2020年全國Ⅰ卷導數壓軸題的命題手法探究*

福建省福清市教師進修學校 (350300) 李云杰 福建省福清第三中學 (350315) 何 燈

2020年高考數學試題設計圍繞高中數學的核心內容，堅持素養導向、能力為重的命題原則，注重基礎知識、基本技能、基本思想方法的考查，體現了高考數學的科學選拔和育人導向作用.2020年的高考已經落下了帷幕，很多省份將迎來新高考，這給我們帶來機遇的同時，也帶來了挑戰.如何從容應對？筆者認為，加強試題研討，不失為應對挑戰的有效方法.

下面筆者以2020年全國Ⅰ卷理科數學導數壓軸題為例，探究其命題手法，借助此手法，實現試題的一般性拓展.文中所述只是筆者對命題者命題過程的思考、揣測、推演，可能并非命題者的命題意圖，僅供讀者參考.

試題已知函數f(x)=ex+ax2-x.

(1)當a=1時，討論f(x)的單調性；

本題主要考查導數函數的單調性、不等式的恒成立等基礎知識，以及推理論證能力、運算求解能力、抽象概括能力等，同時考查函數與方程的思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想、數形結合思想和邏輯推理、直觀想象、數學運算等核心素養.

1.解法探究

(1)過程略.

2.手法探究

解法二采用分離參數法，將不等式恒等變形為a≥g(x)，其中g(x)的導函數可進行因式分解，其中一個因式是關于x的一次表達式，另外一個因式符號恒定，從而可求g(x)的最大值.由解法二的過程，逆向推演，不難猜測命題者的命題手法.

第一步:尋找一個在區間[0,+∞)上符號恒定的函數h(x)，命題者取h(x)=2ex-x2-2x-2.

第五步：進行合理設問.為了體現題目的梯度，一道試題幾個設問往往具有一定的相關性，設問與設問之間呈現層層遞進的關系，前一個設問常常是后一個設問的臺階，為后面問題的解答提供思考方向，埋下伏筆[1].為了證明2ex-x2-2x-2≥0，需要構造函數F(x)=2ex-x2-2x-2，研究其圖象的特性.由于F(x)與f(x)的形式相近，為了降低題目難度且呈現設問的相關性，命題者設定第(1)小題研究函數f(x)的單調性，為證明F(x)≥0埋下伏筆.

3.試題拓展

基于上述命題手法的分析，筆者得到原試題第(2)小題的如下拓展結論.

(ⅰ)若x=0，則λ∈R.

4.解后反思

本題在考查學生的思維能力、實踐能力和創新意識等方面起到一定的作用.筆者認為通過試題解析，是數學學科“立德樹人”的具體體現[2].學生通過研磨數學試題，有助于形成理性思維，樹立科學精神與科學態度，從而促進智力發展，并形成正確的人生觀、價值觀、世界觀[3].這種基于探究策略的試題研究，對提升數學教師的專業素養，提高審題能力、解題能力、析題能力、說題能力、變題能力、命題能力和教題能力也有極大的裨益.