高考一輪復(fù)習(xí)中“函數(shù)壓軸小題”復(fù)習(xí)策略例談

張清

【摘要】函數(shù)是高中數(shù)學(xué)一個(gè)重要的知識(shí)板塊，縱觀近三年的全國(guó)高考試題和模擬題，函數(shù)的重要性不言而喻.本文主要通過具體實(shí)例分析了一輪復(fù)習(xí)中“函數(shù)壓軸小題”的復(fù)習(xí)策略，總結(jié)了利用函數(shù)的綜合性質(zhì)解決問題的方法和技巧，為一輪復(fù)習(xí)備考指明了方向.

【關(guān)鍵詞】函數(shù);高考試題;壓軸小題;綜合性質(zhì);備考

1.函數(shù)的綜合性質(zhì)

縱觀近三年全國(guó)高考試題和模擬題，它們有一個(gè)共同特點(diǎn)，涉及函數(shù)的小題都是兩道，通常一道容易一道壓軸，壓軸小題都是考查函數(shù)的綜合性質(zhì).高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的函數(shù)的基本性質(zhì)有：?jiǎn)握{(diào)性、極值性、最值性、奇偶性、周期性和對(duì)稱性，綜合性質(zhì)就是至少涉及兩個(gè)及以上基本性質(zhì).

2.復(fù)習(xí)策略

函數(shù)壓軸小題作為高考的必考內(nèi)容，很多學(xué)生在解決這一類問題時(shí)都是一頭霧水，甚至直接放棄，這往往是與一輪復(fù)習(xí)效果不好有關(guān).古人云：“授人以魚不如授人以漁”，在函數(shù)壓軸小題的復(fù)習(xí)中，教師更注重的是題型的歸納總結(jié)、方法的引導(dǎo)傳授，而不是根據(jù)一輪復(fù)習(xí)資料就題講題.下面我們通過具體的實(shí)例分析“函數(shù)壓軸小題”命題特點(diǎn)，以便學(xué)生能更好地掌握命題規(guī)律和解題策略，為有效的一輪復(fù)習(xí)備考提供有力的保障.

命題方向一：?jiǎn)握{(diào)性和奇偶性綜合應(yīng)用

解析：本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性比較大小.解題思路是利用奇偶性將要判斷的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，再利用單調(diào)性就可以比較大小了，很容易能得出答案C.

總結(jié)：利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可以解決不等式求解問題、函數(shù)值大小比較問題.函數(shù)的奇偶性通常有兩種給出方式，一種是抽象函數(shù)，還有一種就是給出具體函數(shù)讓我們?nèi)ヅ袛啵一径际桥己瘮?shù)，單調(diào)性給出方式亦如此.

命題方向二：?jiǎn)握{(diào)性和周期性綜合應(yīng)用

解析：本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性.從四個(gè)選項(xiàng)中可以看出，利用周期性可以排除C，D，利用單調(diào)性可以排除B，故正確選項(xiàng)為A.

總結(jié)：利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值大小和解不等式，利用周期性一般都是求值，所以二者結(jié)合出題都是比較函數(shù)值的大小，但也不排除選擇題中會(huì)出現(xiàn)讓我們選擇滿足奇偶性和周期性的一個(gè)函數(shù).

命題方向三：?jiǎn)握{(diào)性和對(duì)稱性綜合應(yīng)用

解析：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性的應(yīng)用.

故本題正確答案為D.

總結(jié)：函數(shù)的對(duì)稱性分為直線對(duì)稱和中心對(duì)稱，關(guān)于直線對(duì)稱的函數(shù)就是廣義的偶函數(shù)，關(guān)于中心對(duì)稱的函數(shù)就是廣義的奇函數(shù).解決此類問題之前要熟悉兩種對(duì)稱的數(shù)學(xué)表達(dá)式，這樣看到題目條件就知道是什么對(duì)稱，然后利用對(duì)稱性把給定的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間再進(jìn)行比較大小，或者利用對(duì)稱性畫出函數(shù)圖像草圖，再利用數(shù)形結(jié)合思想也可以快速比較函數(shù)值的大小或求解相關(guān)不等式.

命題方向四：奇偶性和對(duì)稱性綜合應(yīng)用

總結(jié)：利用函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性可以推出函數(shù)的周期性，或由函數(shù)的兩個(gè)對(duì)稱性（兩個(gè)中心對(duì)稱、兩個(gè)直線對(duì)稱、一個(gè)中心對(duì)稱一個(gè)直線對(duì)稱）也可以推導(dǎo)出周期性（讀者自行證明）.知道了函數(shù)的周期性，后續(xù)問題就迎刃而解了，這種類型的問題也是高考出題的重點(diǎn).

命題方向五：奇偶性和周期性綜合應(yīng)用

解析：本題利用給定的區(qū)間解析式畫出相應(yīng)圖像，再利用偶函數(shù)補(bǔ)全[0，2]的圖像，再根據(jù)周期性可以畫出（-2，6）上的圖像，然后把所求方程根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，通過數(shù)形結(jié)合的思想可以得到關(guān)于a的不等式，最后求解這個(gè)不等式就可以得出答案B.

