基于GARCH模型的國內黃金指數回報率預測評價

楊蕾

【摘要】文中采用時間序列的 Garch 模型對我國黃金指數建模進行預測。通過分析討論我國黃金指數 AUL9 價格收益波動規律的特征，有利于投資者更科學合理地把握黃金指數市場行情，控制市場風險，對該市場波動規律及未來趨勢研究具有實際意義。實證表明我國的黃金指數回報率時間序列具有隨機游走特性，且存在arch效應，我們通過擬合Garch （1，1）模型進行預測，取得了比較滿意的預測結果。Garch （1，1）模型計量結果表明其具有波動集聚性，并且波動的外部沖擊對市場有長期的影響。

【關鍵詞】黃金指數? Garch 模型? 預測? 資產收益波動率

一、引言

今年年初當美國等西方國家的金融體系遭遇突發風險事件和不穩定因素時，黃金被視為一種重要的避險資產，于是世界各國對黃金的發展走勢越來越重視。隨著金融風險造成的損失越來越突顯，對于黃金指數回報率進行建模，綜合各種指標，提出科學建議就顯得格外重要。至于我們本次研究的黃金指數回報率建模及預報能力，國外的研究人員做過系統性的論證分析，指出跟蹤分析黃金指數波動率與成交量之間的關系能夠幫助我們開發市場內部買賣雙方的交易信息及綜合狀態，并整合這些微觀層面的信息可以幫助投資者避免盲目效仿，進一步評估這些信息產生的影響，對衡量黃金指數發展水平發揮著重要的作用，最終幫助我們看清黃金指數的回報率分布和走勢規律。從國內已有的文獻資料看來，國內對該領域研究較晚，對黃金指數的特征、走勢等等探討的并不太多。

二、文獻綜述

早在20世紀初期，國外已經有相關的學術研究，Robert F.Engle（1982）發表了關于自回歸條件異方差arch模型的研究。之后不久，Bollerslev（1986）提出來基于arch模型的廣義自回歸條件異方差Garch模型，該模型考慮到上一期對現期影響因素以及外部條件的影響，進一步放開對arch模型的約束。它比傳統的方差模型刻畫出的金融市場風險的變化過程更加準確，因此arch模型及衍生出的Garch模型在金融時間序列研究領域有著廣泛的應用。

我們這里研究的Garch模型在分析論證黃金指數AUL9過程中表現出的波動率集聚的特點效果顯著，可以運用于金融時間序列收益波動率的預測評估。選用Garch 模型分析我國黃金指數AUL9價格波動率走勢特征，同時對該模型在未來波動率的預測效果進行評價，給市場參與者提供一定的參考。

三、Garch 預測模型介紹及數據收集處理

（一）Garch預測模型介紹

Garch模型不同于傳統的模型要指定方差為一個固定的數，它將方差表現呈一種動態序列的形式，更貼近市場的客觀情況，使所建模型效果更好。所以比起arch模型，Garch模型更加適用于做波動率的分析和預測。Garch（1，1）模型是Garch（p，q）方法中最常用的模型，我們將其作為擬合黃金指數價格的預測工具，模型的數學表達為：

Rt=C+εt

其中Rt是金融資產收益率，C為常數項，εt為誤差項，α0>0，α1≥0，β1≥0。

（二）數據收集及處理

本文中實證研究選取的某交易所發布的黃金指數數據AUL9的每日收盤價數據作為樣本;由于Garch模型要求采用的樣本數量最少應為200個以上的前提條件，為保證有足夠的樣本量，文中選取的樣本時間跨度從2010年1月4日至2018年11月7日，共2148個有效的交易日數據，黃金指數交易價格及交易量數據來自wind數據庫提供的統計數據。

筆者運用的是黃金指數AUL9回報率時間序列數據，采取的是回報率的對數形式，也就是每兩個連續交易日收盤價取對數后的一階差分，數學表達式為：

Rt=lnpt-lnpt-1

其中pt為當日的收盤價，pt-1為前一日收盤價，Rt為當日的回報率。

四、數據樣本的基本檢驗

數據的正態性測試：

一般金融數據需先測試正態性，以驗證分析的數據究竟呈現出怎樣的分布狀態，當它不服從正態分布，我們才可以拿來做后續的研究分析。本文中筆者分別運用Q-Q圖分析法及J-B檢驗法等兩種方法進行正態性檢驗。

圖1 黃金指數AUL9的回報率的正態Q-Q圖及直方圖

（1）Q-Q 圖形分析法。利用SPSS軟件，筆者模擬出黃金指數AUL9的日回報率的正態Q-Q圖（見圖1左圖），黃金指數的Q-Q圖大致呈“S”狀，與圖中的直線并不重合，說明分析的樣本數據并不服從正態分布。

（2）峰度偏度分析法。筆者模擬出黃金指數 AUL9 的回報率直方圖（見圖 1 右圖），觀察結果：黃金指數 AUL9 的回報率序列Rt的Mean值為0.0005 約等于0，回報率序列的std.dev標準差值為0.0096，skewness值為-0.304，偏度小于 0，說明該序列呈拖尾分布，kurtosis為 5.391，峰度大于3，該序列分布高于正態分布。

五、Garch預測模型實證分析

（一）平穩性測試

在建模之前，先要測試該回報率數據的平穩性，平穩性是回報率序列做后續估計和預測的必要前提。在眾多平穩性的測試方法中，單位根檢驗就是一種很有效的測試方法。之后我們利用ADF檢驗測試黃金指數AUL9回報率序列，該序列記作Rt。

測試結果如表1，在1%的顯著水平下，該回報率Rt統計結果表明拒絕原假設，即Rt序列為平穩的。在論證過程中，為避免偽回歸發生，需要分析P值，經計算得到的P值為0小于0.05，不存在單位根，Rt回報率序列穩定。

