放縮法在高考不等式恒成立問題中的應用*

福建省石獅市第一中學 (362700) 莫偉昌

不等式恒成立問題是高考導數(shù)解答題中常見的題型，因其常同時包含超越函數(shù)結(jié)構(gòu)(指數(shù)、對數(shù)等)和非超越函數(shù)結(jié)構(gòu)，使得直接構(gòu)造出的函數(shù)難以直接求出最值，導致問題無法解決，因而它被認為是高中數(shù)學最具區(qū)分度的問題之一.

解決此類問題的策略一般有三：一是將變量分離，構(gòu)造函數(shù)求最值；二是將不等式變形，使不等號兩邊的結(jié)構(gòu)相同，構(gòu)造函數(shù)，用單調(diào)性的性質(zhì)把復雜的不等式轉(zhuǎn)化到簡單的不等式來處理；三是利用不等式把復雜的不等式，轉(zhuǎn)化到較簡單的不等式來處理.本文嘗試用第三個策略求解此類問題.

1.恒成立求參數(shù)范圍問題

問題1 (2020年新高考全國I卷21)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.(I)當a=e時，求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；(II)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

分析：(I)過程略；(II)為不等式恒成立問題，同時存在指數(shù)和對數(shù)結(jié)構(gòu)，且含有參數(shù)，若直接求f(x)的最小值，其難度可想而知，不應該作為首選的方法.

通過分析f(x)≥1的等價變形得elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx，發(fā)現(xiàn)不等式兩邊為相同的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)g(x)=ex+x，f(x)≥1等價于g(lna+x-1)≥g(lnx)，因其為增函數(shù)，故f(x)≥1最終等價于lna+x-1≥lnx，再分離參數(shù)，求出新函數(shù)h(x)=lnx-x+1最大值(h(x)max=0)，問題即可解決.此為同構(gòu)法.

將f(x)≥1的指數(shù)和對數(shù)結(jié)構(gòu)分到不等式兩邊為ex+lna-1≥lnx-lna+1.通過分析發(fā)現(xiàn)，兩邊的對應函數(shù)都為增函數(shù)，左邊的是凹函數(shù)，右邊的是凸函數(shù)，據(jù)此可推斷，兩函數(shù)之間存在一直線將兩函數(shù)圖像隔開；又聯(lián)想到兩個不等式“ex≥x+1”、“x-1≥lnx”，即有ex+lna-1≥x+lna和x-lna≥lnx-lna+1，又y=x+lna和y=x-lna斜率一樣，而且lna=0時，對應直線為兩函數(shù)圖像的公切線，即原不等式等號成立，也就是lna不同取值可以涵蓋ex+lna-1≥lnx-lna+1成立的所有情況(圖像相離到相切)，故f(x)≥1必等價于ex+lna-1≥x+lna≥x-lna≥lnx-lna+1，即lna≥0,∴a≥1.此為放縮法.

從以上分析可以看出，第一種方法是通法，思路簡單，但執(zhí)行難度非常大；第二種方法是巧法，思路較為復雜，但比較容易執(zhí)行；第三種方法也是巧法，思路相對復雜，解答過程較簡單.

2.恒成立證明問題

問題2 (2013年高考全國新課標II卷理21)已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m).(I)當x=0是f(x)的極值點，求m，并討論f(x)單調(diào)性；(II)當m≤2，證明f(x)>0.

分析：(I)過程略；(II)最直接的思路是求出f(x)的最小值并證明其大于0，但這會非常繁雜，不作為首選的方法；同樣，難以變形出兩個相同的結(jié)構(gòu)，同構(gòu)法不再適用.

分析f(x)>0的等價形式ex>ln(x+m)，兩邊都為增函數(shù)，但其凹凸性相反，故可推斷兩函數(shù)圖像存在直線將兩圖像分開，聯(lián)想到不等式“ex≥x+1”、“x-1≥lnx”，故有猜想ex≥x+1≥x+m-1≥ln(x+m)，而當m≤2時恰有x+1≥x+m-1，猜想成立.又因為ex≥x+1和x+m-1≥ln(x+m)等號成立的條件不同，故ex>ln(x+m)，得證.

分析：(I)過程略；(II)最直接的思路是求出f(x)的最小值并證明其大于等于0，但這會非常繁雜，不作為首選的方法；同樣，難以變形出兩個相同的結(jié)構(gòu)，同構(gòu)法不再適用.

經(jīng)過以上分析，放縮在這兩個問題，起著至關(guān)重要的作用，特別是問題3的第一次放縮，直接把參數(shù)去掉，大大降低了問題的難度.實際上，問題2可以做類似的放縮，把參數(shù)消掉，但去掉參數(shù)后求最值的過程并不容易，還是進行第二次放縮更為簡單.

3.放縮法的本質(zhì)和使用條件

放縮法的作用就是把復雜的不等式變?yōu)檩^簡單得不等式.問題3的第一次放縮是必不可少的，也是理所當然的.而問題1中選擇的“ex≥x+1”和“x-1≥lnx放縮，卻有兩個理由：一是相關(guān)的兩函數(shù)凹凸性不同——這是選擇放縮的前提；二是選擇這兩個不等式來放縮后，原不等式的“大于或等于”都能覆蓋完整(如e2x+ln2a≥lnx-lna恒成立，則應該選擇ex≥x+1和2x-1-ln2≥lnx來放縮)，其他的放縮方式則不能做到.

實際上，對于恒成立的證明問題來說，只要能證明原不等式成立，選擇哪一個不等式，放縮多少次，都是可以的，當然是越簡單越好；但對于可以用放縮求參數(shù)范圍的問題來說，則放縮的不等式必須符合問題1中的分析要求.