數(shù)學(xué)對稱美與統(tǒng)一美在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

羅建華

【摘要】如果我們能細細品味數(shù)學(xué)那些枯燥公式，煩瑣證明之后的本質(zhì)規(guī)律，就能體味到一種獨特的美，那是數(shù)學(xué)所特有的美：邏輯上的嚴謹性、結(jié)構(gòu)上的協(xié)調(diào)性、理論上的抽象性、應(yīng)用上的廣泛性以及其方法之優(yōu)美與奇特、其形式之間的對稱與和諧、其內(nèi)容的豐富與深刻等等，無不給人以美的感受，美的刺激，美的熱愛。美育，是培養(yǎng)人們認識、發(fā)現(xiàn)、體驗、欣賞和創(chuàng)造美的能力的一種教育方法。我們可以通過美育促進受教育者獲得美的理想、美的品質(zhì)、美的修養(yǎng)和美的情感。一方面，中小學(xué)數(shù)學(xué)教育是為學(xué)生建立一個基本的邏輯體系，另一方面是為了學(xué)生做到主動學(xué)習(xí)，喜愛學(xué)習(xí)，最后形成終身學(xué)習(xí)的習(xí)慣，這才是中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的立足點與支撐點。

【關(guān)鍵詞】對稱美；統(tǒng)一美；數(shù)學(xué)教學(xué)

曾經(jīng)有教育家說過：“沒有美和藝術(shù)的教育，在我看來是不可思議的。”進入21世紀的今天，審美教育這個新名詞漸漸被人們所提起。音樂、體育、美術(shù)等藝術(shù)類科目首先想起號召，開展了大量的美育活動，緊接著語文、英語也做出了改變，唯獨數(shù)學(xué)無動于衷、遲遲不動。這是為什么呢？難道是數(shù)學(xué)缺少美嗎？古希臘的哲學(xué)家柏拉圖就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)是一個巨大的美學(xué)寶庫，例如對稱美、統(tǒng)一美、比例美以及黃金分割等等。許多老師曾為學(xué)生不喜歡數(shù)學(xué)而苦惱，然而只要我們在教學(xué)中引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)美，讓課堂變得活躍起來，激發(fā)他們的興趣，煥發(fā)他們的熱情，再好好地培養(yǎng)他們的興趣，何愁不能提高他們的成績。由于本人才疏學(xué)淺，僅僅對數(shù)學(xué)的對稱美和統(tǒng)一美有些淺薄的研究，希望對數(shù)學(xué)教學(xué)起到些作用。

一、數(shù)學(xué)中的對稱美

數(shù)學(xué)知識中的對稱有很多，但我們常見的只有三類：其一為軸對稱，代表圖形有等腰三角形、長方形；其二為中心對稱，代表圖形有平行四邊形、正方形等；形式上的對稱，比如加減乘除、正反比等。教師在課堂上可以滲透對稱的思想，比如教室內(nèi)常見的黑板、講臺都是對稱的，具體來說是軸對稱。

在所有對稱圖形中，最令人驚嘆是圓這個簡單的曲線。它的對稱軸有無數(shù)條，即便是作為一個中心對稱圖形，它也很特殊。一般的中心對稱圖形必須繞其對稱中心旋轉(zhuǎn)180度后才能跟原圖形重合，而圓不一樣，將它繞其中心旋轉(zhuǎn)任意一個角度后都能跟跟原圖形重合，這就是圓所獨有的性質(zhì)，讓人不禁贊嘆它是最完美的曲線圖形。

