列.

變式(1)設Sn是等比數列{an}的前n項和，a2,a8，a5成等差數列，求證：S3,S9,S6也成等差數列.

(2)設Sn是等比數列{an}的前n項和，S4,S10,S7成等差數列，求證：a3,a9，a6也成等差數列.

評析：有些數學問題的已知條件或結論的外表形態與結構，讓人容易想到相關的或相似的定義、定理、公式或圖形等，如果我們善于抓住這一直覺，也許會從中得到有益啟發.當我們解完題后，一個很自然的念頭，立即會從腦海中掠過.該問題的逆命題是否成立？顯然成立，解答過程從略.

再審視本題，還可以發現條件和結論之間的下標似乎存在某種對應關系.經過持續探究，可得到如下結論：設Sn是等比數列{an}的前n項和，Sm,Sn,St成等差數列，求證：對任意自然數k,am+k,an+k，at+k也成等差數列.

5.手段5——橫向到邊

案例5(蘇教版數學1 P73第5題)汽車在隧道內行駛時，安全車距d(m)正比于車速v(km/h)的平方與車身長(m)的積，且安全車距不得小于半個車身長.假定車身長約為4m，車速為60km/h，安全車距為1.44個車身長.(1)試寫出車距d與車速v之間的函數關系式；(蘇教版選修2—2P38頁第4題，題目同上，增加了第2問)(2)在交通繁忙時，應規定怎樣的車速，可以使隧道的車流量最大？

變式將上兩題進行整合，合并成一題，從而完成從“建模”到“解模”完的整過程.

評析：對數學習題的拓展常表現在解題方法層面上.這是一種聯系性拓展，但數學教學中的聯系性拓展不僅局限于此，還包括對教學內容之間的前后串聯、課本例題的深化引申、課后習題的整合統一等.

不同的數學分支間具有普遍的聯系性，有的顯而易見，有的則較為隱蔽.數學教學的一個功能就是要向學生揭示這種關系，在這個過程中，可以使學生的知識體系得到整合，并逐漸對數學中的各種思想方法產生較為清晰的認識.

6.手段6——縱向到底

案例6(蘇教版數學1 P8例1)寫出集合{a,b}的所有子集.

(蘇教版數學1 P9練習1)寫出集合{1,2,3}的所有子集.

(蘇教版數學1 P8旁白)集合{a1,a2,a3,a4}有多少個子集？

(蘇教版數學1 P17第8題)求滿足{1，3}∪A={1,3,5}的集合A.

(蘇教版數學1 P94第18題)已知一個函數的解析式為y=x2，它的值域是{1,4}，求此函數的定義域.

變式(1)集合{a1,a2,…,an}的所有子集的個數是多少？

(2)求集合M={1,2,3}的所有非空子集中各元素之和.若M={1,2,3,4}呢？你能按此方法大膽嘗試探索，發現一個具有一般規律的結論嗎？

(3)若A∪B={a,b}，則這樣的A,B共有多少組？若A∪B={a,b,c}，則結論又如何呢？若A∪B∪C={a,b}，則結論又如何呢？你能按此方法大膽嘗試探索，發現一個具有一般規律的結論嗎？

評析：我們把表面上不盡相同，而問題實質一致的若干問題有機地銜接在一起，形成問題串的方法.這種方法體現了在知識交匯點處命題的指導思想，也是各級各類考試中命制習題最常用的方法.

數學教學不僅要讓學生掌握一定的數學知識，更重要的是要讓學生理解蘊涵在這些知識中的豐富數學思想.數學思想方法對學生思考問題、解決問題更具有普遍性與指導性.例習題的教育價值是否能夠充分發揮出來，完全取決于例習題中的數學思想是否被我們充分地挖掘與展現.

類似的題目和手段還可以舉出一些.但本文的目的不是針對個別的題目，而是想糾正目前高三數學復習環節中的一些不良傾向.在高考復習中“用教材教”，以主干知識為核心，以教材例習題的拓展性、多解性、歸一性、開放性和辨析性等特點精心做好高三數學復習工作，積極更新教學觀念，只有這樣才能真正地做到回到課本中去.