力的保守性具有伽利略變換的不變性

李學生

（山東大學物理學院，山東 濟南 250100）

現在的力學教材都是利用環路積分為0 定義保守力的，文獻[1～8]指出如果力的保守性可隨參照系而變，那么在不同的慣性系中做關于某力的保守性的物理實驗，將可根據該力在一慣性系中做功是否與路徑有關，從而判斷該慣性系相對施加該力的作為另一慣性系的物體是否在運動——這是相對性原理不能允許的.力是伽利略變換的不變量就不成立了，經典力學理論本身就出現了矛盾.

顯含時間力場的定義：對于力F=F（r，t），如果時間t 不能通過恒等變換消去，只能表示為位置和時間的二元函數，或者說力F 對于時間的偏導數不恒等于0，那么力F 就是一個顯含時間的力場或者說是一個不穩定場.

定理：在兩個相對勻速運動的慣性系o、O1中，如果o 系中力f 是保守力，那么在O1系中該力F=f 也是保守力.

證明：設0 時刻慣性系o、O1完全重合，且O1系相對于o 系以正常數u 的勻速開始運動.設t 時刻，質量為m 的質點在慣性系o 的位矢、速度、加速度、受的力、做的功中分別為：r，v，a，f，w，在O1系中分別為：R，V，A，F，W，則據微分運算有

是關于時間t 的連續函數，質點在任何時刻的速度都是唯一存在的，因此R=φ(t)也是可導函數，如果該函數出現常值函數區間，質點靜止，受到的力是0，不是顯含時間的力，下面不研究這個區間，去掉該常值函數區間，該函數的極值點可以把它劃分為若干個單調區間，設D 是該函數的任意一個單調區間，根據反函數的定義在該區間上存在反函數t=φ-1(R)，在區間D 上W=j(t)=j1(R)是位置的函數，對時間的偏導數等于0，F 是保守力.由于在任意單調區間上成立，所以該結論在任何位置都成立，F=mA=ma=f 是O1系中的保守力.

另證：F（r）=F1（R-ut），由于R=r+ut=r(t)+ut=φ(t)是關于時間t 的連續函數，質點在任何時刻的速度都是唯一存在的，因此R=φ(t)是可導函數，如果該函數出現常值函數區間，質點做勻速直線運動，受到的力是恒力，不是顯含時間的力，下面不研究這個區間，去掉該常值函數區間，該函數的極值點可以把它劃分為若干個單調區間，設D 是該函數的任意一個單調區間，根據反函數的定義在該區間上存在反函數t=φ-1(R)，所以

仍然是位置的一元函數，對時間的偏導數等于0，不是顯含時間的力.有些文獻[3]僅僅從F=f（r）=F1（R-ut）出發得出顯含時間的力，其實經過數學變換可以消去時間t，力經過伽利略變換后仍然可以表示為位置的函數，此時只能說是隱含時間的一元函數，文獻[9]的觀點是錯誤的.

不要認為在力的解析式中有時間變量就認為一定是顯含時間的力場，必須分析一下能否消去變量t，表示為位置的一元函數，例如當把彈簧振子固定在地面上時，在地面系觀察彈力F=-kx=-kxkAsin(ωt+φ），但不是顯含時間的力場，否則地面系機械能也不守恒.只要力不是顯含時間的力，場也不是顯含時間的力場.從分析力學角度來看，只要所研究系統的拉格朗日函數和哈密頓函數不顯含時間，系統的機械能一定守恒，與矢量力學的結論完全一致，因為根據dEp=（-f）?dr 可知只有力場顯含時間，勢能才能顯含時間，從而機械能顯含時間.力場顯含時間是指場的坐標含有時間參量t，r 是指質點的坐標，含有時間參量t 是必然的，通過坐標變換可以完全消去，不叫做顯含時間.

由于牛頓力學適用于絕對時空，因此場或者力的坐標必須是相對于力源靜止坐標系里的坐標(因此力是伽利略變換的不變量包括力場的性質不變)，質點坐標是觀察者坐標系里的坐標，這一點和相對論不同，在相對論中場的坐標和質點坐標都是觀察者坐標系里的坐標，伽利略變換和洛倫茲變換在這一點上是有區別的，不能僅僅看做是洛倫茲變換的低速近似，伽利略變換只研究質點坐標，不研究場（或者力）的坐標.朗道的書《力學》中說，在慣性參考系中自由運動的質點，由于時間和空間的均勻性和各向同性，表征它所用的拉格朗日函數不顯含時間和廣義坐標和速度的方向.