（一）創(chuàng)設(shè)美的情境，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的對稱美

在課堂上用課件放出美麗的軸對稱圖形，可比干巴巴地講課生動、形象多了，并且通過多媒體的放映，可以創(chuàng)立一個美的情境，讓學(xué)生置身于美中，全身心地感受到對稱美，在美境中得到成長。比如在學(xué)習(xí)軸對稱這一章時，教室可以這樣說：“同學(xué)們，在這個世界上存在著許多軸對稱圖形，你們認為它是美的嗎？當然是美的，正是因為有了這些美麗的軸對稱圖形，我們的世界才會變得如此五彩繽紛、豐富多彩！好了，就讓我們走近軸對稱圖形，去解開她那神秘的面紗。”[動畫呈現(xiàn)：有美麗迷人的泰姬陵、莊嚴肅穆的金字塔、雄偉壯麗的富士山和歷史悠久的巴黎圣母院等名勝古跡；有圓、矩形、橢圓、等腰三角形、正五邊形等各種圖形；還有漂亮的小蜜蜂，可愛的青蛙，美麗的蝴蝶等各種小動物……]隨著時間的推移，學(xué)生的情緒調(diào)動了起來，發(fā)出此起彼伏的贊嘆聲。學(xué)生已經(jīng)完整地感受到了對稱圖形的美，師：“正因為有了這么多對稱與不對稱，才讓我們的世界變得如此五彩繽紛、美麗動人。”通過這些美麗的畫面，讓學(xué)生欣賞到對稱美，并產(chǎn)生追尋美的渴望。

師：剛才老師展示了那么多的軸對稱圖形，想必同學(xué)們已經(jīng)對軸對稱圖形有了深刻的認識，不知道你們能不能畫出一幅老師最喜歡的軸對稱圖形？

經(jīng)過前面的鋪墊，學(xué)生基本上理解了軸對稱原理，現(xiàn)在進行創(chuàng)作不僅可以鍛煉他們的動手能力，還可以進一步鞏固加深對知識的理解，教師在下面巡查，也可以查漏補缺。

本節(jié)課將要結(jié)束時，學(xué)生自主創(chuàng)作出來許多作品，如楓葉、彩虹、氣球等等。在本節(jié)課的作品展示環(huán)節(jié)，通過學(xué)生自己向全班介紹作品，加深了學(xué)生對對稱的理解，也表現(xiàn)了數(shù)學(xué)對稱美的文化內(nèi)涵。

（二）探索美的秘密，創(chuàng)立美的等式

探索、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造三部曲不僅是人類求知過程，也是一種常用的教學(xué)手段，例如我們可以在先在黑板上寫出一些對稱等式，讓學(xué)生仔細觀察，再提出一個問題，其實答案就隱藏在等式之中，等到學(xué)生苦苦探索，最終得到規(guī)律答案，并利用規(guī)律創(chuàng)造新的等式。多媒體出示：

師：請同學(xué)們仔細觀察上面的6個等式，你覺得美嗎？為什么？你能找出它的規(guī)律嗎？

前面兩問比較容易，學(xué)生一下子就答出來了。可是對于最后一問，全班都陷入了沉默，見此情況教師決定給幾分鐘討論。學(xué)生經(jīng)過激烈的討論最終發(fā)現(xiàn)了算式的秘密：1.每個算式都關(guān)于等號對稱；2.兩個個位、十位互換的兩位數(shù)的乘積等于兩個原兩位數(shù)的乘積。

師：剛剛我們得到了對稱等式的特征，你們能不能根據(jù)它的規(guī)律創(chuàng)造出一些類似的算式？

聽到這話，學(xué)生們躍躍欲試，不一會兒就創(chuàng)造出很多對稱等式，現(xiàn)出示一部分：

數(shù)學(xué)美育的魅力在于讓學(xué)生通過探索發(fā)現(xiàn)，不斷發(fā)現(xiàn)對稱美的秘密，并依據(jù)規(guī)律創(chuàng)造出對稱美。這樣不僅鍛煉了學(xué)生發(fā)現(xiàn)美的能力，還激發(fā)了他們探索美的熱情。

從回文數(shù)中得到啟發(fā)，巧解等差數(shù)列，回文數(shù)是指正序讀、反著讀都是一樣的整數(shù)，例如：1001、343、78987等。在回文數(shù)的整數(shù)乘法中，我們發(fā)現(xiàn)了一個有趣的現(xiàn)象：1×1=1，11×11=121，111×123=12321。

