解析幾何兩類問題的拓廣

江西省撫州市臨川區第十六中學 (344100) 鄧在祥

1.引言

關于點到直線的距離公式，筆者曾經看過如下推導方法.

問題已知直線l:Ax+By+C=0，點P在直線l外，求點P到直線l的距離.

圖1

解：設f(x,y)=Ax+By+C，則f(x,y)=

A(x-x0)+B(y-y0)+Ax0+By0+C=A(x-x0)+B(y-y0)+f(x0,y0).

如圖1，過P作PH⊥l于H.

①當A,B均不為零時，

②當A,B有且只有一個為零時，易驗證公式(*)仍然成立.

這里，將直線方程中的x,y分別換成x-x0,y-y0，卻能使公式的推導過程大為簡化，不能不令人稱奇.受此啟發，筆者嘗試利用這種想法去解決其他一些相關問題，發現有不少問題也有類似的效果.值得一提的是，這種想法能方便解決解析幾何中許多“傳統問題”的拓廣形式.本文僅舉兩例說明.

2.中點弦問題的拓廣

在解析幾何中，凡是涉及到圓錐曲線弦的中點問題，都被稱為“中點弦問題”，如

這是一道典型的中點弦問題，常規的解法是“韋達定理法”和“點差法”.現將該問題拓廣為

拓廣后的問題即為圓錐曲線弦的定比分點問題.對于此類問題，如用問題1的解法求解就不靈便了.

3.對稱問題的拓廣

對稱問題是直線與圓錐曲線位置關系問題中的一種典型問題，如

解決此類問題的基本方法也是韋達定理法和點差法.現將該問題拓廣為

圖2

下面是問題4的一種解法.

解：設PQ:y=-x+b，P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0)，則有f(x,y)=x2+2y2-2=(x-x0)2+2(y-y0)2+2x0(x-x0)+4y0(y-y0)+f(x0,y0)，g(x,y)=x+y-b=(x-x0)+(y-y0)+g(x0,y0).

b-3(-3,2717)2717(-2717,3)3u'(b)-0+u(b)33↘-51↗-33