工字型鋼框架極限承載力分析的通用廣義屈服函數

楊綠峰，譚夏墉，韓晶晶

(1.廣西大學土木建筑工程學院，廣西，南寧530004；2. 廣西大學工程防災與結構安全教育部重點實驗室，廣西，南寧530004)

工字型和H 型鋼截面具有抗彎能力強、用料省的特點，歐美等國家規范[1?2]中通常將二者合并表達為工字型鋼，在各種工業和民用建筑結構、尤其是大跨度工業廠房和高層建筑的框架結構中得到廣泛應用[3?4]，其極限承載力是保證結構安全使用的關鍵。廣義屈服函數(Generalized Yield Function，簡記為GYF)[5]是表征構件發生全截面屈服時不同內力分量與截面強度之間必須滿足的函數關系式，與截面幾何形狀和材料特性密切相關，是開展構件極限承載力分析和設計的基礎。

國內外針對工字型截面的GYF開展了廣泛研究，但是，由于工字型截面的力學性能與腹板、翼緣的尺寸相關，幾何特征參數多，其廣義屈服函數難以精確地顯式表達。Chen 和Atsuta[6]通過疊加法建立了工字型截面在軸力及雙向彎矩作用下GYF的相對精確解，但需要通過方程組隱式表達，難以在工程實踐中應用。胡淑軍等[7]利用截面組合法建立了簡化的平面內受力工字型截面GYF的隱式方程組。Chen 和Atsuta[6]、Orbison 等[8]研究建立了空間受力下工字型截面GYF的顯性近似表達式，便于工程應用，但沒有考慮截面幾何尺寸的影響。Duan 和Chen[9]、Gendy 和Saleeb[10]進一步以腹板與單翼緣面積之比 γ1作為幾何參數，通過擬合分析研究建立了空間受力下工字型截面GYF的顯性表達式，得到了較為廣泛的應用[11?13]。但是，由于工字型截面的幾何特性相對復雜，僅用 γ1難以準確表征，導致文獻[9? 10]建立的GYF存在計算精度差和通用性不足的問題。

同時，彈性模量調整法[14]是一類原理簡明且精度較高的線彈性迭代分析方法，在結構極限承載力分析中得到廣泛應用。為了提升彈性模量調整法在大型建筑結構中的效率，Marin-Artieda和Dargush[5]、Hamilton 和Boyle[15]、楊綠峰等[16]引入GYF，并利用板殼單元或梁柱單元建立結構有限元模型，大大降低了離散自由度。但是傳統工字型鋼的GYF均為非齊次函數，不滿足塑性極限分析的比例條件[17?18]，導致彈性模量調整法的計算結果會受到初始荷載取值影響，計算結果不穩定、精度不足。為此，楊綠峰等[18]通過建立齊次廣義屈服函數(Homogenous GYF，簡記為HGYF)提出了能高效、穩定求解結構極限承載力的彈性模量縮減法(Elastic Modulus Reduction Method，簡記為EMRM)，具有很高的計算精度和效率。張偉等[19]在此基礎上建立了工字型鋼的HGYF，但沒有全面考慮截面幾何參數的影響，導致其計算精度和通用性不佳。

本文在對比分析截面幾何參數對工字型截面GYF計算精度和適用性影響的基礎上，通過回歸分析建立了具有較強適用性和較高擬合精度的工字型截面通用HGYF，進而結合彈性模量縮減策略，建立了工字型截面框架結構極限承載力分析的高效高精度線彈性迭代方法。

1 傳統工字型截面的廣義屈服函數

1.1 隱性廣義屈服函數

GYF與截面受力狀態、幾何參數和材料屈服準則等因素有關，其中，材料屈服準則多采用Von-Mises準則[20?21]。截面受力狀態和幾何參數是目前建立構件截面GYF的主要考慮因素。

對于圖1(a)所示的工字型構件，截面受軸力Nx、雙向彎矩My和Mz作用，截面幾何參數如圖1(b)所示，其中h、b、tf和tw分別為截面高度、寬度、翼緣厚度和腹板厚度。Santathadaporn 和Chen[6]根據極限分析的界限定理建立了工字型截面廣義屈服函數的隱性表達式，且表現為上下限函數。進一步地，Chen 和Atsuta[6]通過疊加邊長分別為(b,h)、(b,h?2tf)和(tw,h?2tf)的三個矩形截面上的內力，建立工字型截面的內力Nx、My和Mz的計算表達式如下：