我們通過仔細觀察發(fā)現(xiàn)出規(guī)律，并巧算出：111111111×111111111=12345678987654321，回文數(shù)在數(shù)學(xué)算式上的巧妙應(yīng)用正是反映了對稱美，從而引起學(xué)生濃厚的興趣。

（三）從軸對稱圖形中發(fā)現(xiàn)對稱原理的運用

在我們學(xué)習(xí)了軸對稱圖形后，最常見的習(xí)題就是畫出軸對稱圖形的另一半。其實軸對稱圖形為人們研究數(shù)學(xué)問題提供了某些啟示，例如在博弈論中也經(jīng)常用到對稱理論，有一道經(jīng)典的題目：

一張桌面上擺了一排糖果，共計41個，有兩個小朋友比賽看誰能拿到最后的糖果就算贏，游戲規(guī)則是每人每次只可以拿一顆，最多拿兩顆，但是拿兩顆糖果時必須是相鄰的，即中間沒有其他的糖果，證明：先拿的人一定有辦法使對方輸。這題表面上看挺難的，以為從排列組合的角度來看，分法太多了，但是如果從對稱的角度來看卻十分容易。當先手拿走了最中間的那一顆（第二十一顆糖果）后，左、右兩邊都各剩二十顆糖果，只要對方拿一邊的糖果，你就拿另一邊的糖果，而且位置、個數(shù)都和對方對稱，只要對方拿多少，你也拿多少，因為是對稱的，所以最后一次肯定是你的，因此先拿的人肯定是贏家。如果糖果是40粒，即偶數(shù)個時，只要你第一次拿走了中間的兩粒，使左、右兩邊各剩19顆糖果，就能保證必勝。

解答的思維方法來源于軸對稱圖形的基本特征，教師在教授軸對稱圖形性質(zhì)特征時，可以部分引用這方面的知識，加深對軸對稱圖形知識的運用和深層理解，使學(xué)生樂于學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)對稱的美，領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的魅力，激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)美、鑒賞美、創(chuàng)造美的能力，并培養(yǎng)學(xué)生高尚的審美情趣。

二、數(shù)學(xué)中的統(tǒng)一美

在數(shù)學(xué)現(xiàn)象中，統(tǒng)一無處不在，圖形中：長方形、正方形統(tǒng)稱為矩形，因為它們的特征都是四個直角和兩對互相平行的線段；正數(shù)和負數(shù)這兩對冤家也可以統(tǒng)一到實數(shù)中去。

（一）結(jié)論的統(tǒng)一美

一個統(tǒng)一的結(jié)論可以揭示自然界的一些秘密，促進人類社會的發(fā)展進步，人類的發(fā)展史就是一個不斷追求統(tǒng)一結(jié)論的過程。而作為所有學(xué)科的基礎(chǔ)，人類發(fā)展的基石———數(shù)學(xué)更是如此，我們對數(shù)學(xué)現(xiàn)象的所有分析都形成了無數(shù)個統(tǒng)一的結(jié)論，然而這只是冰山一角，自然界中還有許多沒有發(fā)現(xiàn)的結(jié)論等著我們。我們數(shù)學(xué)教材中的每一個公式，每一個定理都是一類問題的統(tǒng)一結(jié)論，也是最高度的概括與總結(jié)。例如，矩形的四個角是直角。除了公式和定理具有統(tǒng)一性外，許多看似毫無關(guān)系的問題也能得出統(tǒng)一的結(jié)論。

（二）方法的統(tǒng)一美

數(shù)學(xué)中有許多常見的方法，它們的應(yīng)用十分廣泛，如消元法、降次法、圖像法、代入法等等，它們在數(shù)學(xué)解題中扮演著十分重要的角色。

例如，二元一次方程可以用消元法或代入法解出未知數(shù)，一元一次方程組也可以用圖像法得出答案。

舉個簡單的例子，我們在計算五邊形的內(nèi)角和，可以輕易地想出以下幾種方法：

方法1：如圖3，連接AD兩點，再連接AC兩點，我們可以看到線段AD、AC將五邊形ABCDE分成三個三角形，因為一個三角形的內(nèi)角和是180度，那么五邊形的內(nèi)角和為180×3=540度。