（二）波動性測試

我們通過STATA軟件測試該回報率Rt序列，從圖2可明顯看出，部分時段波動較大，部分時段較小，即前段波動大，后段波動小，呈現出典型的金融時序數據的爆發性、集聚性和持久性等特征。且Rt回報率序列圍繞著 0值上下波動，已無明顯的趨勢，可以視為一個零均值化的平穩序列，可以用于實證。

（三）arch效應測試與Garch模型估計

1.arch效應測試

在金融時間序列建模之前，我們必須先通過測試看它的殘差是否呈現arch效應。筆者運用arch-lm測試方法測試黃金指數AUL9回報率Rt序列，得到結果，在滯后階數p=1時lm統計量為61.504，P值（伴隨概率）0.0000，拒絕原假設，arch效應顯著，可以用來擬合Garch模型。

2.Garch模型的參數估計

Garch模型這種用于預測時序的建模法，它具有更好地消除資產回報里過高峰值的優點。本文中，Garch（1，1）模型將作為我們的預測工具來預測已選取的回報率數據。通過以上的單位根檢驗、波動性檢驗、arch效應檢驗以后，證實我們所選的黃金指數AUL9的回報率通過測試，則建立Garch（1，1）黃金指數價格AUL9回報率預測模型，所得的估計方程為：

上述的條件方差模型中的arch項和Garch項的系數對應的統計量都很顯著，即該回報率序列存在Garch效應。從條件方差估計值可見，Garch（1，1）模型的系數α1和β1都顯著不為0，且α1+β1=0.9987332<1，符合模型成立的約束條件，因而選用Garch（1，1）預測短期黃金指數AUL9是可行的。

（四）估計模型檢驗

在以往大量的金融時序研究中，通過對估計結果的殘差做自相關檢驗， 來判斷模型擬合優度，檢驗估計的有效性。一般殘差值的大小與最近一期的殘差有關，所以我們基于殘差的自相關圖，可以檢驗均值方程的估計是否正確。

經過AUL9回報率Rt序列的殘差自相關檢驗，檢驗中觀測值對應的點并沒有全部落在接受區域內，該殘差序列依然存在自相關值顯著非0的情況，表明之前模型提取不夠充分，為了得到更加科學合理的預測結果，下面我們需要繼續調整模型。

（五）調整的Garch預測模型

為了消除該序列存在的自相關現象，為了提升模型預測的準確性，我們對模型進行了調整。調整后模型的數學表達式為：

調整后再做殘差自相關檢驗時，AUL9回報率Rt序列的觀測值對應的點大致落在95%置信區間內，表明現在的該殘差序列已消除了自相關。同時調整后的模型參數均比原來更加顯著，Garch項系數0.9507反映了系統的長記憶性，而α1比β1的波動程度較小，arch項系數0.0482反映外部沖擊對黃金指數回報波動的影響，表示市場的波動持續性比較明顯。所以說現在的Garch（1，1）模型更好地擬合了Rt序列。

（六）模型的預測

我們得到的模型經識別和參數估計后，通過相關檢驗，證實可以對黃金指數AUL9的收盤價及波動狀況進行預測。由于我們選取了收盤價差分序列的對 數數據擬合模型，為了獲得更準確的結果，我們還要將預測出的AUL9回報率Rt時序還原為收盤價數據，結果為2018年11月7日預測值277.2474698，實際值277.3;2018年11月8日預測值276.808602，實際值276.85，;2018年11月9日預測值274.8056444，實際值274.8。我們將實際值與預測值相對比，并擬合出時序圖（圖3），實際值與預測值的走勢非常接近。

六、結果分析

（一）對黃金指數AUL9日收盤價收益波動的評價

本文通過對2148個有效的黃金指數AUL9日收盤價歷史數據進行建模，分析實證結果，Garch模型模擬出黃金指數回報率Rt的預測值接近實際值，圖中模擬的曲線也幾乎與實際的趨勢一致。估計模型的參數α1+β1的結果接近于1，且Garch項系數0.9507反映了系統的長記憶性。與β1相比，α1的波動程度較小，arch項系數0.0482反映外部沖擊對黃金指數收益波動的影響，表示市場的波動持續性比較顯著。這就說明我國黃金指數價格波動持續了很長時間，即t天波動率大，隨后一天的波動率也很大。目前我國股市中存在大量的個人投資者，他們容易對信息反映不夠理性，最后決策偏差造成價格偏離了內在價值，因而產生了價格波動的聚集性。

（二）Garch模型預測金融時間序列非常實用

許多研究中表明，Garch模型做預測一個顯著的優點就是它只需要有黃金指數價格的時序數據。雖然它也需要對于模型進行統計計量、經濟規律等檢驗，判斷樣本序列的異方差性和相關性，但收集金融數據相對容易一些，而且經過分析論證，Garch（1，1）模型完全適用于我國的黃金指數回報率序列的建模，因而在實際工作中這種“數據驅動方法”非常受歡迎。

（三）Garch模型未來還需提高

Garch模型所選的樣本數據一般都是金融高頻數據，做短期預測可行，對長周期的預測效果還有待進一步的研究。另外，對于市場的突發狀況，Garch模型一般很難做出回應，怎樣跟現代的智能方法（如人工智能、機器學習等方法）有效的結合，以便更加準確地跟上突發事件，是未來有待進一步提高的問題。

參考文獻：

[1]Bollerslev，T. Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity [J]. Journal of Econometrics，1986，（31）：307-327.

[2]Engle， R. Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation [J]. Journal of Finance，1982，50（3）：821-851.

[3] 阮敬. Python數據分析基礎[M].（第2版）.北京： 中國統計出版社（2018）：440-443.