例談分段數列*

福建省泉州市第七中學 (362000) 紀建靈 黃永生 饒真平

分段數列邏輯性強，靈活度大，在試卷中經常扮演選擇填空壓軸題的角色.本文從分段數列的特點出發，歸納分段數列的考查類型及易錯點，希望對考生突破高考數列壓軸題有所幫助.

1分段數列特點

①通項公式分段，如數列{an}，滿足

②遞推關系分段，如數列{an}，滿足a1=1，

2 分段數列類型

類型一 由通項與前n項和的關系

例1 已知數列{an}的首項為1，前n項和為Sn,且an+1=(a-1)Sn+2，其中a>1，求{an}的通項公式.

類型二 由奇偶分類引起分段

評析：數列{an}中含有(-1)n，sinnπ，cosnπ，…時，需對n進行奇偶性討論，通過研究奇數項和偶數項的特征，求得通項公式；求Sn時，可先討論n為偶數的情形，此時奇數項與偶數項的項數相等，比較簡單.n為奇數時，可通過遞推關系Sn=Sn+1-an+1直接求得.

類型三 由遞推關系引起分段

類型四 由絕對值討論引起分段

例4 數列{an}是遞增的等差數列，且a1+a6=-6，a3a4=8.(1)求數列{an}的通項公式；(2)求數列{|an|}的前n的和Tn.

解析：(1)易得an=2n-10.(2)記Sn=a1+a2+…an，則Sn=n2-9n.當n≤5時，an≤0；Tn=-a1-a2-…-an=-Sn=9n-n2；當n≥6時，an>0，則Tn=-a1-a2-…a5+a6+a7+…an=-2S5+Sn=n2-9n+40.

評析：本例中直接求數列{|an|}的前n項和比較困難，需要對的正負性討論.當n≤5時，|an|=an，Tn為{an}的前n項和；n≥6時，數列{an}中的項有正有負，需要分段討論.

分段數列試題不僅考查基礎知識，更側重考查考生的運算能力、理解能力、推理能力、論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法等.考生遇到分段數列時，可以先通過合情推理，大膽猜想，再演繹論證，歸納總結，逐步培養并形成解決分段數列問題的思維習慣.