借助畫圖策略，建構數學模型

聶應波

【摘要】“植樹問題”是數學廣角的經典問題，要解決這一問題，可以采用建構普遍的數學模型的方法。筆者就如何借助畫圖策略，幫助學生有效地理解問題結構、建構數學模型，結合自己的教學實踐，給出了具體的思考與建議。

【關鍵詞】畫圖策略；數學模型；植樹問題

“植樹問題”是數學廣角的經典問題，就“植樹問題”這一經典課題而言，往常大多數教師特別重視關于“植樹問題”三種不同類型的區分。即兩端都栽、兩端不栽、一端栽一端不栽，并要求學生牢牢地記住相應的計算法則（“加一”“不加不減”“減一”）。學生雖然會解決這一問題，卻不能把植樹問題的解決方法與生活中相似的現象進行知識鏈接，只是在“機械應用”，思維的靈活性明顯不夠。其實這三種問題都有著相同的數學結構，即可以被歸結為同一個數學模型。基于此，幫助建構植樹問題的數學模型將是本節課的教學重點，也是教學難點。那么如何有效地幫助學生理解問題結構，建構數學模型呢？在教學中我做了如下的嘗試。

一、借助畫圖引發認知沖突，感悟相同中的不同，初識模型

典型的植樹問題與學生先前學習的平均分問題有著緊密的聯系。因此，這節課的教學首先從簡單的平均分問題入手引出植樹問題。

課件依次出示：20個蘋果，每只小猴子5個，可以分給幾只小猴子？

生：20÷5=4（只）。

師：20個人乘車，每輛車可載5人，需要幾輛車？

生：20÷5=4（輛）。

師：想想為什么它們都能用20÷5=4來解決呢？

生：都是平均分。

師：究竟為什么呢？請圖來說話，讓我們借助圖，再次來理解一下究竟是為什么呢？（課件出示下圖）

師：這兩題，穿著的外衣不一樣，一個簡單的圖就能讓我們看清其實它們的實質是一樣的，都是求20里面有幾個5。

師：這次挑戰升級了，大家還有信心嗎？

課件出示：在一條長20米的小路一邊植樹，每隔5米種一棵，一共要種多少棵樹？

生：4棵、5棵……

師：到底要種多少棵樹？怎么驗證？

在學生猜想植樹棵數的基礎上引發矛盾沖突，學生自發地產生畫圖驗證的需求，感悟到在解決問題時可以借助畫圖來理解。

二、借助畫圖引導對比，發現數量中的關系，理解模型

（一）畫圖驗證

師：種樹時要符合什么要求？畫圖該怎么表示？

生：每五米種一棵，就是每兩棵樹之間的間隔長度為五米，在圖上可以用5厘米表示。

師：好的要求明確，方法也有了，那么請大家畫一畫，想一想到底需要幾棵，先獨立思考再在小組內交流你的想法。（巡視，并挑選代表畫在黑板上。）

師：好多同學已經通過畫圖驗證了自己的想法，下面一起來請同學結合圖來說說是自己是怎么種的？種了幾棵，第一棵樹種在哪里？

（二）列出算式

師：畫圖后有了不同的答案。我們能否用算式來表示這些答案呢？

生：一齊列式。（先列兩頭都種的，再列兩頭都不種的，最后列只種一頭的）

（三）對比理解

師：20÷5=4，求出的是什么呢？

生：4個間隔。

師：板書20÷5=4（個），這種植樹的方法四個間隔剛好是四棵樹，那為什么四個間隔剛好就種了四棵樹呢？誰來到圖上指指這四棵樹在哪？四個間隔又在哪呢？（帶著學生指一指一棵數一個間隔）

師：這樣一棵樹剛好對著一個間隔，在數學上，我們把稱為“一一對應”。

師：（依次指著兩頭都種20÷5=4（個）和兩頭不種的）那這里為什么還要加1呢？這里為什么要減1呢？誰到上面指一指？為什么要加一棵呢？引導學生解釋原因，說明理由。滲透一一對應的思想，理解棵樹與間隔數之間的關系，感悟植樹問題模型。

（四）歸納命名

師：誰能給這三種不同的方法取個名字呢？兩頭都種，只種一頭，兩頭都不種。

這個過程中始終借助圖，讓學生直觀得發現植樹問題的三種情況：兩頭都種、只種一頭、兩頭不種。引導學生看圖并直觀演示，讓學生從圖中看到關系，理解“棵樹、間隔數”，感悟“一一對應”思想。

三、借助畫圖類比遷移，體會不同中的相同，建構模型

（一）學生結合圖探究30米的路

師：同學們我們可能在20米的路上種樹，還有可能在15米、30米、若干米的路上種樹，那結果又是怎樣的呢？就以30米為例，試一試師課件出示題目。（生獨立完成）

生：結合圖匯報結果。

（二）脫離圖研究50米、100米的路

師：若路又變長了，變成了50米，100米還愿意畫下去嗎？不畫了，誰能快速列式呢？（結合學生回答板書算式）

（三）引導發現棵樹與段數之間的關系

師：無論路長多少米，只要兩頭都種棵樹，就會是怎樣的呢？兩端都不種呢？能否說說椴樹與棵樹之間的關系呢？同桌互相說說。

生：答略。（師板書三種關系）。

（四）總結提升反思方法

師：若是一千米呢？是什么幫助我們發現其中的奧秘的？（板書畫簡圖找規律）

（五）聯系生活，建構模型（課件出示下圖）

師：什么相當于樹？圖中的情況相當于我們種樹的哪一種？

在學生得出棵樹與間隔數之間的數量關系后，通過變換路的長度再次探索植樹棵樹的問題，逐步將植樹問題的三種不同情況進行提煉，得出棵樹與間隔數之間的關系，凸顯出數學結構，抽象成數學模型。

四、借助畫圖解釋規律，溝通問題中的聯系，運用模型

而建立模型思想的最后一個環節是通過模型去求出結果，并用此結果去解釋討論其在現實問題中的意義。在最后練習的環節以圖文結合的形式出示一個題組，充滿濃郁生活氣息，讓學生運用模型解決問題。

總之，盡管“植樹問題”可以被看成提供了一個很好的“現實原型”，但在教學中我們還需要超出這一特定情境，設法由一個到一類滲透一種數學規律的思想，深化對模型思想的理解，在此過程中凸顯畫圖在解決問題中的作用，畫圖策略成為模型運用的有力支撐。

【參考文獻】

[1]曹健.巧借數學建模，啟發學生思維[J].江西教育，2020（18）.