利用伸縮變換證明一個猜想

江蘇省姜堰中等專業學校 (225538) 陳 宇

本文將借助伸縮變換證明此猜想成立.

伸縮變換相關性質：

性質1 伸縮變換前后，曲線(含直線)的位置關系不改變(如：平行，相交，相切)；

性質2 伸縮變換前后，同一直線上(或平行線上)的兩線段長度之比不改變；

性質3 一條直線，經過伸縮變換φ：

由性質1可知， 在上述伸縮變換下可得

圖1

命題如圖1，設A，B為⊙O：x2+y2=1上任意兩點，過點P1(P1,A,B不共線，P1在⊙O外)作圓的兩條割線P1A,P1B分別交圓于M1,N1兩點，分別連接AN1,BM1交于R1， 過M1,N1分別作圓的兩條切線M1G,N1H交于Q1則P1,Q1,R1三點共線(D1，Q1,R1存在).

該命題證明見[3].

圖2

圖3

圖4

這里所證只是文[3]所證之“情形一”(如圖2).同理可證文[3]所證之“情形二”(如圖3)，“情形三”(點Q,R都存在時，且PR與弦MN交點D,每一切線與對應割線的交點E,F均存在.如圖4)經上述伸縮變換后仍使文[1]之結論成立.

所以猜想成立.

所有需討論的特殊情形亦如文[3] .

事實上：因為文[3]命題中只要P1點是⊙O外的任意點，具備條件：點P1,A1,A2不共線，(情形3中，A1N與A2M不平行，且相關輔助線交點D,E,F都存在).所以猜想中也不需要此條件：直線l:x=t(t≠0,t≠a).結論照樣成立.

圖5

圖6

再進一步，當P1點是⊙O內除圓心外的任意點，P1,A1,A2不共線，過點P1作圓的兩條弦P1A,P1B分別交圓于M1,N1兩點，分別連接AN1,BM1交于R1， 過M1,N1分別作圓的兩條切線M1G,N1H交于Q1則P1,Q1,R1三點共線(如圖5，6).結論依然成立.(作為文[3]的變式，圖5，6分別對應文[3]的情形一，二.證明過程亦如文[3]，只需交換P1，R1即可.不存在文[3]之“情形3”)

⊙O經伸縮變換成為橢圓后，即P在橢圓內，P,A1,A2不共線，且P不是橢圓中心，上述猜想的條件下，結論依然成立.

至此， 文[1] 之猜想可推廣為：

可由上述P1點在⊙O外或內的已證結論，經伸縮變換證明(此略).