懸臂式壓電能量采集器模型修正

郭 麗，周星德，楊 菁

(河海大學 土木與交通學院，江蘇 南京 210098)

0 引言

微機電系統(MEMS)工作環境復雜，如在深水中，不方便更換電池，需借助于周圍環境的振動提供能量。壓電材料是一種智能材料，當材料發生變形時會產生電荷(正壓電效應)，反之，當施加電場時，壓電材料會產生應力或應變(逆壓電效應)[1]，壓電能量采集器采用的是正壓電效應。目前，壓電能量采集器建模方法有集總參數模型與分布參數模型兩種。集總參數模型是通過能量等效的方式，把懸臂梁簡化為單自由度系統，具有簡單和誤差大的特點；分布參數模型[2]是根據連續分布梁來構建模型，可以獲得理論解，計算復雜，但可獲得精確解。

國內外對懸臂式壓電能量采集器展開了廣泛的研究。許多學者研究了質量塊[3-5]對壓電懸臂梁發電效率的影響。唐禮平等[6]將常規的懸臂式壓電能量采集器進行改進，在壓電懸臂梁自由端附加有限尺寸的質量塊，在固定端附加動力放大器，動力放大器由有限尺寸的質量塊、豎向平移彈性及轉動彈性均受到約束的彈簧組成，研究發現改進后的能量采集器的采集效率及采集精度均得到提高。雖然改進的新型動力放大器增加了一個轉動彈性約束，但模型忽略了能量采集器的機電耦合效應。楊斌強等[7]提出了帶有彈性支撐與放大的寬頻壓電振動能量采集器的分布參數機電耦合模型，并考慮了懸臂梁末端質量塊的影響。何燕麗等[8]建立了機電耦合的曲梁式能量采集器prescott模型，運用格林函數法推導在其強迫振動下的解析解，探究阻尼、負載電阻及材料彈性模量對響應結果的影響。Erturk等[9]針對懸臂式壓電能量采集器提出了分布參數型機電耦合模型，推導其在任意頻率簡諧激勵下的電壓響應和振動響應解析表達式，從多模態及單模態解中提取電壓輸出和振動響應關于基座加速度的頻響函數。

通過仿真發現，Erturk[9]文中模型預測與實驗測量對比圖中，繪制的尖端速度關于基座加速度的頻率響應函數在0～20 Hz時存在偏差，為此，作者提出了修正方法，具體思路為：首先，振動響應函數借助文獻[9]的成果，推導第r階單模態的振動響應；其次，為修正0～20 Hz內速度頻率響應函數(VFF)引入含參數α的正弦函數。α的引入會導致較高頻率下速度響應產生誤差，因此又引入含參數β的正切函數。最后利用修正后的速度頻響函數進行實例分析，結果表明修正后的模型結果與實驗結果幾乎一致。

1 懸臂式壓電能量采集器分布參數模型

1.1 模態運動方程

圖1為懸臂式壓電振動能量采集器結構簡圖[10]。圖中，hs為基梁厚，基梁上、下表面全覆蓋厚為hp的壓電材料，沿y方向極化；基梁的金屬結構作為壓電材料的內側電極，同時在壓電材料的外側布置與基梁同等寬度(b)的電極；梁一端固接于基座處，自由端附有集中質量塊?；艿胶喼C激勵時帶動懸臂梁產生變形，機械變形產生極化并通過陶瓷電極輸出，為電路負載供電，完成穩定閉環電路的工作。圖中，g(t)為平動激勵，h(t)為轉動激勵，L為基梁長度，v(t)為電阻兩端電壓；Rl為負載電阻。

圖1 懸臂式壓電振動能量采集器結構簡圖

假設壓電能量采集器為Euler-Bernoulii梁[9]，則阻尼受迫振動方程為

(1)

wb(x,t)=g(t)+xh(t)

(2)

(3)

(4)

由Raleigh-Ritz法可得壓電梁的橫向彎曲位移為

(5)

式中：φr(x)為第r階模態質量歸一化特征函數；ηr(t)為第r階模態函數。無阻尼自由振動情況下的特征函數為

φr(x)=Cr[cosγx-coshγx+

ζr(sinγx-sinhγx)]

(6)

其中

(7)

式中：Cr為模態振幅常數由模態正交性條件得到；γ=λr/L；ζr為阻尼比。其中，梁的第r階模態無阻尼自由振動下固有頻率為

(8)

第r階振動模態的特征值由下式計算得到：

(9)

將式(5)代入式(1)中，利用模態正交性條件得到模態坐標下的運動方程為

χrv(t)=fr(t)

(10)

(11)

模態力函數為

(12)

1.2 電路方程

圖1中，串聯連接的雙晶片壓電陶瓷可表示為兩個電流源及其內部電容串聯的電路圖。因此，圖1的簡化電路圖如圖2所示。

圖2 電路簡圖

根據Kirchhoff定律，圖2所示的電路圖可表示為

(13)

式中內部電容(Cp)和電流源項(ip)分別為

(14)

(15)

(16)

由于固定端處電極的彎曲斜率為0，故第r階模態對耦合項的貢獻僅取決于集中質量塊處。

1.3 單模態速度頻率響應函數

基座在簡諧激勵作用下產生平動g(t)=Y0ejωt與微小轉動h(t)=θ0ejωt，其中,Y0和θ0為平動與微小轉動的幅值，ω為外激勵頻率，j為虛數單位，將平動與轉動公式代入式(12)得到簡諧激勵下的模態力函數fr(t)=Frejωt，Fr為力的幅值:

