淺談大學數學中的哲學思想

謝婉秋

（陸軍步兵學院 江西·南昌 330100）

哲學是人們對自然知識、社會知識和思維知識的概括與總結，是研究整個物質世界普遍本質及規律的科學。哲學是包羅萬象的科學之母，是人類認識世界的先導，是對未知領域的思考與探索，而數學是認識世界的準備工具，它是以客觀世界的空間形式、數量關系以及結構關系為主要研究對象的一門具體的科學，數學概念、思想、方法和成果都在科學發展中具有十分重要的影響，而且數學已經廣泛的滲透到了科學知識的各個領域。在高等教育中，數學是最普遍也是最重要的基礎課程，更是其他理工科教育教學的基本工具，那么在理工科的教育教學中，數學教育的重要性不言而喻。

數學家兼哲學家波爾達斯認為：“沒有數學，無法看透哲學的深度，沒有哲學，也無法探知數學的深度”，深刻地揭示了數學與哲學相互依賴的關系。歷史上眾多知名的數學家也是哲學家，如：古希臘的泰勒斯，畢達哥拉斯，法國的笛卡爾，德國的萊布尼茨等，他們研究數學的同時也在研究哲學。哲學作為世界觀和方法論，對數學發展具有指導和推動作用，反之，數學也始終影響著哲學，有積極的，也有消極的，并以積極的成果推動著哲學的發展。

高等數學、線性代數是大學數學類課程的重要基礎課，屬于自然科學，但其中蘊涵著豐富的哲學思想。新時代背景下，國家積極倡導課程思政的育人功能，課程思政旨在充分挖掘各類課程中的思想政治教育元素，而哲學作為融入思政元素的重要切入點，如果在實踐教學中，教師能夠充分挖掘出課程中的哲學思想，用哲學的思想和認識來指導實踐教學，不僅可以強化學生的思辨能力，提高學生的哲學素養，還可以使學生從哲學角度來認識數學、感悟數學。

1 變與不變

蘇軾曾云：“蓋將自其變者而觀之，則天地曾不能以一瞬；自其不變者而觀之，則物與我皆無盡也”，他從哲學中變與不變的角度來感慨人生。數學與哲學有著密不可分的內在聯系，數學中處處彰顯變與不變的矛盾統一，在變化中抓住不變的量，挖掘其不變的本質才是根本。

大學數學中變與不變的思想隨處可見，高等數學中，導數的定義的形式具有多樣性，但本質上都是增量比的極限；在計算極限時，等價無窮小的替換是一種常用手段，形式上用簡單冪函數等價替換原本復雜函數，但極限的結果保持不變；在計算全微分時，無論和是自變量還是中間變量，由全微分形式的不變性可知，全微分總可以表示成固定的形式；在計算線面積分時，由積分與路徑無關可知，選擇簡單的路徑替代原本復雜的路徑，積分結果不變。線性代數中，對行列式作初等變換，其值不變；對矩陣作初等變換，其秩不變；對向量組作初等變換，其秩以及線性表示關系不變；對矩陣作相似變換，其行列式、特征值、跡以及秩不變；對矩陣作合同變換，其秩與對稱性不變；對二次型作標準變換，其正、負慣性指數不變。

在大學數學的教學中，有意識地培養學生以不變應萬變能力，學會面對錯綜復雜的問題時，透過現象看本質，從千變萬化中尋找不變規律，感受數學萬變不離其宗之真諦。

2 量變與質變

辯證唯物主義認為，事物具有質和量兩種狀態，是質變和量變的統一體。量變與質變是一對辯證的關系，數學研究就是從量的關系方面去把握事物的質及其變化的規律。

在大學數學中，許多研究對象都與某些量密切相關，當這些量發生變化時，隨著量的積累，特別是達到一定程度時，就會產生質的改變。高等數學中，很多運算法則及性質都是建立在有限個前提下，推廣到無限個未必成立，如無窮小量的運算法則、極限的運算法則、函數的求導法則以及積分的性質；同時依據導數的符號判斷函數的單調性、凹凸性以及極值也體現了量變與質變的辯證關系。線性代數中，根據行列式的值是否為零來判斷矩陣的可逆性；根據行列式的值是否為零來判斷向量組的線性相關性；根據方程組系數矩陣和增廣矩陣的秩來判斷方程組是否有解；根據二次型矩陣的特征值來判斷二次型是否正定，以上數學實例都是“以量定質”的具體體現。

在大學數學的教學中，教師要善于引導學生發現引起質變的各種影響因素，通過分析諸因素對質變的影響程度，發現達到臨界時需要滿足的條件，還可以進一步把臨界值精確化，這樣的話，我們發現在實踐應用中，如果想要保持某種狀態，只需要把量控制在臨界值的范圍之內即可，這其實也是數學上的分類討論的思想的體現。因何導致量變，量變何時產生質變，深度挖掘影響量變的根本，讓學生在教育教學全過程中感受數學與哲學雙重思想，更高效的達到教學目的。

