提升直觀想象素養的教學實踐與思考*
——以一節試題講評課為例

江蘇省無錫市第一中學 (214031) 黃 榮

《普通高中數學課程標準(2017年版)》把直觀想象列為數學六大學科核心素養之一，體現了對培養直觀想象素養的高度重視．本文以一節數學試題講評課為例，給出了提升直觀想象素養的教學思考．

筆者所在學校是江蘇省首批四星級高中，生源基礎相對較好，思維較為活躍．在高一的一次階段性測驗(內容包括立體幾何、解析幾何和解三角形)中，發現立體幾何、解析幾何的解答難盡人意，出現了不少意料之外的錯誤，這就引發思考.于是筆者將相關試題串聯起來，設計了一節以培養直觀想象素養為主題的試題講評課，取得了良好的教學效果．

一、試題講評課教學實錄

師：這次考試，老師在批改立體幾何和解析幾何時發現了一些意外的錯誤，同時也收獲了一些意外的驚喜，今天這節講評課就專門講講這些問題．

1．一道立體幾何中檔題的意外錯誤

圖1

(試題第20題)如圖1，在四棱錐P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，AD=2BC，AB⊥AD．

批改發現，本題第1問錯誤很少，第2問學生主要有以下3種解法：

筆者任教高一兩個班級，共95人．其中，34人采用解法一，5人做錯；46人采用解法二， 35人做錯；5人采用解法三，2人做錯．解法二主要錯誤是未證明B、C、E、F四點共面，導致邏輯錯誤；還有一種常見的錯誤是，直接過E作BC平行線，但是未能說明EF為何在平面PAD內．

教學實錄如下：

師：請同學們談談這道題目的解法．哪個條件是解題突破點？

生1：CE∥平面PAB．

師：線面平行通常有哪些轉化方向？

生1：主要有兩個方向，轉化到線線平行，或者轉化到面面平行．

師：很好，你提供了兩種思路，具體說說看．

(學生先陳述了解法一，教師板書．講解法二時學生有些臉紅，說自己使用了解法二，但不知道為什么扣分．)

師：平面BCEF∩平面PAB=BF．這里B、C、E、F四點一定共面嗎？

生1：哦，因為EF∥AD，BC∥AD，所以EF∥BC，所以四點共面．

師：非常好．還有其他解法嗎？

(生2展示解法三，因為解法簡潔巧妙，引發了學生的喝彩．)

師：請同學們小結比較下這三種解法的優劣．

生3：解法一較為繁瑣，但容易掌握；解法二較為簡潔，但是要注意需要證明四點共面；解法三體外延長比較巧妙，有點不容易想到．

師：總結很到位．對于解法二，不能僅憑視覺就判定四點共面．也就是說我們需要看圖說理，但幾何直觀不能替代邏輯推理，解題還是要以題目條件為依據，以已有定理和邏輯法則為準繩．

(本題講評時間8分鐘．)

2．一道解三角形“送分”題的意外少解

圖2

只看第1問，似乎很簡單，在△ACE中，運用余弦定理列出關于AE的方程，求得AE=1或3．但事實卻令人難以相信，竟有36名學生做錯，查閱試題發現主要錯誤是少解．

教學實錄如下：

師：(PPT展示少解的典型錯誤)學生過C作CH⊥AE于H，利用平面幾何知識，求得AE=3．同學們知道錯在哪里嗎？

生4：少解．

師：少解？什么意思？不就一個解嗎？

生4：不是的，還有一解AE=1．因為E也可能在C左方，此時高CH在△ACE外，AE=1．

師：非常好，這種解法主要運用的是平面幾何知識，由于圖形的局限性，容易漏解，有沒有其他的做法？

生5：可以在△ACE中運用余弦定理，CE2=AC2+AE2-2AC·AEcosA，代入數據，解得AE=1或3．

(方法不當的學生恍然大悟，垂手頓足，感嘆需要強化基本功．)

生6：解題需要數形結合，但有時所畫的圖并不是唯一情形，需要討論．

生7：我對基本模型掌握還不夠好，要注意熟練掌握常見的解三角形問題．

生8：要學會在復雜的圖形組合中抽取基本圖形．

師：同學們小結的非常好．我們需要看圖解題，需要數形結合，但也要警惕有時圖形會“欺騙”我們，要留心所畫圖形外的其他可能．

(本題第1問講評時間共4分鐘，第2問在講評課第2課時進行了講評．)

3．一道解析幾何定值問題證明方法的探索

(試題第22題)已知圓C：(x-3)2+(y-4)2=16，直線l1：kx-y-k=0，且直線l1與圓交于不同的兩點P，Q，定點A的坐標為(1，0)．

(1)求實數k的取值范圍；(2)若P，Q兩點的中點為M，直線l1與直線l2：x+2y+4=0的交點為N，求證：AM·AN為定值．

(學生口答，教師板書第1問的解答．)