Fr=-σrω2Y0-τrω2θ0

(17)

(18)

(19)

假設ηr(t)=Hrejωt和v(t)=Vejωt，分別代入式(10)和式(13)中得到關于幅值Hr和V的方程

(20)

(21)

聯立式(20)、(21)求振動幅值函數Hr，代入ηr(t)=Hrejωt中。其中，當外激勵頻率接近梁的第r階固有頻率時，振動響應的主要貢獻為第r階模態，表達式為

(22)

(23)

當x=L時，式(23)表示自由端的相對速度頻響函數，而實驗測得的是自由端的絕對速度，因此，應在式(23)基礎上添加基座位移，則有

(24)

式(24)為Erturk給出的速度關于基座加速度的頻率響應函數。利用MATLAB根據式(24)計算2.5～20 Hz低頻段內，Rl=1 kΩ、33 kΩ、470 kΩ情況下模型結果與實驗結果的相對誤差百分比為216%，223%，567%。

圖3 模型結果與實驗結果對比

2 模型修正

本文首先針對0～20 Hz時的偏差進行調整，使頻響函數幅值與實驗數據一致，再對后續造成的共振頻率處微小誤差進行調整。

對比分析發現，計算結果與實驗結果存在誤差的主要原因是在0～20 Hz時基座處速度頻響幅值過大。為解決1/(jω)值過大問題，在此基礎上乘sin(ωα)，以α=0.001 6為例，在0～20 Hz時修正后的速度頻響幅值的計算結果得到較好改善，如圖4所示。

圖4 對速度頻率響應結果的修正

文獻[9]可知，負載電阻為1 kΩ時，梁的一階固有頻率為45.6 Hz。觀察圖4(a)發現，引入sin(ωα)后的速度頻響幅值在共振頻率處出現峰值降低的情況，再次引入修正函數1+tanβ對式(24)的第二項進行修正，以β=0.12為例，修正后的結果如圖4(b)所示，共振頻率處的速度頻響幅值得到明顯改善。

式(24)修正后，使該模型下的速度頻率響應函數的解析解與實驗解幾乎一致，修正后的速度頻率響應函數為

(1+tanβ)

(25)

利用MATLAB數值計算得到α的合理取值范圍為[0.000 1,0.001 8]，β的合理取值范圍為[0.1,0.25]。

3 算例分析

首先固定β值，研究僅α變化時修正函數對3種不同負載電阻(1 kΩ、33 kΩ、470 kΩ)的速度頻率響應的影響。根據式(25)，利用MATLAB計算修正模型下的速度頻響函數值，采用二范數計算模型結果與實驗結果的相對誤差百分比，如圖5所示

圖5 模型與實驗結果相對誤差百分比

由圖5可見，相對誤差百分比先隨α值增大而減小，在[0.001 0,0.001 8]時，相對誤差百分比控制在8%以內，此時修正后的模型與實驗結果幾乎一致。當α>0.002時，相對誤差百分比急劇增加并伴隨大幅度震蕩。

其次研究α與β同時變化對速度頻率響應的影響，α控制在[0.000 1,0.003 0]，β控制在[0.01,0.30]，利用MATLAB計算此范圍下的相對誤差百分比。計算結果表明，修正后模型的相對誤差百分比均隨α、β值的增加先減小后增加。根據MATLAB數值計算結果可知，Rl=1 kΩ的分布參數模型，α=0.001 6，β=0.19時，相對誤差百分比為7.24%；Rl=33 kΩ時，α=0.001 7，β=0.21，相對誤差百分比為5.7%；，Rl=470 kΩ時，α=0.001 3，β=0.17，相對誤差百分比為7.24%。

綜合考慮3種負載電阻情況，計算速度頻響函數的加權平均誤差。首先，以增大輸出電流為目的，考慮短路情況下電流輸出達到最大值，因此，3種負載電阻情況權系數分別取0.4、0.3、0.3，加權平均誤差為6.7%。其次考慮以增大輸出電壓為目的，開路情況下的電壓輸出達到最大值，因此，3種負載電阻情況權系數取0.3、0.3、0.4，加權平均誤差為6.7%。

4 結論

本文以懸臂式壓電能量采集器為研究對象，考慮Erturk建立的分布參數模型下速度頻響函數存在誤差，提出相應的修正公式，結論如下：

1) 外激勵頻率較低時，基座處速度頻響誤差較大，導致能量采集器誤差增大。

2) 針對基座和共振峰值處誤差引入兩項修正函數sin(ωα)和1+tan(ωβ)，其中α取值[0.000 1,0.001 8]，β取值 [0.1,0.25]，模型相對誤差百分比控制在8%以內。

3) 以提高能量采集器的輸出電壓和輸出電流為目的，3種負載電阻的加權平均誤差均為6.7%。

本文所有推導均在Euler-Bernoulli梁假設的條件下進行，未考慮梁的剪切變形及轉動慣量的影響，對于功能梯度材料類(FGM)的復合材料梁，運用此假設推導不再成立，應采用Timoshenko梁假設進行研究。