根據式(1)確定的內力關系可以判別工字型截面在任意一組內力(Nx,My,Mz)作用下是否進入塑性極限狀態，是GYF的隱式函數，盡管該函數能夠精確表達工字型截面的GYF，但不便于應用。

1.2 顯性廣義屈服函數

胡淑軍等[7]基于截面組合法建立了軸力Nx和強軸向彎矩My共同作用的精確GYF的隱性方程組，適合于平面內受力結構。為了便于使用，本文通過進一步分析和推導，建立了該GYF的顯性表達式：

式中：nx和my分別為對應于Nx和My的無量綱內力；Npx和Mpy分別為軸向強度和抗彎強度，也稱為全截面塑性內力；ω1～ω4為與截面尺寸有關的參數。

考慮到實際應用中有必要考慮空間受力問題，Chen 和Atsuta[6]進一步提出了空間受力的工字型截面GYF的近似表達式：

GYF與構件截面幾何特性和材料特性密切相關，而式(8)、式(10)都沒有考慮工字型截面幾何參數的影響，因而影響兩者的計算精度。

為此，Duan 和Chen[9]建立了具有雙軸對稱(包括箱型、工字型等)截面的GYF：

1.3 截面幾何參數對廣義屈服函數的影響

式(12)和式(15)中的幾何參數γ1只考慮了腹板和單翼緣面積比的影響，難以全面反映工字型截面的幾何特性。為此，這里增加考慮幾何參數γ2：

由于h/tf=γ1γ2+2，因而參數γ1、γ2可以間接表征幾何參數h和tf，因而能夠全面表達工字型截面的幾何特征。這里以式(1)中的GYF為基準對比分析其他GYF的擬合精度和適用性。表1給出了三個工字型截面的幾何參數。

表1 工字型截面尺寸Table 1 Sectional dimensions of I-sections

首先，根據式(1)繪制三個截面的精確GYF，如圖2所示。從圖2中可以看出，盡管截面1和截面3具有相同的γ2取值，但當γ1發生變化時，兩者的GYF隨之發生改變；同時截面2和截面3具有相同的γ1，但當γ2發生變化時，兩者的GYF也隨之發生改變。由此說明工字型鋼截面的GYF與幾何參數γ1和γ2有較密切的關系。

進一步地，根據式(8)、式(10)、式(11)、式(13)和式(14)繪制不同的工字型截面顯性近似GYF關于表1中截面1和截面2的曲線，并與式(1)精確GYF相比較，如圖3所示。從圖3(a)可見，除式(14)的線性GYF誤差較大外，其余近似GYF精度較高，說明傳統的近似GYF對于部分截面尺寸有一定的適用性。

進而，從圖3(b)可見，5個顯式GYF都與隱式精確GYF有較大的差距，其中式(14)的線性GYF誤差最大，其次是式(8)和式(10)的近似GYF。而式(11)和式(13)的近似GYF盡管擬合精度有所改進，但與精確GYF之間仍有顯著誤差。主要原因在于，式(14)的GYF為線性函數，難以合理擬合非線性GYF；式(8)、式(10)的GYF都沒有考慮截面幾何參數γ1和γ2的影響；式(11)、式(13)和式(14)考慮了參數γ1，但未考慮參數γ2的影響。由此說明在建立工字型鋼的GYF時有必要全面考慮截面幾何參數γ1和γ2的影響。

圖2 精確GYF曲線Fig.2 Exact GYFcurves

圖3 傳統GYF曲線Fig.3 Traditional GYFcurves

2 齊次廣義屈服函數

2.1 逐步回歸分析與齊次函數

從1.1節可以看出，式(1)建立的工字型截面精確GYF為隱性函數表達式，不便于使用。而現有的顯性近似GYF在精度和適用性方面都存在不足，并且上述GYF用于結構極限承載力分析時都不滿足比例條件。文獻[19]建立的工字型截面HGYF盡管能夠滿足比例條件，但繼承了式(11)的不足，沒有考慮幾何參數γ2的影響，導致計算精度和適用性都有局限性。為此，這里同時考慮幾何參數γ1和γ2的影響，研究建立工字型截面高精度通用HGYF，具體步驟如下：