3 對立與統一

對立統一是事物存在的方式，它揭示出自然界、人類社會和人的思想中任何事物內部都是矛盾的統一體，矛盾雙方相互排斥，又相互關聯，推動著事物的變化和發展。眾多哲學范疇都蘊含著對立與統一規律，下面針對其中比較重要的幾對哲學范疇舉例闡述。

3.1 特殊與一般

從認識論的角度來看，從特殊問題探索一般規律是人認識事物遵循的一般規律，由淺入深，由易到難，更容易加深理解，提高學習的境界。

在大學數學的教學過程中，我們不難發現處處滲透著從特殊到一般的思想，高等數學中，一方面體現在公式的推導過程中，如求函數高階導數的公式—萊布尼茨公式、初等函數的麥克勞林公式，以上都是利用數學歸納法，通過低階導數找到一般規律，從而得到最終結論；再比如微分中值定理—羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的研究過程、格林公式到斯托克斯公式的研究過程，充分體現了從特殊到一般的過程，也是認識逐漸加深的過程。另一方面體現在解決計算問題時，常把一般的難求的轉化為已知的易求的，如求一般高階導數時利用萊布尼茨公式轉化為初等函數的高階導數的運算；一般級數的斂散性的判別可以通過加絕對值的形式轉化為討論正項級數的斂散性；計算重積分與線面積分時轉化為定積分；計算非齊次線性微分方程的通解時，轉化為先求對應的齊次線性微分方程的通解；計算多元函數的極限時，常利用變量代換轉化為一元函數來討論，體現了一般與特殊之間相互轉化的思想。

線性代數中，許多問題的分析和解決都遵循從特殊到一般的規律，一方面體現在概念建立的過程中，如由二、三階行列式得到階行列式的定義；由兩個、三個向量構成的向量組的線性相關性得到個向量構成的向量組的線性相關性的概念；另一方面體現在解決問題時，如將矩陣化為分塊對角矩陣，計算矩陣的逆與高次冪；將矩陣化為階梯形矩陣，得到矩陣的秩與向量組的最大無關組；將矩陣化為行最簡形矩陣，得到向量組具體的線性表示關系；利用正交變換或配方法將二次型化為標準型，求變換矩陣。

3.2 有限與無限

有限與無限是一對內涵極為豐富和深刻的哲學范疇，二者之間的關系是辯證的，是對立統一的。無限由有限組成，無法脫離有限而孤立看待無限，無限可以通過有限的形式表示出來，而有限又蘊含著無限的思想。

高等數學中，常數項級數的和可以用部分和的極限表示；函數項級數的和函數可以用部分和函數的極限表示；反常積分可以用定積分的極限表示，以上都是借助極限的形式將無限用有限表示出來；線性代數中，由基生成向量空間；由基礎解系生成通解的方法，就是由有限生成無限的一種特殊方法，而向量組可以用它的極大無關組表示出來，就是把無限用有限的形式表示出來的具體體現。

3.3 整體與部分

整體與部分是描述客觀事物可分性和統一性的一對哲學范疇，彼此依賴，又互為存在和發展的前提。

整體與部分的例子在大學數學中不勝枚舉，高等數學中，積分概念的建立過程中蘊含著“化整為零，積零為整”的思想；積分的線性性實現了將多個積分與單個積分之間的相互轉化；冪級數的展開將復雜的函數用簡單的冪級數逼近，這些都體現了整體與部分之間的相互轉化；微積分的基本公式：牛頓—萊布尼茨公式，格林公式，高斯公式都將區間或區域內部的計算轉化為邊界曲線或曲面的計算，刻畫了函數的總體性質和局部性質之間的關系；線性代數中，利用展開定理將行列式降為多個低階行列式，通過計算各元素與其對應的代數余子式乘積，得到整個行列式的值；利用分塊法將矩陣化為分塊對角矩陣，通過計算每個小塊對角矩陣的逆或高次冪，得到整個矩陣的逆或高次冪，都是將復雜的整體轉化為簡單的局部的研究。

對立統一規律啟發學生，用已知去認識未知的事物，用有限去認識無限，再把無限用有限表示出來，系統地學習把復雜問題拆分成幾個簡單問題，再進行剖析，這種也是數學上常見的化歸思想的體現。在大學數學的教學中，逐步滲透對立統一的哲學思想，用哲學角度來解釋數學范圍內難以被學生理解的問題，拓寬學生分析問題的角度，強化學生的認識，也訓練了學生的思維能力。

4 結語

數學比較突出的三大特點：邏輯的嚴謹性、高度的抽象性與廣泛的應用性，決定了與哲學有著較為密切的關系，在大學數學教育教學中，應當同當代先進的教育理念相接軌，堅持數學與哲學相融合，實現學科之間的深層次交流，讓思維更有深度。實踐中，結合課程教學內容的特點，循序漸進地滲透哲學思想，將思想政治教育與專業知識教育緊密結合，潛移默化地實現學生高級思維能力的培養，激發學生自主學習的興趣，提高課堂教學效果，提升學生綜合素質。