重力場對半球諧振陀螺性能的影響

方仲祺，方海斌，雷 霆，譚品恒，韓世川

(1.中國電子科技集團公司第二十六研究所，重慶 400060；2.固態慣性技術重慶市工程實驗室，重慶 400060)

0 引言

半球諧振陀螺是唯一能達到慣導級精度的振動陀螺，它所采用的材料具有很好的穩定性，諧振子結構具有完美的對稱性。與機械陀螺相比，半球諧振陀螺具有獨特的高可靠、長壽命的特點。與激光和光纖陀螺相比，半球諧振陀螺尺寸更小、可靠性更高，是一種很有前途的慣性器件[1]。

半球陀螺是利用半球殼唇沿的徑向駐波振動來感測基座相對慣性空間旋轉的一種振動陀螺。半球陀螺的核心部件為諧振子，諧振子在外加電壓作用下維持環向波數為2的四波腹振動[2]，其振動特性的變化直接影響其信號輸出。半球陀螺在實際使用時不同位置的固定方向各不相同，即邊界條件存在差異，其中較明顯的影響因素是重力場。因此，研究重力場對半球諧振陀螺輸出的影響是必要的。

1 諧振子動力學仿真

1.1 重力場對振動頻率及頻差的影響

采用Comsol Multiphysis軟件進行有限元仿真分析。相同結構在不同應力狀態下將表現出不同的動力學特性。諧振子在自由狀態下，記其剛度為K0，當其受外界載荷作用時，其結構剛度發生變化，視外載的不同增加或降低，這一部分剛度稱為幾何剛度，記為Kg。考慮預應力作用下，諧振子的特征值問題：

(-ω2M+(K0+Kg))Φ={0}

(1)

式中:ω為諧振子的振動頻率；M為諧振子的質量矩陣；Φ為各坐標振幅組成的n階列陣。

因此，為考慮不同重力場對諧振子振動頻率的影響，需在模態分析前加一個靜力分析，將重力場及固定約束加入有限元求解模型中，以更新結構的剛度矩陣。有限元模型如圖1、2所示。重力場平行于軸柄和垂直于軸柄兩種情況下諧振子的頻率均為4 768.7 Hz。

圖1 重力場平行于軸柄

圖2 重力場垂直于軸柄

綜上所述可知，在不同方向重力場作用下，諧振子四波腹振動頻率無明顯改變，這說明不同方向的重力場對諧振子自身結構剛度無明顯影響，因此，不同方向重力場不會改變諧振子頻率和頻差。

1.2 重力場對能量損耗的影響

在諧振子振動頻率不變的前提下，進一步分析可能對諧振子振動狀態造成影響的因素。若諧振子振動能量在外界條件影響下發生改變，則其振動狀態將發生改變，進而影響輸出。影響諧振子振動能量的因素包括空氣阻尼、熱彈性損耗(TED)、表面損耗、聲子-聲子和聲子-電子相互作用、錨點損耗等[3-4]。諧振子在真空環境中工作，重力場不會影響陀螺的真空度；熱彈性損耗取決于諧振子材料的特性，和重力場無關；表面損耗通常由缺陷、雜質及粗糙度等因素決定，和加工關系最密切；聲子相互作用在低頻諧振陀螺(<100 kHz)中可忽略不計，聲子-電子相互作用取決于諧振子的材料性質，絕緣體可忽略不計。

因此，錨點損耗是諧振子能量損失的主要因素，而研究錨點損耗與外界重力場之間的關系，則可反映諧振子振動能量在外界條件影響下的變化情況，進而確定重力場是否影響半球諧振陀螺的輸出。

品質因數(Q)可定義為每個振蕩周期中存儲能量與耗散能量的比值，即

(2)

式中：E為每個諧振周期內，諧振子儲存的總能量；ΔEi為每個影響因素損耗的能量。由于重力場主要影響錨點損耗，因此可通過仿真Q值來評估振動過程中諧振子能量的變化。

諧振子固定在錨點上，諧振子振動時，能量通過錨點耗散。由于使用有限元法(FEM)不可能對基片進行無限大的建模，為了仿真通過錨點損耗的機械能，需設置波的吸收邊界，以避免其反射。在基片的外邊界上添加非物理吸收層可吸收所有傳出的波，直到它們達到吸收層的有限邊界。

本文使用完美匹配層(PML)作為吸收層，當波進入PML時，將受到阻尼并呈指數衰減。根據諧振子設計及其邊界，采用球形PML作為吸收層。在仿真模型中，認為錨點損耗是唯一影響Q值的因素，各階模態的Q值可用下式表示[5]：

