提取結論 妙證不等式*
——談高中數學課堂教學中發展學生邏輯推理素養

福建廈門外國語學校石獅分校 (362700) 石明榮

“邏輯推理”是指從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題的素養．是得到數學結論、構建數學體系的重要方式，是數學嚴謹性的基本保證，是人們在數學活動中進行交流的基本思維品質．在高中數學課堂教學中，如何發展學生“邏輯推理”素養，關鍵在于如何引導學生發現問題和提出問題，然后利用所學知識進行表述和論證，形成有論據、有條理、合乎邏輯的思維品質和理性精神．筆者就如何在高中數學課堂教學環節，通過對幾個常見結論的證明和提取，進一步解決一類數學試題，發展學生的“邏輯推理”素養，拓展學生的解題思維能力，僅供同仁參考．

1 發現問題，提取結論，提升思維品質

例1 (人民教育出版社(A版)數學(選修2-2)第32頁，習題1.3B組第1題)利用函數的單調性，證明下列不等式，并通過函數圖象直觀驗證：

(1)sinx1+x(x≠0)．

證明：(1)設f(x)=sinx-x,x∈(0,π)，則f′(x)=cosx-1<0，所以f(x)在(0,π)上為減函數，從而f(x)

圖1

如圖1可知，當x∈(0,π)時，函數y=sinx的圖象在函數y=x的圖象的下方，從而當x∈(0,π)時，不等式sinx

(2)設f(x)=ex-(1+x)，則f′(x)=ex-1．當x<0時，ex<1，f′(x)<0，所以f(x)在(-∞,0)上為減函數．當x>0時，ex>1，f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上為增函數．從而f(x)≥f(0)=e0-1=0，當x≠0時，f(x)>0，不等式ex>1+x成立．

圖2

如圖2可知，當x≠0時，函數y=ex的圖象在函數y=1+x的圖象的上方，從而當x≠0時，不等式ex>1+x成立．

通過對以上兩道課本習題的證明，學生容易發現問題，進一步提取出如下結論：

結論1當x≥0時，sinx≤x；

結論2當x∈R時，ex≥1+x；

通過對以上兩道試題的證明，再次引導學生可以發現問題，容易提取到如下結論：

2 解決問題，發展學生“邏輯推理”素養，拓展學生解題思維能力

借助以上四個結論，可以快速解決部分與ex，lnx，sinx，cosx有關的不等式試題，達到事半功倍之效果，從而發展學生的“邏輯推理”素養，拓展解題思維能力．

例3證明下列不等式：(1)ex+cosx-3>lnx；(2)ex+cosx-1>xlnx．

例4任意x∈[0,+∞)，不等式eax+cosx-sinx≥2恒成立．求實數a的取值范圍．

分析：不等式eax+cosx-sinx≥2中既有指數式，又有三角函數式，若能把三角函數化為多項式結構，結合上述結論，容易求得實數a的取值范圍．

綜上所述，教師通過引導學生挖掘“教材中的習題”，鼓勵學生大膽發現、猜測，進一步提取出一些結論，根據所提取的結論，大膽地去嘗試解題，從而發展了“邏輯推理”核心素養，拓展了邏輯推理能力．廣大教師應盡力構建以核心素養為導向的數學課堂，將核心素養的培養滲透到數學的每一個環節，實現“素養型”課堂的轉型．