師：請同學談談第2問的解題思路．

生9：聯立圓C和直線l1的方程，消去y，得到關于x的方程，根據韋達定理得xP+xQ，進而求得中點M的坐標，聯立l1和l2求出N的坐標，最后根據兩點距離公式化簡計算．

師：思路清晰，下面請同學們嘗試計算出結果，并嘗試探索有沒有其他解法．

(6分鐘過去后，部分同學還是沒有算出結果，接下來老師和學生一起計算．)

師：同學們，這種解法是一種常規解法，思路清晰，可是計算量較大．此題主要是M坐標以及AM長度計算比較困難，還有其他解法嗎？

師：很好，發現了定點A在直線l1上，用勾股定理計算AM，簡化了運算．注意到A，M，N三點共線，還有其他解法嗎？

師：同學們覺得如何？

(話畢，教室里響起了熱烈的掌聲．)

師：還有其他思路嗎？

生12：因為直線CM與l1垂直，且過M，可得CM方程：x+ky-3-4k=0，與l1聯立求得M的坐標．

師：很好，這種做法挖掘了圓的幾何性質．

師：通過探索，同學們給出了這道題目的多種解法．通過解法的比較可以發現，解決解析幾何問題，尤其涉及圓這樣幾何性質豐富的圖形，要善于運用數形結合，充分挖掘幾何性質，以達到簡化運算、事半功倍的效果．同學們課后可以繼續探索是否還有其他美妙的解法．

(本題給予了學生較為充分的計算、探索時間，講評時間共計20分鐘．)

4．一道以圓為背景的綜合性最值問題

師：最后我們來一起研究下選擇題最后一題，想一想怎么做？

(大部分學生毫無頭緒，不知如何下手．)

師：處理最值問題的基本手段有哪些？

生13：可以轉化為函數最值問題，還可以數形結合，利用幾何意義求解．

師：說的非常好，那么這個題目涉及x，y兩個變量，怎么辦？

生13：消元，比如消去y．

師：怎么消？

生13：式子太復雜，好像難以操作．

師：對照本題進行思考，注意觀察式子分子、分母的結構特點．

師：很好，請同學們再想想下面該怎么做？

(停頓一會兒，給基礎相對較弱的同學一些思考時間)．

(本題講評共用時間12分鐘．)

二、幾點教學思考

1．運用幾何直觀要謹防“圖形失真”

借助幾何直觀思考數學問題，是一種非常重要的研究策略和解題手段．但是，也不能過于依賴幾何直觀，忽視對圖形等價性、存在性和完整性等方面的考察，導致“圖形失真”的錯誤．

以20題為例，部分同學過直線CE作平面β與平面PAB相交，并交PA與點F，在這里C、E、B確定一個平面，那么與平面PAB相交如何保證交線一定與PA相交卻未能說明其存在性．在這里，僅憑視覺觀察形之間的位置關系，卻沒有對其存在性進行的必要考察，從而似是而非，無中生有，導致錯誤．再以21題第1問為例，題目看似不難，但有不少同學漏解，源于對問題蘊含的多種可能性缺乏敏感，考慮不周，以偏概全．

因此，在教學時，一是要注重小結常見的“圖形失真”的范例；二是要引導學生對圖形的整體進行考察，挖掘問題蘊含的多種可能性；三是既要立足直觀想象，又要優化解題策略，提煉更具通用性的思想方法．

2．給直觀想象插上邏輯推理的翅膀

教學時，可以適時給直觀想象插上邏輯推理的翅膀，把直觀想象素養的培養推向思維縱深處．教師在教學過程中應注意使所研究的問題直觀化，并借助恰當的直觀模型，揭示研究對象的本質屬性．但是，一方面，幾何直觀本身往往并不是目的，而是一種解決問題的手段；更為關鍵的是，缺乏邏輯推理所得的直觀認識往往難以深入，甚至導致謬誤．因此，直觀想象素養的培養不能脫離與邏輯推理的融合．

如在講評第20題的解法二時，可以反問學生給出四點是否一定共面，如何說明四點共面等．總之，直觀想象和邏輯推理兩者不可偏廢，應該根據教學需要有所側重，如此才能更為有效的提高和發展更直觀想象素養的水平層次．

3．設計高水平數學任務，綜合提升數學學科素養

數學學科六大核心素養并非獨立存在，而是相互聯系、彼此交融．因此要提升學生的直觀想象素養的水平層次，還需要跨越數學學科不同分支，設計隱含多種學科素養的高水平數學問題和任務，這種問題和任務不僅需要直觀想象，還必須綜合使用多種策略、方法和工具才能加以解決．

如12題，要解決此題不僅需要幾何直觀、數形結合，更需要綜合運用轉化化歸、整體化思想、函數思想等多種思想方法才能解決，這對高一學生而言既具有較大的思維挑戰，同時也能契合學生的最近發展區，有利于激發學生的探究熱情，培養學生的高階數學思維，從而綜合提升數學學科素養[1]．