壓電分流聲子晶體桿帶隙調(diào)控研究

張亞茹，郭 輝，袁 濤，孫 裴，王巖松，程 乾

(上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院，上海 201620)

0 引言

聲子晶體是一種具有彈性波禁帶特性的人工周期結(jié)構(gòu)，在特定頻率范圍內(nèi)可以調(diào)控彈性波傳播[1]。含分流電路的壓電聲子晶體[2]可以通過(guò)對(duì)分流電路實(shí)現(xiàn)帶隙調(diào)控，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單且具有良好的機(jī)電耦合特性，使其在可調(diào)諧聲子晶體方面得到了廣泛應(yīng)用。

自Thorp等[3]首次將純電阻電路和電阻-電感(R-L)諧振電路引入周期結(jié)構(gòu)后，Qian等[4]和Chen等[5]研究了一維、二維壓電聲子晶體的帶隙可調(diào)諧性，即改變壓電分流系統(tǒng)的幾何或物理參數(shù)實(shí)現(xiàn)聲子晶體頻域性能的調(diào)控。由于基于諧振分流電路的聲子晶體獲得的局域共振帶隙窄且?guī)秲?nèi)衰減量小，因此，研究者們?cè)O(shè)計(jì)出了更復(fù)雜的分流電路以獲得寬頻帶、強(qiáng)衰減的帶隙。Wu等[6]和Fleming等[7]采用流阻型和流通型多模態(tài)諧振分流電路，在一個(gè)分流電路上并聯(lián)多個(gè)諧振電路分支進(jìn)行振動(dòng)控制,但該種電路連接方式增加了電路的復(fù)雜性，實(shí)際應(yīng)用中存在局限性。2004年，Park等[8]發(fā)現(xiàn)負(fù)電容可以抵消壓電片固有電容，增大機(jī)電耦合系數(shù)，從而減小電路損失，并將電阻、電感、負(fù)電容串聯(lián)的負(fù)阻抗電路(NIC)應(yīng)用于梁結(jié)構(gòu)，極大地拓寬了帶隙寬度。此后，負(fù)電容被廣泛應(yīng)用于壓電聲子晶體的振動(dòng)控制[9-13]。

將壓電片及連接的分流電路稱(chēng)為一個(gè)壓電分流單元，以上研究中均研究了元胞中包含單個(gè)壓電分流單元的情況。本文在元胞中布置多個(gè)壓電分流單元，采用R-L與負(fù)電容并聯(lián)的分流電路，改變?cè)泻胁煌娐穮?shù)的壓電分流單元個(gè)數(shù)，并運(yùn)用遺傳算法對(duì)電路參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，尋求電感值與負(fù)電容值的最佳匹配。

1 壓電聲子晶體桿模型

壓電聲子晶體桿由基體桿、壓電片和分流電路3個(gè)部分構(gòu)成。長(zhǎng)度為lp的壓電片周期性地粘貼在基體桿的上下表面，忽略粘貼層對(duì)結(jié)構(gòu)的影響。粘貼有壓電片的部分為A，長(zhǎng)度與壓電片長(zhǎng)度相同，未粘貼有壓電片的部分為B，長(zhǎng)度為l，兩部分相加為元胞的晶格常數(shù)a，如圖1所示。圖中，w為基體桿、壓電片寬度，tr為基體桿厚度，tp為壓電片厚度。每個(gè)壓電片連接獨(dú)立的分流電路(由電阻R、電感L及負(fù)電容Cn并聯(lián)組成)。本文根據(jù)元胞中包含的壓電分流單元個(gè)數(shù)的不同設(shè)計(jì)了3種元胞配置：配置Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ型元胞分別包含1個(gè)、2個(gè)和4個(gè)壓電分流單元，且每個(gè)壓電分流單元中的電路元件參數(shù)互不相同。

圖1 壓電聲子晶體桿及3種元胞配置示意圖

1.1 物理模型

假設(shè)壓電片沿z方向極化，除厚度端面外其余表面均自由，則壓電方程為

(1)