總結(jié)：通過函數(shù)的奇偶性和周期性可以推導(dǎo)出函數(shù)的對(duì)稱性，解決問題時(shí)必須把這三個(gè)性質(zhì)放在一起，通常出現(xiàn)的題型有：利用周期性和奇偶性求值和求解析式、判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)或由函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，解決恒成立問題等.

命題方向六：對(duì)稱性和周期性綜合應(yīng)用

總結(jié)：我們要熟悉周期性給出的四種形式，做題時(shí)，一看就要知道.對(duì)于這類問題的求解，只要是涉及較大數(shù)的函數(shù)值或者很多個(gè)數(shù)的函數(shù)值之和，我們肯定會(huì)想到周期性.但很多問題不是單一考查周期性，所以我們要充分利用好對(duì)稱性進(jìn)一步求解.

命題方向七：奇偶性、單調(diào)性和周期性綜合應(yīng)用

解析：本題考查了利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性綜合性質(zhì)去畫函數(shù)在要求區(qū)間上的圖像，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想去求解方程根（或函數(shù)零點(diǎn)）問題.首先利用奇偶性和單調(diào)性畫出[0，2]上的草圖，然后利用奇偶性和周期性可以推出函數(shù)圖像關(guān)于x=2對(duì)稱，進(jìn)而可以畫出[2，4]上的圖像，再利用奇偶性可以畫出[-4，0]圖像，所以一個(gè)周期圖像就畫出來了，這樣所要求區(qū)間圖像也能很好地畫出來，最后的問題就變得很簡(jiǎn)單了，答案為-8.

總結(jié)：這類問題雖然只考了3個(gè)性質(zhì)，但是用到的是4個(gè)性質(zhì).里面也是有規(guī)律可循的，一般出題是告訴單調(diào)性，奇偶性、周期性和對(duì)稱性只會(huì)告訴兩個(gè)，因?yàn)橛辛藘蓚€(gè)我們就可以自然推導(dǎo)出第三個(gè).對(duì)于這樣類型的綜合題，我們一定要全面分析好函數(shù)的綜合性質(zhì)，然后畫出函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的思想很快就能解決問題.

命題方向八：奇偶性、單調(diào)性和最值性綜合應(yīng)用

解析：本題位于2019年全國(guó)一卷選擇倒數(shù)第二題，考查了具體函數(shù)的綜合性質(zhì).由函數(shù)解析式很容易判斷①是對(duì)的;對(duì)于②很容易把原函數(shù)中兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)直接去掉，解析式變成了2sin x，所以②錯(cuò);對(duì)于③，我們很容易利用奇偶性畫出函數(shù)圖像，通過圖像可以得知函數(shù)零點(diǎn)有3個(gè)，所以③也是錯(cuò)誤的;很容易知道④是對(duì)的.所以本題答案是C.

總結(jié)：如果函數(shù)具有奇偶性，我們只需要知道定義域一半?yún)^(qū)間上的單調(diào)性就可以了，通過對(duì)稱性補(bǔ)全整個(gè)區(qū)間上函數(shù)圖像，有了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題就變得非常簡(jiǎn)單了.上題雖然是具體函數(shù)，我們也可以在抽象函數(shù)中考查同樣內(nèi)容.

命題方向九：?jiǎn)握{(diào)性、極值性和函數(shù)零點(diǎn)綜合應(yīng)用（參考2019年全國(guó)三卷理科數(shù)學(xué)選擇題12題）

3.結(jié)束語(yǔ)

掌握函數(shù)的綜合性質(zhì)是學(xué)好函數(shù)知識(shí)的前提，也是順利解決高考試題的一個(gè)重要策略.特別是在高三的一輪復(fù)習(xí)過程中，我們?cè)鯓硬拍苁沟脧?fù)習(xí)變得事半功倍，這就需要老師多動(dòng)腦思考如何“授人以漁”，真正教會(huì)學(xué)生解決函數(shù)小題的方法.雖然“函數(shù)壓軸小題”層出不窮，但常考的題型和涉及的方法是有限的，需要老師拋開題海戰(zhàn)術(shù)，從典型例題和思想方法上面教會(huì)學(xué)生.另外，幫助學(xué)生消除畏難心理，強(qiáng)調(diào)這塊內(nèi)容在高考中的重要性，讓學(xué)生真正喜歡上做函數(shù)壓軸小題，我相信這樣的復(fù)習(xí)一定是成功的.

【參考文獻(xiàn)】

[1]李思源.高中數(shù)學(xué)“函數(shù)壓軸小題”命題方向及解題策略例談[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018（03）：130.

[2]岳洪偉.淺談高考函數(shù)問題及解題策略[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2017（04）：136.

[3]李泳慧.活用函數(shù)的基本性質(zhì)解題[J].中國(guó)高新區(qū)，2018（01）：123.