2.1.1建立HGYF表達式

2.1.2確定擬合分析的樣本點

根據我國常用工字型截面型鋼表[23]以及美國材料與試驗協會標準ASTM-A6/A6M 中的型鋼截面規格確定γ1和γ2的常見取值范圍γ1∈(0.3,3)，γ2∈(5,50)，并分別按照步長0.3和5均勻配置γ1和γ2在各自取值范圍內的取值點，由此確定100組常見工字型截面的幾何特征參數(γ1j,γ2j)，j=1, 2,···,100。然后根據式(1)中的精確GYF，計算每個工字型截面上滿足廣義屈服條件的無量綱內力，每一組內力形成一個樣本點( γ1i,γ2i,nix,miy,m iz)。通過在屈服面上均勻取值可以確定42 100組屈服面樣本點。

2.1.3根據擬合誤差分析確定

根據上述確定的所有樣本點，通過線性回歸分析確定式(17)和式(18)中的待定系數，使得殘差平方和Π 最小，即：

通過回歸分析可以得到不同階次s時的擬合均方根誤差和可決系數，如表2所示。

表2 不同階次HGYF的擬合精度Table 2 Fitting accuracy of HGYFswith different orders

由表2可見，s對均方根誤差和可決系數有著顯著影響，均方根誤差隨著s增大而逐漸減小，可決系數隨著s增大而逐漸增大。當s>4時，均方根誤差不超過0.03，同時可決系數穩定在0.99以上，充分說明了齊次函數具有較高的擬合精度。

2.1.4簡化HGYF表達式

2.1.1 節～2.1.3節中建立的HGYF表達式是包含了所有齊次項的完整表達式，且隨著階次增加，齊次函數的項數也快速增加，表達式較為復雜。為此，可通過逐步回歸分析對變量進行篩選，逐步引入顯著性大(影響大)的變量，剔除不顯著(影響小)的變量，由此得到簡化的HGYF表達式。這里基于均方根誤差的容許值以及可決系數選取回歸模型，建立HGYF簡化表達式。當s取值2～6時，通過逐步回歸分析確定的HGYF的可決系數如表3所示。由表3可見，在相同均方根誤差容許值下，階次越大，可決系數越大。

表3 不同回歸模型的最大可決系數Table 3 Maximum R2 of different regression models

進一步以表1中截面1為例，當均方根誤差容許值取7%時，不同階次s的HGYF與式(1)精確GYF的對比如圖4所示。從圖4中可以看出2階HGYF曲面與精確GYF曲面在my=0附近處有明顯的分離現象。隨著HGYF階次的增大，與精確GYF的吻合程度逐步提高，且4階HGYF與精確GYF能夠較好吻合。

綜合考慮表3和圖4中不同階次HGYF的擬合精度，均方根誤差容許值取5%時的3階、4階HGYF的可決系數分別達到0.977和0.988，且與精確GYF基本吻合。本文取4階HGYF，具體表達式為：

2.2 齊次廣義屈服函數的精度與通用性

以式(1)中的隱式精確GYF為基準，結合表1中的3個截面對比分析本文的HGYF和文獻[19]的HGYF的精度和適用性，如圖5所示。從圖5中可見，本文HGYF始終與精確GYF吻合較好。同時，文獻[19]的HGYF只對截面1取得較好的擬合精度，而對截面2和截面3的擬合效果較差，這與圖3中式(11)的GYF具有相同的表現，兩者都對截面1擬合較好而對截面2擬合效果較差。其原因在于本文HGYF同時考慮了γ1和γ2兩個截面幾何參數的影響，具有較高的計算精度和廣泛適用性，而文獻[19]的HGYF是基于對式(11)的GYF擬合分析而建立的，因此繼承了該GYF僅考慮幾何參數γ1，而忽略γ2影響的缺陷，導致其適應性和計算精度較差。