每個(gè)分流電路的阻抗為

(2)

式中s為拉普拉斯算子。假設(shè)由正壓電效應(yīng)壓電片產(chǎn)生的電場(chǎng)為勻強(qiáng)電場(chǎng)，壓電片內(nèi)應(yīng)變和電極上電位移相等，分流電路的作用相當(dāng)于附加彈性模量：

(3)

式中：hp為壓電片厚度；As為壓電片面積；Cp為壓電片固有電容，其計(jì)算式為

(4)

1.2 動(dòng)力學(xué)模型

該結(jié)構(gòu)是由每個(gè)元胞周期排列而成，因此只需對(duì)單個(gè)元胞進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模并結(jié)合Floquet定理即可得到整個(gè)桿中的波傳播特性，桿的振動(dòng)方程為

(5)

式中：ρ、E為桿的密度和彈性模量；u(x,t)為桿在x處的振動(dòng)位移。

對(duì)于無(wú)限周期邊界條件，可以使用傳遞矩陣法和Bloch定理計(jì)算帶隙，得到特征值方程：

det[T(ω)-eikaI]=0

(6)

式中：T為傳遞矩陣；I為單位矩陣；k=δ+iε為傳播常數(shù)，實(shí)部δ為衰減常數(shù)，虛部ε為相位常數(shù)。當(dāng)δ=0時(shí)，彈性波可以無(wú)損的從一個(gè)周期傳播到下一個(gè)周期；當(dāng)δ≠0時(shí)，彈性波的傳播存在衰減，在這些頻率范圍內(nèi)形成帶隙。

1.3 負(fù)電容的等效計(jì)算

負(fù)電容與諧振電路連接如圖1(b)～(d)所示，其中，LC電磁振蕩回路被用于產(chǎn)生局域共振帶隙，并聯(lián)的負(fù)電容可以“抵消”壓電片的固有電容，增加機(jī)電耦合系數(shù)，且負(fù)電容分流器中的電阻可以在更大的頻率范圍內(nèi)耗散能量。負(fù)電容可以通過(guò)運(yùn)算放大電路模擬實(shí)現(xiàn)，由1個(gè)電容器、2個(gè)電阻器和1個(gè)運(yùn)算放大器(OpAmp)組成(見(jiàn)圖2)，調(diào)節(jié)合成電路中的電阻可以獲得任何負(fù)電容值。為保證電路的穩(wěn)定性，負(fù)電容的絕對(duì)值應(yīng)大于壓電片固有電容，其等效電容值為

(7)

圖2 負(fù)電容合成電路

2 數(shù)值計(jì)算與討論

基于上述壓電聲子晶體桿數(shù)學(xué)模型進(jìn)行帶隙結(jié)構(gòu)數(shù)值及仿真計(jì)算,相關(guān)材料及幾何參數(shù)如表1所示。

表1 基體桿所用幾何與材料參數(shù)

配置Ⅰ型壓電聲子晶體桿帶隙結(jié)構(gòu)如圖3所示，當(dāng)電路短路時(shí)，只存在圖中實(shí)線(xiàn)部分所示的帶隙結(jié)構(gòu)，這是由于壓電分流系統(tǒng)與基體桿間的布喇格(Bragg)散射引起的，稱(chēng)為Bragg帶隙。電路通路時(shí)(R=20 Ω,L=0.06 H,C=-3×10-9F)，分流電路中的電感與電容產(chǎn)生電磁振蕩，形成局域共振帶隙(見(jiàn)圖3中的虛線(xiàn))。電路參數(shù)影響局域共振帶隙中心頻率位置，但幾乎難以改變其頻帶寬度，且基于壓電分流系統(tǒng)的聲子晶體獲得的局域共振帶隙較窄。本文嘗試改變?cè)邪膲弘姺至鲉卧獋€(gè)數(shù)(配置Ⅱ、Ⅲ型)，且每個(gè)壓電分流單元電路參數(shù)互不相同，則電路諧振頻率不同，即可在多個(gè)頻段內(nèi)產(chǎn)生電磁振蕩，進(jìn)而產(chǎn)生多個(gè)局域共振帶隙，為帶隙調(diào)控提供更多的實(shí)施途徑。3種元胞配置中配置Ⅰ、Ⅱ型的a相同，但配置Ⅱ型中布置了2個(gè)壓電分流單元，則會(huì)有2個(gè)不同的諧振頻率，即可產(chǎn)生2個(gè)局域共振帶隙；同理，配置Ⅲ型中包含4個(gè)壓電分流單元，則可產(chǎn)生4個(gè)局域共振帶隙，如圖4所示。