保守力利用環路積分為0 定義，注意這里的環路積分是對于同一個坐標系而言，而不是同一個參照系.參照系和坐標系有時是相同的，有時可以不同.例如在一個相對于地面勻速運動的傳送帶上放一塊小木塊，小木塊在滑動摩擦力的作用下，從皮帶的A 點向后運動到B 點，然后和皮帶一起運動一段距離，在某一個時刻皮帶突然停止，小木塊由于慣性向前運動，在滑動摩擦力的作用下從B 點運動到A 點，如果以皮帶為參照系，小木塊受到摩擦力的環路積分為0，滑動摩擦力成為了保守力.可是小木塊的動能不變，內能增加，能量守恒定律不成立.在這里問題的癥結在于皮帶這個參照系其實代表兩個慣性系，開始時相對于地面勻速運動，后來相對于地面靜止，其實對于其中任何一個慣性系小木塊都沒有形成環路.在這里參照系和慣性系不是一回事，這個問題搞不明白，容易出錯，把耗散力變成保守力，也可以把保守力變成非保守力，文獻[10]就是出現類似錯誤.

文獻[11]認為勢函數不僅僅與位置有關，還和速度有關，其實經過數學變換可以消去速度，表示為位置的函數.力是伽利略變換的不變量是指各個慣性系里的觀察者在同一個力場中研究質點的運動規律.

文獻[12]分析了慣性力的性質，證明了慣性力是保守力，根據愛因斯坦的觀點：慣性力等價于引力場，因此也是保守力.或者假設愛因斯坦的廣義相對性原理成立，那么能量守恒定律在所有參照系成立，只要一個物理過程在慣性系能量守恒，在非慣性系也一定守恒，也可以證明慣性力是保守力.文獻[13]說明對于慣性力是否是保守力，需要單獨證明，下面給出一個數學證明，證明慣性力不是顯含時間的力.

證明：假設質點在慣性系的加速度為a1，慣性加速度為a2，此時對于質點dv/dt=a1+a2=a(t)，所以質點的速度是時間t 的函數v=f(t)，ds/dt=f(t)，位移也是時間t 的函數s=φ(t)，是關于時間t 的連續函數，質點在任何時刻的速度都是唯一存在的，因此s=φ(t)也是可導函數，如果該函數出現常值函數區間，質點靜止，受到的力是0，不是顯含時間的力，下面不研究這個區間，去掉該常值函數區間，該函數的極值點可以把它劃分為若干個單調區間，設D 是該函數的任意一個單調區間，根據反函數的定義在該區間上存在反函數t=φ-1(s)，這樣a=a(φ-1(s))，慣性力F=ma(φ-1(s))與時間t 無關，不是顯含時間的力，也不是耗散力，是一個保守力.只有力的大小是位移和時間的二元函數，并且時間t 不能被消元的話，才是顯含時間的力.文獻[14]列舉的實例也可以消去時間t，不是顯含時間的力.

文獻[15]也證明了慣性離心力也是一個保守力，給出了離心力勢能公式Ep，文獻[16～19]證明了直線勻加速度參考坐標系和勻角速度定軸轉動參考坐標系，其慣性力為保守力，對于直線非勻加速度參考坐標系和非勻角速度定軸轉動參考坐標系，其慣性力顯含時間為非保守力是錯誤的，此時是隱含時間的力，通過變換可以消去時間t，此時慣性力也是保守力.文獻[20]認為除了牽連慣性力是非保守力，其他慣性力是保守力，也是同樣的錯誤.文獻[21]證明了非勻角速度定軸轉動參考坐標系機械能守恒定律也成立，即此時慣性力也是保守力.其實對于直線非勻加速度參考坐標系慣性力也是一個保守力，例如假設在一部變加速上升（加速度a=a(t)）的電梯內觀察一個自由降落的質點，質點受到重力和一個慣性力，慣性力的大小是時間t 的函數，如果慣性力是顯含時間的力——非保守力，會觀測到質點的機械能不守恒，能量來自哪里呢？

文獻[22]認為機械能的哈密頓量是位置坐標的函數，在進行該位置坐標上的坐標變換時總會攜帶時間，導致其哈密頓量對時間的偏導數不為0，是完全錯誤的，通過上面的分析可以看出時間t 完全可以消去，其哈密頓量對時間的偏導數始終為0.設彈簧振子處于平衡位置時振子的位置為坐標原點o，沿橫軸x 方向以v 運動的慣性參考系中的動能為T′，勢能為P′，則x=Acos(ωt)，k=mω2，-ωAsin(ωt)，