圖4 精確GYF與不同階次HGYF對比Fig.4 Comparison between exact GYFand HGYFs with different orders

3 極限承載力分析的線彈性迭代方法

根據框架結構的線彈性內力和式(24)建立的齊次廣義屈服函數，可定義單元承載比：

圖5 精確GYF和HGYF對比Fig.5 Comparison between exact GYFand HGYF

4 算例分析

本文采用商業軟件ANSYS建立有限元模型，并利用EMRM求解平面以及空間荷載下的工字型截面鋼框架結構極限承載力。對比分析不同GYF和HGYF對EMRM 計算結果的影響，進一步地通過與基于塑性極限分析理論的解析解和彈塑性增量分析法(EPIA)[24?25]計算結果進行對比分析，論證EMRM的計算精度和效率。有限元模型中，離散單元類型選用beam189，框架材料的彈性模量E=2.0×105MPa，屈服強度為σs=200 MPa。EPIA采用理想彈塑性本構模型和力的2-范數收斂準則。臺式PC機配置CPU@3.60 GHz，內存16.0 G。

4.1 單層單跨平面框架

圖6 單層單跨框架Fig.6 Single-story and single-span frame

圖6所示的單層單跨工字型截面平面框架，跨度L和層高H均為3 m，構件為美國型鋼W14×426?？蚣茏髠戎斪饔糜兴郊泻奢dP?；谒苄詷O限分析理論[26]求得該框架的塑性極限荷載解析解為1881.10 kN。進一步地，分別利用EMRM和EPIA 計算該框架的極限承載力，并以解析解為基準對比分析EMRM 和EPIA 計算結果的精度、效率和適應性。

4.1.1有限元離散方案

為了分析有限元法不同離散方案對精度的影響，分別利用EMRM和EPIA 計算不同離散方案時的框架極限承載力，計算結果與解析解之間的誤差以及CPU 計算耗時見表4。

表4 收斂性分析Table 4 Analysisof convergence

從表4中可以看出，對于EPIA，當每個構件離散為6個單元時計算結果收斂。而對于EMRM，當每個構件離散為2個單元時，計算結果已收斂。此時，EMRM和EPIA 計算結果與解析解之間的相對誤差er分別為0.5%和5.8%，且EMRM的計算耗時尚不到EPIA 的一半，由此說明，EMRM具有較高的計算精度和計算效率。

4.1.2不同GYF的對比分析

為了比較分析傳統GYF和本文HGYF對EMRM結果的不同影響，這里分別將式(8)、式(11)的GYF和本文的HGYF代入式(26)定義不同的單元承載比，在此基礎上進行EMRM計算分析，確定框架結構的極限承載力。分別取荷載P0的初值為10 kN和100 kN 并進行極限承載力分析，此時EMRM的迭代求解過程如圖7所示，相應的計算結果見表5。從圖7中可以看出，采用式(8)和式(11)的GYF定義單元承載比時，EMRM的迭代分析過程波動大，收斂速度慢，且計算結果隨荷載初值P0的改變而改變。這是因為傳統GYF多為非齊次函數，單元承載比與內力變化不成比例，因此計算不穩定，導致計算精度難以滿足要求。同時也可以看到，利用式(24)中HGYF定義單元承載比，可以使得EMRM計算結果不再受初始荷載影響，且僅需很少的迭代步即可得到高精度的收斂結果。

圖7 極限荷載迭代過程Fig.7 Iterative process for ultimate load

表5 荷載初值對結構極限承載力的影響Table5 Influenceof initial load on ultimate strength of structure

4.1.3適用性分析

為討論本文HGYF對不同工字型截面的適用性，依次選取熱軋普通工字鋼I18和I63c、熱軋輕型工字鋼I70以及美國型鋼W36×232作為本算例框架中的梁柱構件，具體截面尺寸見表6，分別利用EMRM和EPIA 分析剛架的極限承載力，并將計算結果同解析解對比，詳見表7。