圖3 壓電聲子晶體桿的帶隙結(jié)構(gòu)(配置Ⅰ)

圖4 3種元胞配置下壓電聲子晶體桿的帶隙結(jié)構(gòu)

以上壓電聲子晶體桿局域共振帶隙中心頻率可由分流電路諧振頻率[14]近似得到，即

(8)

由式(8)可知，L與Cn均對(duì)局域共振帶隙有影響，電感值增大帶隙向低頻移動(dòng)，但帶寬減??；Cn值增大帶隙內(nèi)衰減增大，但帶隙向高頻移動(dòng)。因此，當(dāng)確定預(yù)期目標(biāo)頻段時(shí)，僅通過(guò)式(8)難以直接計(jì)算得到可以使帶隙寬度和平面波衰減幅度最大化時(shí)的電路參數(shù)值。對(duì)此，采用遺傳算法對(duì)電路參數(shù)L,Cn進(jìn)行優(yōu)化，充分利用分流電路實(shí)現(xiàn)壓電聲子晶體的帶隙可調(diào)諧性。

以上結(jié)構(gòu)中配置Ⅲ型得到的4個(gè)局域共振帶隙，可運(yùn)用遺傳算法將其合并為一個(gè)寬帶，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為

(9)

式中：ObjV為目標(biāo)函數(shù)；W為單個(gè)局域共振帶隙寬度；f1，f4分別為從低頻到高頻第1、4個(gè)局域共振帶隙的中心頻率。目標(biāo)函數(shù)的分母為第1～4局域共振帶隙的寬度與3倍單個(gè)局域共振帶隙寬度的差值，差值盡可能小，從而保證合并帶隙的寬度；分子為目標(biāo)頻段內(nèi)衰減常數(shù)的積分，積分盡可能大，從而確保合并帶隙的衰減量。確定優(yōu)化對(duì)象L,Cn及ObjV后，遺傳算法模擬自然進(jìn)化過(guò)程，可以高效地進(jìn)行最優(yōu)解搜索。隨機(jī)產(chǎn)生初始種群，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)評(píng)估初始種群染色體的適應(yīng)度，通過(guò)選擇、交叉及變異等操作生成子代染色體，為確保帶隙不重疊地落在目標(biāo)頻段內(nèi)，終止準(zhǔn)則中添加一項(xiàng)峰值判斷語(yǔ)句，最后得到最優(yōu)參數(shù)值。優(yōu)化結(jié)果如圖5(a)所示，一個(gè)壓電分流單元得到的單個(gè)局域共振帶隙寬約為150 Hz，將4個(gè)帶隙合并后可得到一個(gè)約500 Hz(2 900～3 400 Hz)的寬帶；同時(shí)也可設(shè)置兩個(gè)目標(biāo)頻段，將4個(gè)帶隙兩兩合并可得如圖5(c)所示的兩個(gè)寬帶，實(shí)現(xiàn)多頻帶調(diào)諧。

圖5 配置Ⅲ型優(yōu)化后的帶隙結(jié)構(gòu)及傳輸特性曲線(xiàn)

彈性波在結(jié)構(gòu)中的傳輸特性為

(10)

