一道立體幾何高考題的多種解法

江西省高安市第二中學(xué) (330800) 張克勤

2020年全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)(理)第18題，由于該題考查的圖形是立體幾何中的圓錐，可以非常好的選擇建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)解決該題的第(2)問(wèn)，本文給出不同于參考答案的另外兩種解法.

圖1

(1)證明：PA⊥平面PBC；

(2)求二面角B-PC-E的余弦值.

圖2

E(-2a,0,0)，所以

評(píng)注：解法一是命題者提供的參考答案，通過(guò)建系，利用空間向量關(guān)系求解，解法自然常規(guī)，但運(yùn)算量較大.

圖3

評(píng)注：解法二是利用向量的數(shù)量積的定義求解.相對(duì)解法一更加簡(jiǎn)化，無(wú)需建系求坐標(biāo)，但用到向量的加減運(yùn)算和數(shù)乘以及二面角平面角的定義，這些也是教材中的基礎(chǔ)內(nèi)容.

圖4

評(píng)注：解法三直接利用余弦定理，無(wú)需建系求坐標(biāo)，也不需要用到向量的加減運(yùn)算和數(shù)乘，但要求在空間圖形中尋找到二面角相應(yīng)的平面角，這正是回歸立體幾何教學(xué)的本位，更凸觀立體幾何教學(xué)的核心素養(yǎng)目標(biāo).