厘清概念，抓住特征，把握本質
——初中因式分解教學的有效思考

江蘇省濱海縣八巨初級中學 陳正宏

因式分解在初中數學教學一元二次方程、二次函數、分式運算、根式運算等方面有著重要的應用，可以為二次方程降次，為公式運算約分、讓數的計算變得簡便，其中滲透了整體、類比、換元等數學思想方法。在因式分解教學中，有知識性錯誤，學生會出現對概念理解不清、公式應用混淆以及分解不徹底的情況，學生或受前概念的影響，產生思維定勢；有邏輯性錯誤，出現前后不等價的情況；有策略性錯誤，部分學生缺乏整體思想、選擇的方法不當、沒有掌握必要的技能，導致出現錯誤。部分學生的認知存在缺陷，他們會出現記錯法則、不能準確使用公式的情況，以致在運算時會產生錯誤。部分學生不能合理地選擇恰當的方法進行因式分解，以致在解題時出現思維受阻的情況，因此必須通過相應的訓練，幫助學生形成解決問題的策略。

一、準確把握公式特征

教師要遵循學生的身心發展規律，要依據教材中的知識結構進行教學，讓學生掌握平方差、完全平方公式等內容。整式乘法與因式分解是一個互逆的變式，整式乘法會對因式分解產生負遷移，因而要學會因式分解既要求學生具有逆向思維能力，也能讓學生厘清知識結構， 避免亂用公式。部分學生不能分辨平方差公式與完全平方公式之間的區別，不能準確把握它們的特征，因而會出現亂套亂用的情況。教師可以用符號“△、?”來表示平方差公式與完全平方公式。教師要通過逐層遞進的變式練習，讓學生能準確地把握公式的特征，能體會由特殊到一般的數學思想，由淺入深地把握知識的本質。如在蘇科版七下《平方差公式》一課的教學中，教者分別出示了以下練習：練習一：4m2-9；（x+m）2-（x+n）2。教者引導學生先確定公式中的“△與?”，要滲透“化歸”的數學思想，要學會將“整體”的思想應用于因式分解之中。練習二：x4-y4；m3n-mn。學生在初步完成因式分解后，教者要引導學生進一步分解，這樣才能分得更徹底。學生要掌握綜合應用的思想，如果有公因式可以提取，必須先提取公因式。

二、清晰認識概念本質

在初中數學教學中，一些概念較為抽象，學生難以理解。而概念是學習其他知識的起點，學生只有準確地把握概念，認清概念的本質，才能真正掌握因式分解的本質。教師可以將因式分解的概念融入實際問題教學中，讓學生結合圖形去分析平方差公式、完全平方公式，這樣能將因式分解的圖式固化于學生的頭腦之中。教者可以提出問題：要設計一塊長方形草坪，使它的面積為mn，則它的長與寬各是多少？如果面積為m（a+b），它的長與寬各是多少？如果面積為m2-n2，它的長與寬各是多少？如果面積是m2-2mn+n2，則它的長與寬是多少？教者引導學生從ab=a×b中獲得啟示，看看m（a+b）、m2-n2、m2-2mn+n2是不是也可以分解成兩個式子相乘的形式，從而引入因式分解的概念。

三、形成有效學習策略

學生只有準確地掌握因式分解的策略，才能靈活地進行計算。教師要增加學生積極的體驗，引發他們的學習熱情，要從現有的認知水平、學習能力出發，提出不同層次的要求。如果學生基礎扎實、思維水平高，教師可以提出開放性、應用性的問題，讓他們從多角度進行分解；如果學生的基礎薄弱，讓學生運用單一的方法去解決問題。教師要鼓勵學生嘗試運用多種方法解決問題，或向他們布置實踐類的作業，能促進學生認知能力的提升。教師要為學生留有自我發展的空間，讓他們進行自我監控，對自己的解法加以修正。如在因式分解“0.09x4-36x2”時，很多學生得到錯誤的答案：（0.3x2+6x）（0.3x2-6x），學生如果對自己的解題過程進行監控，就會意識到還可以提取x，這樣他們就會先用提取公因式，再用平方差進行分解。教師要引導學生分析錯題，歸納多項式的特征，總結出正確的解題方法。如果多項式是二項，的看能否用平方差公式，如果是三項的，看能否運用完全平方公式或十字相乘法分解，如果是四項或以上的，可以按字母、系數、指數、公式等特點進行分組分解。學生在因式分解時，先看能否提公因式，如果第一項系數是負數，可以先提出一個負號，再將括號中的各項都變號，要避免出現符號錯誤的情況。在應用公式時，一定要尋找正確的公式。

總之，在初中數學因式分解教學中，教師要分析學生出錯的原因，要引領學生把握公式的特征，掌握因式分解的有效策略，幫助學生形成有效的解題策略。