式中Win，Wout分別為輸入和輸出端的位移(見(jiàn)圖5(b)、(d))，傳輸特性曲線(xiàn)與衰減常數(shù)曲線(xiàn)具有良好的匹配性。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證上述帶隙調(diào)控方法，利用多物理場(chǎng)仿真軟件COMSOL對(duì)以上結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元模擬。為提高計(jì)算精度簡(jiǎn)化計(jì)算，取4個(gè)含有單個(gè)壓電分流單元的元胞為1個(gè)周期，材料及結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。在桿左側(cè)，即未粘貼壓電片的一端施加沿x方向、大小為1×10-5m的恒定位移，在兩端拾取位移響應(yīng)計(jì)算傳輸特性。圖6為COMSOL計(jì)算傳輸特性。由圖可知，在2 750～3 890 Hz時(shí)出現(xiàn)4個(gè)局域共振帶隙。為了直觀(guān)地看出不同壓電分流單元對(duì)彈性波的局域效果，選取帶隙外和4個(gè)局域共振帶隙內(nèi)的振型圖(見(jiàn)圖7)。帶隙外f0=4 410 Hz時(shí)，桿件的激勵(lì)幾乎無(wú)損耗地傳輸?shù)接叶?，無(wú)抑振效果，表面應(yīng)力最大值為1.51×109N/m2；第1條帶隙內(nèi)f1=2 930 Hz時(shí)，桿件的振動(dòng)局域在兩個(gè)周期的第1個(gè)壓電分流單元內(nèi)，右端幾乎無(wú)波傳播；第2條帶隙內(nèi)f2=3 150 Hz時(shí)，桿件的振動(dòng)局域在兩個(gè)周期的第2個(gè)壓電分流單元內(nèi)；第3條帶隙內(nèi)f3=3 470 Hz及第4條帶隙內(nèi)f4=3 890 Hz時(shí)，桿件的振動(dòng)分別被局域在兩個(gè)周期的第3、4個(gè)壓電分流單元內(nèi),應(yīng)力最大值為3.49×107N/m2，對(duì)比帶隙外表面應(yīng)力，相差2個(gè)數(shù)量級(jí)，達(dá)到了很好的抑振效果。以上仿真結(jié)果驗(yàn)證了當(dāng)元胞中含有多個(gè)諧振頻率不同的分流電路時(shí)，可以產(chǎn)生相應(yīng)數(shù)量的局域共振帶隙，且?guī)秲?nèi)的波被局域在具有相應(yīng)諧振頻率的壓電分流單元內(nèi)，從而阻止波的傳播呈現(xiàn)帶隙特性。

圖6 COMSOL計(jì)算傳輸特性

圖7 不同頻率下壓電聲子晶體桿的振型圖

3 結(jié)論

本文設(shè)計(jì)了3種不同配置、含有負(fù)電容諧振分流電路的壓電聲子晶體桿，并對(duì)其進(jìn)行了理論建模及仿真驗(yàn)證，可以得到如下結(jié)論：

1) 針對(duì)一維壓電聲子晶體桿模型，提出了3種含有多個(gè)壓電分流單元的元胞配置，元胞中多個(gè)諧振頻率不同的壓電分流單元可以產(chǎn)生多個(gè)局域共振帶隙，為帶隙調(diào)控提供了更多的可能。

2) 分流電路中的電路元件參數(shù)均可影響電磁振蕩，進(jìn)而影響局域共振帶隙。為使目標(biāo)頻段內(nèi)帶隙寬度和平面波抑制幅度最大化，可以采用算法進(jìn)行優(yōu)化，得到電路參數(shù)的最佳匹配值，實(shí)現(xiàn)帶隙合并或多頻帶調(diào)諧，為帶隙調(diào)控提供了更多的方法。

含壓電分流電路的聲子晶體桿具有附加質(zhì)量小，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，且僅通過(guò)壓電分流單元即可實(shí)現(xiàn)帶隙調(diào)控，無(wú)需改變結(jié)構(gòu)。