框架-核心筒結構的多維隨機地震反應分析

袁敏森，周江林，肖 蘭，阮鑫鑫，劉章軍

武漢工程大學土木工程與建筑學院，湖北 武漢430074

近年來，框架-核心筒結構逐漸發展成為高層、超高層主流結構形式之一。高層框架-核心筒結構的抗震性能和抗倒塌設計等越來越受到研究者的重視［1-3］。地震災害經驗及地震相關理論已指明，地面運動在地震發生時表現為由平動分量和轉動分量構成的多維運動［4］。由于目前已有的實測記錄的地震動轉動分量極其有限，且轉動分量之間較復雜，因此多數研究一般考慮3個平動分量，即2個水平分量和1個豎向分量。為了使框架-核心筒結構體系的地震破壞最小化，必須考慮地震的多維特性的影響［5］。為此，沈超等［6］采用試驗和數值模擬方法分別分析了單向水平和多向地震作用下框架-核心筒結構模型水平方向動力響應的差別。Cheng等［7］采用數值模擬的分析方法，對框架-核心筒結構在多維長周期地震記錄下的非線性時程反應和抗震性能進行了研究。然而，上述研究都以實測強震記錄作為輸入，屬于一種確定性方法，未充分考慮到地震動的隨機性。

鑒于此，為了進一步探討地震動的隨機性與多維性對框架-核心筒結構的地震反應的影響，本文提出了多維非平穩地震動（三個平動分量）的降維模擬方法，結合時變功率譜模型和多維四段強度調制函數，構造多維非平穩地震動模型，模擬了非平穩地震動的代表性時程；同時，探究了一個33層框架-核心筒結構在不同地震動的輸入方式（一維、二維、三維）下的地震反應，驗證了本文方法的有效性和工程適用性。

1 多維非平穩地震動過程的降維模擬

同一質點的三維地震動是一個矢量過程，它在3個主軸方向上的地震動分量互不相關且具有最大、中等和最小方差［8］。因此，可以利用一維單變量的非平穩隨機過程的模擬方法來分別生成三維地震動的分量過程。為此，假定地震動的3個主軸即為x、y和z坐標軸，其中x、y為水平向，z為豎直向。對于三維地震動的每個分量Uv(t)（v=x，y，z或v=1，2，3）均為零均值的一維、單變量的實值非平穩隨機過程，其原始的譜表示為［9］：

式中，Gv(ω，t)為v分量的演變功率譜密度函數，ωn=nΔω；{ }Xn，v，Yn，v為一組標準的正交隨機變量，滿足如下基本條件［10］：

其中，E[]·為期望符號，δmn為Kronecker記號。

根據隨機函數的降維思想［9］，可將Xn，v和Yn，v(n=1，2，…，N;v=1，2，3)均表達為概率分布已知的基本隨機變量的正交函數形式。在本文中，采用如下形式的隨機函數：

式中，基本隨機變量Θ1和Θ2互相獨立且在[0，2π)上服從均勻分布。一般地，按式（3）定義的隨機變量集需要進行一一映射和后使用，具體步驟見文獻［10］。顯然，在式（3）中定義的正交隨機變量能滿足式（2）的基本條件。

從以上推導可以看出，式（3）定義的隨機函數形式使得基于正交隨機變量的原始譜表示模擬式（1）中的隨機變量數量6N減少為2。從而克服Monte Carlo模擬方法需要成千上萬個隨機變量的局限性，為復雜工程結構的隨機動力反應分析和動力可靠度評價提供基礎。

2 三維非平穩地震動的實現

2.1 三維非平穩地震動的演變功率譜模型

對于v分量的演變功率譜密度函數，采用式（1）所示形式［11］

式中，fv(t)為v方向地震動分量的強度調制函數；Sv(ω，t)為v方向地震動分量的時變功率譜，采用Clough-Penzien時變功率譜模型［12］：

其中

在式（5）中，譜強度因子S0，v(t)計算如下［12］

式中，Amax表示地震動峰值加速度的均值；rv表示v方向地震動分量的等效峰值因子。

文 獻［12］根 據《建 筑 抗 震 設 計 規 范》（GB 50011-2010），給出了場地土參數及a、b的建議取值，表1給出了在場地類別Ⅱ、設計地震分組為第一組以及罕遇地震作用條件下的取值。表1中也給出了Ⅷ度罕遇地震的峰值加速度Amax和場地類別為Ⅱ類第一組的持時T。同時，對于該條件下地震動分量的等效峰值因子rv，為了與文獻［14］提出的三維反應譜一致，本文建議取值：rx=2.65，ry=3.31，rz=4.86。

表1時變功率譜模型的參數取值Tab.1 Parameter values of time-varying power spectrum model

對于強度調制函數fv(t)，本文采用李英民等［14］提出的四段連續型強度調制函數模型，該模型能夠考慮3個地震動分量的上升速率、平穩持時及衰減快慢的區別，即

式中，t0和t1分別為上升段的起始時刻和終止時刻，t2為下降段的起始時刻，c為下降段衰減指數；T1=t1-t0為上升段的持時，TS=t2-t1為平穩段的持時。表2給出了地震烈度為Ⅷ度、場地類別為Ⅱ時，三維地震動強度調制函數的參數取值［14］。

表2三維地震動強度調制函數的參數取值Tab.2 Parameter values of intensity modulation function for three-dimensional ground motion

