一段美麗的邂逅：當“存在”遇到“任意”

浙江省溫州中學 (325000) 吳時月

當代數學教育家弗賴登塔爾曾經指出：“反思是數學活動的核心和動力”，可見反思的重要性. 老師不僅要讓學生知道解后反思的內容和重點，更要教會學生如何反思. 通過解題反思，引導學生再次對問題進行分析、對比、歸納與總結，對問題中所蘊含的數學思想方法進行再審視，起到一個再提高的作用.

筆者在高三復習“函數中的存在與任意問題”時，遇到了這樣一道題：

已知函數f(x)=x2+(a-4)x+3-a，若對于任意的a∈(0,4)，存在x∈[0,2]，使得|f(x)|≥t，求t的取值范圍．

課堂期間同學們提出的問題與想法引發(fā)了筆者的思考．以下便是學生與筆者對這道題的分析與講評實錄.

學生1：通過觀察發(fā)現函數f(x)=x2+(a-4)x+3-a既是關于x的二次函數，又是關于a的一次函數，采用主元法的思想將f視為a的一次函數得：f(x)=F(a)=(x-1)a+x2-4x+3=(x-1)(a+x-3)，且a=3-x∈[1,3]?[0,4].所以|F(a)|min=|(x-1)a+x2-4x+3|min=|F(a=3-x)|=0，所以t≤0.

師：學生1很有自己的想法，主次元換位，一次主導，避開了分類討論，那該解法是否正確呢？ 最終答案是否正確呢？

學生2：將函數f(x)=x2+(a-4)x+3-a視成x的二次函數，按對稱軸進行分類：

師：與同學1的切入角度不一樣，生2將f(x)視成x的二次函數.按照對二次函數的對稱軸進行嚴格的分類討論來解決經典的含參問題，但是以上兩種處理手法帶來的答案是不一樣的，到底哪個正確呢？

圖1

=g(a)，如圖1，通過比較易知g(a)=

師：因為對稱軸范圍的特殊性，直接比較兩個端點及對稱處的函數值的絕對值的大小，是學生2的解法的升級版.

師：主導思想還是先視x為主元，結合x的取值特點，以非常巧妙的放縮的方式來解決問題，同時保證等號同時取到，令人耳目一新！

師：解法1中已發(fā)現原函數具有因式分解的效果，與解法1不同的是解法5仍是以x為主元，兩個一次函數的絕對值同時取到最大值，解法非常新穎．

對比以上幾種解法，最大的分歧在于先以哪個參數為主元．到底哪種理解正確呢？我們有必要一探究竟．為了敘述方便，我們將問題的條件重新描述如下：設二元函數F(x,a)=|x2+(a-4)x+3-a|，?a∈(0,4)，?x∈[0,2]，使得F(x,a)≥t.求t的取值范圍.

這是一道“存在”遇到“任意”的問題．同學1的解法是先把F(x,a)看成a的函數，即先處理“任意”，再處理“存在”， 也就是將條件轉化于：

同學2至5都是先把F(x,a)看成x的函數，即先處理“存在”，再處理“任意”，從而將條件轉化為：

那么，此問題就歸結為：“任意”與“存在”的處理次序可以隨意嗎？我們來回歸教材，在課本【1】中，對于全稱命題與特稱命題的定義如下：

通常，將含有變量x的語句用p(x)表示，變量x的取值范圍用M表示．那么，全稱命題“對M中任意一個x，有p(x)成立”，簡記為?x∈M,p(x)，讀作“對任意x屬于M，有p(x)成立”．特稱命題“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”簡記為?x0∈M,p(x0)，讀作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．

在本問題中，對應于?a∈(0,4)的語句p(x)應為“?x∈[0,2]，F(x,a)≥t”．由此可見，解決該問題的邏輯順序應為先明確語句p(x)，即先處理“存在”，然后再處理“任意”，也就是說條件應等價于：

所以同學2至5的解法正確，答案正確. 而同學1的解法是以下問法的答案：F(x,a)=|x2+(a-4)x+3-a|，?x∈[0,2]，?a∈(0,4)，F(x,a)≥t.

于是我們可以得出如下系列結論：

圖2

明確了該命題等價于求最大值的最小值后，遇上絕對值，也可以從以下角度切入：|f(x)|=|(x2-4x+3)--a(x-1)|.令g(x)=x2-4x+3,h(x)=-a(x-1)，則|f(x)|=|(x2-4x+3)-(-a(x-1))|代表兩個函數g(x),h(x)的函數值之差的絕對值，如圖2，由絕對值的縱向(鉛錘)距離的幾何意義計算可知：取a=2時，即h(x)=-2x-1時，g(x),h(x)的函數值之差的絕對值的最小為1，所以t≤1.

評注：利用的絕對值的幾何意義，來尋找直(曲)線的“最佳”的位置，使得最大值最小，是非常不錯的一種幾何手法．

圖3

評注：采用換元的方法，將原來的式子進行等價變形，簡化代數式子的結構，起到事半功倍的效果.亦可理解為通過變形，把函數圖象轉化為類似“平口單峰”的處理形式.

學生在處理含有“存在”與“任意”等特(全)稱命題時，常常會出現等價變形不到位而出錯的情形.我們應該啟發(fā)和引導學生先從宏觀上去把握，再從微觀上去突破，在解題思路的整體設計上和解題方法的優(yōu)劣選擇上下功夫，用研究的態(tài)度去對待我們遇到的每一個數學問題，最終對問題達成較為透徹的理解，起到揭示問題本質的作用.