啟發式教學在《數學實驗》課程的實踐

張弘 錢旭 宋松和

《數學實驗》課程是高等院校理工科本科學生的一門選修課程，通過講授一些常用的數學算法方法及其程序實現，包括插值、解線性方程組的直接法、解線性方程組的迭代法、非線性方程求根、常微分方程數值解等，使學生了解數學的基本原理、熟悉主要數值算法和建模方法、培養數學編程計算能力。通過體驗數學實驗的全過程，充分調動學生學習的積極性，拓展學生的視野和知識面，最終達到提高學生數學素養和綜合能力的目的。

我校在高年級本科生中開設了《數學實驗》專業選修課程，共16學時。通常，由于這門課程具有理論性強，高度抽象，算法的推導和分析過程復雜等特點，再加上一些學生的《高等數學》和《線性代數》等前續課程基礎較差，程序設計語言和編程方法的學習不夠扎實，理論與實踐銜接不緊密，致使學生對該門課程學習的興趣不高，教學效果也不夠理想。如何提高《數學實驗》課程的教學效果，在教學過程中盡可能地激發學生的學習熱情，變被動灌輸為主動思考，對學生后續課程的學習具有重要的意義。結合近幾年《數學實驗》課程的教學經驗，以下就如何在專業課教學中運用啟發式教學談幾點認識與體會.

1 啟發式教學的重要性

啟發式教學是中國最古老、最傳統的教育方法之一，為歷代教育家所推崇，有著廣泛的 實踐基礎。《數學實驗》課程涉及面廣、原理抽象、對實際操作的技術性要求高。如果采用“滿堂灌”的教學模式，則容易讓學生失去學習的動力。此外高年級的本科生大多具備一定的分析問題和解決問題的能力，與其將課程內容平鋪直敘地灌輸，不如啟發他們去主動思考，去“探索”一些數學結論。通過結合課程教學要求，我們給出一個啟發式教學實踐案例。

2 啟發式教學實踐介紹

矩陣理論是《數學實驗》課程的基礎內容和重要工具，而對角占優矩陣及二次型在矩陣理論中發揮著重要的作用，它有分析簡單、易于掌握等優點。本文就對稱對角占優矩陣的一些新的性質，給出了相關分析，望促進學生對對角占優矩陣本質的理解，更好的掌握《數學實驗》課程的本質。

2.1 對稱對角占優矩陣的新性質

在《線性代數》課程中，我們知道對角線元素非負的對稱對角占優矩陣是正定的，即定理2.1 設滿足

由于定理2.1對部分學生而言較為抽象，為加強學生對這一知識點的理解，在課堂上筆者要求學生使用Octave軟件編寫程序對這一定理驗證。驗證程序如下：

N = 10; N1 = 100; N2 = 100;

for i = 1：N1

tmp = 2*rand（N， N） - 1; % random matrix in [-1， 1]

A = 1/2 * （tmp + tmp'）;

rowsum = sum（abs（A）， 2） - abs（diag（A））;

A = A - diag（diag（A）） + diag（rowsum）; % diagonally dominant

xv = 2*rand（N， N2） - 1;? % random vector in [-1， 1]

minvalue = min（dot（xv， A * xv））;

if minvalue < 0

fprintf（'result = %f， theorem wrong！＼n'， minvalue）;

pause;

end

end

在驗證完這一定理以后，我們希望可以對這一定理進行推廣。為此我們啟發學生計算表達式的結果。通過編程計算，學生們發現是非負的，筆者繼而要求驗證的正確性。學生們再次發現也是非負的。最后筆者啟發學生進行總結，得到如下猜想：

猜想2.2 設是對稱對角占優矩陣且所有對角線元素均滿足則有，其中。

為驗證這一猜想，學生們通過討論以后，給出了如下驗證程序：

N = 10; N1 = 100; N2 = 100;

for i = 1：N1

tmp = 2*rand（N， N） - 1; % random value in [-1， 1]

A = 1/2 * （tmp + tmp'）;

rowsum = sum（abs（A）， 2） - abs（diag（A））;

A = A - diag（diag（A）） + diag（rowsum）; % diagonally dominant

xv = 2*rand（N， N2） - 1; % random vector in [-1， 1]

p = 2;% 3， 4， 5， …

minvalue = min（dot（（xv.^（2*p-1）），? A * xv））;

if minvalue < 0

fprintf（'result = %f， Conjecture wrong！＼n'， minvalue）;

pause;

end

end

經過數值實驗，大部分學生都認為這一猜想是正確的。但是如何才能發掘出這一現象的本質呢？通過共同努力，筆者引導學生們推導了猜想2.2的證明：

3 結束語

本文對《數學實驗》課程的特點和存在的問題進行了分析，結合自身的教學實踐和體會，給出了一個啟發式教學案例。這一案例以啟發學生的思維為核心，調動了學生學習的主動性和積極性，促使他們生動活潑地理解了數學原理，并啟發他們給出了一個猜想，然后進行數值驗證，最后給出了理論證明。具體到教學實踐，作為教師即要重視課堂數學理論的教學，又要注意啟發學生對數學原理的理解以及發現問題、分析問題、解決問題的能力，因材施教、靈活運用，提高教學水平，為發展國防科技培養高素質人才貢獻力量。

（作者單位：國防科技大學文理學院數學系）