2.2 三維非平穩地震動的模擬結果

為了生成非平穩地震動過程的代表性時程集合，需先在區間[0，2π)×[0，2π)上選取基本隨機向量的代表性點集。采用數論方法［15］選取nsel=144個代表性點集{ }θ1，l，θ2，l(l=1，2，…，nsel)，其中nsel為代表性點的數量。同時，計算每個代表性點的賦得概率Pl，且滿足結合前述模型和參數，生成了144個多維非平穩地震動加速度的代表性時程。圖1給出了各分量地震動的一個代表性樣本。可見，各分量的樣本在振幅和頻率非平穩性、強度峰值到達時刻和持續時間上有顯著差異。圖2示出了各分量樣本集的統計量（均值和標準差）與其目標值的比較。可以看出，生成的地震動樣本過程的統計量與目標值非常接近，驗證了降維方法的有效性。

圖1三維地震動代表性時程Fig.1 Representative time history of three dimensional ground motion

圖2各分量的統計量與其目標值的比較：（a）均值，（b）標準差Fig.2 Comparison between statistics of each component and its target value：（a）mean，（b）standard deviation

3 框架-核心筒結構隨機地震反應分析

圖3結構平面圖（單位：mm）Fig.3 Layout of structure（unit：mm）

該工程為某高層辦公樓，采用型鋼混凝土框架-鋼筋混凝土核心筒結構體系，建筑層數共33層，結構高度為99.6 m，首層層高為3.6 m，2～33層層高為3 m，結構平面圖如圖3所示。本工程所在地區的抗震設防烈度為Ⅷ度，設計基本地震加速度值為0.2g，其設計地震分組是第一組，場地類別為Ⅱ類，其場地設計特征周期為0.35 s。本工程采用建筑材料HRB400鋼筋，Q345等級型鋼；樓板、框架梁、剪力墻和型鋼混凝土柱均采用C40等級混凝土；框架梁尺寸均為350 mm×750 mm，樓板厚度為150 mm，型鋼混凝土柱和剪力墻的尺寸見表3。利用Midas Building軟件建立了該結構的有限元模型，其中，豎向荷載考慮恒荷載、活荷載和自重，水平作用僅考慮地震作用。梁柱采用具有非線性鉸特性的梁柱單元，滯回模型采用修正武田三折線模型，剪力墻采用非線性墻單元。假定結構底部與基礎剛性連接。

表3型鋼混凝土柱和剪力墻的尺寸Tab.3 Sizes of steel reinforced concrete columns and shear walls mm

為了研究多維地震動對框架-核心筒結構的影響，分別進行了一維、二維和三維工況輸入，即水平x向、水平x和y向、x和y與z向。在各工況下，對結構的層間位移角、層剪力、框架柱軸力與剪力墻軸力進行了分析。圖4（a-d）分別給出了在一維、二維和三維地震作用下框架核心筒結構的x方向層間位移角、x方向層剪力、軸線②與軸線A相交處的柱軸壓力和軸線②處的剪力墻軸壓力最大值的均值隨樓層的變化曲線。

圖4各層反應最大值的均值：（a）層間位移角，（b）層剪力，（c）框架柱軸力，（d）剪力墻軸力Fig.4 Mean of maximum response of each storey：（a）inter-storey displacement angle，（b）storey shear，（c）axial pressure of frame column，（d）axial pressure of shear wall

由圖4（a）可知，3種工況的層間位移角均為中上部較大，多維地震作用下的層間位移角顯著大于單向地震作用的層間位移角，二維與三維地震作用下的層間位移角幾乎重合。這表明，考慮雙向水平地震作用時最大層間位移角顯著變大，豎向地震作用對最大層間位移角影響不大。由圖4（b）可知，多維地震作用下的層剪力略小于一維地震作用下的，二維和三維地震作用下的層剪力幾乎一致。由圖4（c）可知，相比于一維地震作用下的柱軸力，多維地震作用下的柱軸力顯著增大，且增幅隨著樓層的增加而變大，變化范圍為36.2%～67.7%，豎向地震對柱軸力影響不可忽略，尤其是上柱。由圖4（d）可知，相比于一維地震作用下的剪力墻軸力，多維地震作用下的剪力墻軸力在結構中下部（20層以下）有所減小，在結構上部（21層以上）呈現出增大趨勢。三維與二維相比剪力墻軸力反應更大。

4 結論

基于多維地震動主軸方向的分量不相關的考慮，本文建議了一類多維非平穩地震動的模擬方法，生成了多維地震動加速度過程的代表性時程集合。同時，以此時程作為輸入，分析了一個33層框架-核心筒結構在不同地震動的輸入方式（一維、二維、三維）下的地震反應，得出以下結論：

1）通過采用隨機函數的降維思想，僅需2個基本隨機變量即可模擬多維非平穩地震動過程，同時生成的時程具有賦得概率且構成完備的概率集，能夠與概率密度理論相結合，為復雜工程結構的多維地震反應分析與可靠度評價奠定基礎。

2）在罕遇多維地震激勵下，框架-核心筒結構的最大層間位移角顯著變大、最大層剪力略微變小、最大柱軸壓力明顯變大、最大剪力墻軸壓力下部減小而上部變大。豎向地震作用對最大層間位移角和層剪力的影響不大，對最大柱軸壓力和剪力墻軸壓力均為增大作用。