例談求解條件概率的兩種基本策略

廣東省惠州市第一中學 (516007) 方志平

由于條件概率相對一般概率概念更為抽象，涉及的事件關系更為復雜，相關概念也極易混淆,所以條件概率是高中數學教學的一個難點，基于此本文舉例剖析，以期幫助同學們走出有關條件概率的解題困境.

1.直接利用條件概率公式求解

例3 設某公路上行駛的貨車和客車的比例為2:1, 貨車在中途停車修車的概率為0.02, 客車在中途停車修車的概率為0.01, 今有一輛汽車停車修理, 求該汽車是貨車的概率.

評注：本題關鍵要理解“今有一輛汽車停車修理”是前提條件，在此條件下求這輛汽車是貨車的概率.

例4 某醫院用一儀器對某種疾病進行初步診斷, 已知這種儀器對患病者的正確診斷概率有0.9；對沒患病者的正確診斷率有0.8.已知這種疾病在人群中的患病的比例為0.1, 若某人去醫院就診, 在醫院通過這種儀器初診給出的診斷結論是已患病的條件下, 求此人真正患這種病的概率.

評注：本題用到的公式比較多，關鍵是要理解條件概率的定義，分清誰是條件，誰是結論，靈活運用條件概率計算公式及其變形形式.

2.縮減樣本空間利用古典概型求解

例5 將三顆骰子各擲一次，記事件A=“三個點數都不同”，B=“至少出現一個6點”，則條件概率P(B|A),P(A|B)分別等于( ).

解：事件AB：“當且僅當三顆骰子中點數都不同且只出現一個6點”.

例6 某校籃球隊假期集訓，集訓前共有6個籃球，其中3個是新球(即沒有用過的球)，3 個是舊球(即至少用過一次的球)．每次訓練，都從中任意取出2個球，用完后放回．求第二次訓練時恰好取到一個新球的概率.

評注：本題要注意一個常識，即新球訓練過后就變成了舊球，所以要計算第二次恰好取到一個新球的概率，需要了解經過第一次訓練后，所剩的球有幾個新球，幾個舊球，所以要對第一次取球的情況進行分類討論，然后分別計算概率再相加即可.

例7 設盒中有10個球，其中紅球4個，白球6個，今從中不放回地接連取出4個球，已知至少取出一個紅球，求至少取出兩個紅球的概率.

評注：題中已假設“至少取出一個紅球”為事件A，在這一條件下，事件B：“至少取出兩個紅球”的情形較為復雜，因此考查其對立事件的概率可找到問題解決的突破口.

綜上，解決條件概率問題，除此之外，還有其它的求解策略，本文只是探討了求解條件概率問題的冰山一角，僅供讀者參考.這里特別強調，求解條件概率問題，首先要充分理解事件(B|A)中條件“A”的必然性和事件“B”的隨機性.事件AB與(B|A)的落腳點不同，前者是指在原概率空間中的兩個事件同時發生，關鍵詞是“原概率空間”、“同時”，后者指縮減概率空間后，事件“B”發生的概率，強調的是“B”，而非“A”、“B”“同時”，也不是“A”先發生“B”后發生，關鍵點“A”是已經“發生過了”的必然事件，在此基礎上，事件“B”又發生了.