(3)

式中：Re(ω)為角振動頻率的實部；Im(ω)為角振動頻率的虛部。這些值都可在Comsol Multiphysis軟件中直接提取。

在模態分析前加一個靜力分析，將重力場加入有限元求解模型中，以更新結構的剛度矩陣，再對系統進行本征頻率仿真。加在模型上的重力場分為水平方向和垂直方向，大小均為1g(g=9.8 m/s2)。

仿真結果如圖3～5所示。由圖3～5可知，當加入豎直重力場后，將影響諧振子垂直方向的振動，這種垂直方向的運動不會改變諧振子在周向的形狀，即對其周向剛度影響很小，故Q值無明顯變化；而加入水平方向的重力場以后，雖然影響其周向振動，但由于1倍重力場的作用量太小，對其剛度影響有限，Q值減小1.9%，無明顯影響。表1為Q值仿真結果。

圖3 PML仿真模型總體示意圖

圖4 重力場平行于軸柄時的能量損耗

圖5 重力場垂直于軸柄時的能量損耗

表1 Q值仿真結果

2 與重力場有關的漂移測試

陀螺坐標系為O-xyz，其中Ox軸為陀螺儀輸入軸(IA)，y、z軸所在的平面與輸入軸垂直。陀螺的輸出為脈沖信號，改變陀螺坐標系與重力場的位置關系，測試陀螺在不同位置下的輸出可得到重力場對陀螺漂移的影響。陀螺與g有關漂移的測試方法為：

1) 將陀螺儀按坐標系“上東北”方向放置，記錄陀螺儀的輸出值，記為N1。

2) 將陀螺儀按坐標系“下西北”方向放置，記錄陀螺儀的輸出值，記為N2。

3) 將陀螺儀按坐標系“北上東”方向放置，記錄陀螺儀的輸出值，記為N3。

4) 將陀螺儀按坐標系“南下東”方向放置，記錄陀螺儀的輸出值，記為N4。

5) 將陀螺儀按坐標系“北西上”方向放置，記錄陀螺儀的輸出值，記為N5。

6) 將陀螺儀按坐標系“南西下”方向放置，記錄陀螺儀的輸出值，記為N6。

以上方法稱為陀螺的六位置試驗。N1～N6為T秒計數的脈沖輸出，則陀螺儀的零偏D0，x、y、z方向與g有關的漂移分別為D1、D2和D3的計算公式為

(4)

式中：T為計數時間；K為陀螺儀標度因數；Ω為地球自轉角速率；φ為測試場緯度。

式(4)中T的計時精度、K及φ的計算不準確會對D1、D2、D3的測試結果產生影響。但T的計時能達到很高的精度，φ也可以準確地獲得，因此,T、φ這兩項對D1、D2、D3的影響可忽略。

在K的測試中，我們選取一系列的速率點ωi，測試陀螺儀在這些輸入點下的輸出值，然后采用最小二乘法擬合得到陀螺儀的K。而最小二乘法擬合得到的K在很大程度上受大角速率輸入點的影響，即擬合得到的K最接近大角速率輸入點的瞬時標度因數，而受小角速率輸入速率點的影響很小。式(4)中的K是通過標度因數測試，經最小二乘法擬合得到。因此，要選取標度因數非線性度盡可能小的陀螺進行此項測試。

選取某半球諧振陀螺在通電預熱一段時間后，按上述方法測試與g有關的漂移，結果如表2所示。φ=29.6°，K=19 995 脈沖數/(°)，測試在每個位置下陀螺100 s內的輸出脈沖數，結果如表2所示。

表2 與g有關的漂移測試結果

參與試驗的陀螺儀精度為0.02 (°)/h。實測其與g有關的漂移為0.019～0.034 (°)/h，與陀螺儀精度處于同一量級，因此可以認為重力場對陀螺漂移無明顯影響。

3 結束語

本文采用Comsol Multiphysis軟件對半球諧振陀螺在重力場下進行了動力學仿真，結果表明，不同重力場方向對諧振子頻率和頻差無影響，諧振子Q值的相對變化量小于2%。采用某半球諧振陀螺進行與g有關的漂移測試，結果表明，與g有關的漂移與陀螺儀精度處于同一量級。結合動力學仿真和陀螺實測數據可以認為，重力場對半球諧振陀螺的性能無明顯影響。