表6 工字型截面尺寸Table 6 Sectional dimensions of I-sections

從表7可以看出，相較于EPIA，采用基于本文HGYF的EMRM 進行結構極限承載力分析能夠取得更高的計算精度，與解析解之間的相對誤差不超過0.4%，且計算時間不及EPIA 的一半。而且結合表6和表7可以看出，對于具有不同γ1、γ2的型鋼構件，本文方法始終保持較高的計算精度和效率，再次證明本文方法具有良好的適應性。

表7 γ1和γ2 對計算結果的影響Table 7 Influence of γ1 and γ2 on results

4.2 多層多跨空間框架

圖8所示采用工字型構件的多層多跨空間框架，底端固定，跨度L=4.8 m，層高H=3 m，構件為美國型鋼W14×426?？蚣芰喉斆媸茇Q直向下的均布荷載q作用，左側框架柱頂端受水平向右的集中荷載qL作用，可用向量P=(q,P)=P0(1.0,L)表示兩個荷載作用，其中P0=q稱為荷載乘子，常用來代表荷載P開展結構極限承載力分析。

圖8 多層多跨空間剛架Fig.8 Multi-story and multi-span space frame

4.2.1有限元離散方案

為了分析有限元法不同離散方案對空間鋼框架極限承載力計算精度的影響，分別利用EMRM和EPIA 計算不同離散方案下的極限承載力，結果如表8所示。從表8中可以看出，對于EPIA，當每個構件離散為4～6個單元時結果收斂。而對于EMRM，當每個構件離散為2個單元時結果已經收斂?？紤]到EPIA 計算結果將用于檢驗EMRM計算精度的基準，這里選取構件離散單元數為6。此時，EMRM計算得到的極限承載力與EPIA 結果的相對差er在6%左右，而CPU 計算耗時t遠遠低于EPIA，說明EMRM具有較高的計算精度和計算效率。

表8 收斂性分析Table 8 Analysisof convergence

4.2.2荷載初值影響分析

為了比較分析空間框架結構中傳統GYF和本文HGYF對EMRM結果的不同影響，分別將式(8)、式(11)的GYF和本文的HGYF代入式(26)定義不同的單元承載比，在此基礎上利用EMRM計算分析空間框架結構的極限承載力。當分別選取荷載P0的初值為10 kN/m 和100 kN/m 時EMRM的迭代求解過程如圖9所示，相應的計算結果見表9。從圖9 中可以看出，空間框架與平面框架結構的計算結果類似，采用式(8)和式(11)的GYF定義單元承載比時，EMRM的迭代分析過程及計算結果隨荷載初值P0的改變而改變，而利用本文HGYF定義單元承載比，EMRM計算結果不再受初始荷載影響。

圖9 極限荷載迭代過程Fig.9 Iterative process of ultimate load

4.2.3適用性分析

利用基于本文HGYF的EMRM 和EPIA 分析空間框架結構的極限承載力，構件的截面尺寸如表6所示，計算結果見表10。

由表10可知，相較于EPIA，采用基于本文HGYF的EMRM計算復雜空間框架結構的極限承載力時仍然能夠取得較高的計算精度，兩者之間的相對誤差最高在6%左右，且EMRM 有更高的計算效率，計算耗時遠遠低于EPIA。充分證明了本文HGYF和EMRM 具有較強的適用性。

表9 荷載初值對結構極限承載力的影響Table 9 Influence of initial load on ultimate strength of structure

表10 截面幾何參數γ1和γ2對計算結果的影響Table 10 Influence of γ1 and γ2 on results

5 結論

本文通過逐步回歸分析建立了工字型截面的通用齊次廣義屈服函數，提出了平面及空間受力下工字型截面框架結構極限承載力分析的高效高精度線彈性迭代方法，并得到如下結論：

(1)本文建立的工字型截面齊次廣義屈服函數利用兩個比例參數γ1和γ2全面考慮截面幾何特征的影響，適用于平面及空間框架結構，具有較好的通用性，且計算精度高，克服了現有工字型截面廣義屈服函數通用性差、計算精度不足的問題。

(2)基于齊次廣義屈服函數建立的工字型截面框架結構極限承載力分析的線彈性迭代方法計算結果不受初始荷載影響，迭代過程穩定，克服了傳統方法容易受荷載初始值影響、迭代計算過程不穩定的缺陷，具有較高的計算精度和計算效率。