我們一直觀察發(fā)現(xiàn)，上述的三種解法，都有兩點統(tǒng)一的特征：（1）都是每個頂點跟任意一點連接，這個點可以是頂點，也可以是五邊形內(nèi)部的一點，甚至可以是五邊形一邊上的任意一點；（2）將求五邊形內(nèi)角和的問題，轉(zhuǎn)化成求幾個三角形內(nèi)角和相加的問題。看到這里，有同學(xué)不禁想到如果任意一點是在五邊形的外面，那么還能構(gòu)造出三角形來求五邊形的內(nèi)角和嗎？其實是可以的，方法同上面三種解法一樣，我就不詳細論述了。對不同的解題方法進行概括總結(jié)，得出統(tǒng)一的結(jié)論，有助于學(xué)生深刻地理解問題本質(zhì)，拓展思路，鍛煉解題技巧，感受統(tǒng)一美的魅力。

（三）過程的統(tǒng)一美

我們在學(xué)習(xí)矩形、平行四邊形等數(shù)學(xué)圖形的過程都經(jīng)歷了定義、性質(zhì)、認識、應(yīng)用的四個環(huán)節(jié)，無獨有偶，學(xué)習(xí)全等、相似等數(shù)學(xué)關(guān)系的時候也是經(jīng)歷了這四個環(huán)節(jié)。而我們在學(xué)習(xí)一元一次、二元一次等方程的過程都經(jīng)歷了概念、解法、應(yīng)用的三個階段。知識點的研究過程可以統(tǒng)一，那么數(shù)學(xué)的解題過程也有統(tǒng)一美嗎？

注：我們發(fā)現(xiàn)在解答第二問的時候有兩種情況，在這兩種情況中的圖形差異很大，得出的結(jié)論也不一樣，但是解題過程卻出乎意料的一致。這種解題過程的高度統(tǒng)一在第三問中也存在著，第三題共有六種情況，除了兩種情況無解外，其他幾種情況的解題過程基本一致，這里就不贅述了。

從這道題中，我們可以發(fā)現(xiàn)圖形通過平移、旋轉(zhuǎn)等變換改變了位置和形狀，但是解題的過程卻是高度的統(tǒng)一，從這種統(tǒng)一上，學(xué)生可以得到思路的啟發(fā)，找到快速簡捷的解決問題途徑，這就是統(tǒng)一美的意義所在。

三、對未來數(shù)學(xué)教學(xué)模式的思考和建議

滲透數(shù)學(xué)美在數(shù)學(xué)不僅是教學(xué)過程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)之美無處不在，也刺激了課堂氣氛，吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生形成微妙的一個美麗的培養(yǎng)。

教材里潛藏的美學(xué)因素，教師應(yīng)在課堂教學(xué)中揭示出來，讓學(xué)生自然地認識到數(shù)學(xué)的美。教師可以引導(dǎo)學(xué)生獲取新知識與審美特征。通過必要的實踐中獲得感悟，再發(fā)現(xiàn)新的知識與美學(xué)。學(xué)生通過這個過程培養(yǎng)了審美直覺能力，提高了實踐創(chuàng)造能力。

教師在課堂教學(xué)中要注重于引導(dǎo)學(xué)生的審美意識，適當?shù)貙?shù)學(xué)中美的因素呈現(xiàn)出來，讓學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)的美感。

教師可以探索數(shù)學(xué)美的教科書，培養(yǎng)學(xué)生的感受美，欣賞美，讓學(xué)生可以用美學(xué)方法在數(shù)學(xué)創(chuàng)造美的能力。

因此，在教學(xué)實踐中，學(xué)生可以更輕松，更快樂地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，掌握數(shù)學(xué)技能，形成了學(xué)習(xí)氣氛，是自覺的，輕松的，活潑的。

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