考慮舵機時滯的陣風減緩主動控制律設計

楊陽，楊超，吳志剛，戴玉婷

（北京航空航天大學 航空科學與工程學院，北京100083）

陣風會改變飛機的有效迎角，引起升力的突然變化，從而產生涉及剛性運動和彈性變形的陣風響應［1］。陣風響應會降低飛機的飛行品質，而其所產生的內載荷會影響飛機的疲勞壽命，甚至飛行安全［2］。對于近年來迅速發展的大展弦比柔性飛機而言，其大柔性、低翼載的特點使得陣風響應的影響尤為嚴重［3］。而陣風減緩主動控制系統能有效降低飛機的陣風響應，保證飛機的飛行安全。

近年來，陣風減緩主動控制技術得到很大程度的發展。楊俊斌等［4］利用經典PID控制減緩飛翼布局飛機的陣風響應，并通過風洞試驗進行驗證。Liu等［5］利用基于模型預測的線性二次高斯（Linear Quadratic Gaussian，LQG）控制來減緩飛機的陣風載荷。Cook等［6］利用H∞控制來降低飛機的翼根彎矩。Alam等［7］利用具有反饋補償的前饋控制來減緩飛機的翼根彎矩。Zhao等［8］利用飛機上安裝迎角傳感器信號采集陣風信息，設計自適應前饋控制器來減緩大型運輸機的翼根彎矩。這些控制方法均通過舵機驅動控制面偏轉來抑制飛機飛行過程中的陣風響應。動態的控制過程要求舵機具有良好的頻響特性。

然而，對于一些小型無人機而言，由于質量、空間及成本的限制，所采用的小型伺服舵機多缺乏頻響特性指標。利用所設計的舵機測試平臺測試舵機［9］的頻響特性，發現此種舵機多存在時滯環節。控制系統的時滯環節會降低系統的陣風響應減緩效果，甚至影響系統的穩定性［10］。因此，在陣風減緩主動控制系統設計過程中必須考慮舵機時滯環節的影響。

目前，針對時滯系統的控制方法通常采用Smith預測控制［11］及相應的改進控制結構。然而此種方法要求一個精確的過程模型，且對受控對象的參數變化敏感。唐功友［12］所設計的時滯系統降維狀態預測觀測器和控制器也能將時滯項移至系統閉環結構之外，然而要求受控對象可觀可控。記憶控制和前饋補償器 能有效降低時滯和擾動對系統的影響，卻需要擾動已知。而Padé近似［14-18］可將時滯環節線性化，得到線性受控對象，并與各種控制系統設計方法相結合設計滿足需求的控制系統。

本文將試驗所得舵機傳遞函數中的時滯環節利用Padé近似進行線性化，將線性化后的舵機模型引入氣動彈性系統中，利用LQG控制方法［19-21］設計陣風減緩主動控制系統，并利用平衡截斷法［22-23］對控制系統進行降階。利用Simulink將所設計的控制系統引入原非線性模型中進行仿真計算，以驗證所設計的陣風減緩主動控制系統的有效性。

1 陣風減緩研究對象

本文的研究對象為一個帶有6個后緣舵面及多個傳感器的飛翼布局飛機模型（見圖1），每個舵面由一個作動器（Hitec-7954SH舵機，該舵機的最大速率為150（°）／s）驅動。取飛機半模進行計算分析，其舵面及傳感器編號如圖1所示。利用NASTRAN軟件對結構有限元模型進行動力學仿真，包括沉浮和俯仰兩階剛體模態及機翼一彎（4.59 Hz）、二彎（16.95 Hz）、一扭（26.42 Hz）及三彎（45.88 Hz）四階彈性模態，并利用ZAERO計算速度20 m／s、空氣密度1.225 kg／m3情況下的非定常氣動力，分析此飛行狀態下的陣風響應并設計相應的陣風減緩主動控制系統。

圖1 飛翼布局飛機結構模型及傳感器舵機布置Fig.1 Structural model of flying-wing aircraft and arrangement of sensors and actuators

2 舵機系統的Padé近似

2.1 舵機的動態特性

利用所設計舵機頻響特性測試平臺測量模型中所用的伺服舵機Hitec-7954SH帶負載（慣性載荷和氣動載荷）情況下的動態特性，并根據試驗數據利用Levy法［24］對舵機系統進行辨識，得到舵機的傳遞函數如式（1）所示。舵機的傳遞函數中存在的時滯環節（e－0.1s）表示舵機的輸出信號與輸入信號之間存在0.1 s的延遲。

2.2 舵機系統中時滯環節的Padé近似

Padé近似可將時滯環節（e－λs）線性化為一個有理函數連續系統，其近似公式［18］為

根據Padé近似公式，可將舵機的時滯環節擬合成一個高階傳遞函數的形式。經過Padé近似線性化后的舵機傳遞函數為

圖2為將舵機的時滯環節（e－0.1s）擬合為一個2～6階傳遞函數后舵機的階躍響應和頻率響應。由圖2（a）所示，時滯環節使得舵機的階躍響應發生0.1 s的延遲，而經過Padé近似所得線性化舵機模型的階躍響應在0～0.1 s內存在微小振動，0.1 s之后二者響應保持一致。同時隨著Padé近似階數的升高，其振動的幅值降低，對時滯環節的近似效果更好。

由圖2（b）所示，經過Padé近似線性化后系統的幅頻特性與包含時滯環節的舵機系統相一致，即Padé近似并不會改變系統的幅頻特性。同時，Padé近似能有效近似時滯環節所引起的相位滯后，但不同的近似階數影響著一定頻率范圍內的近似精度。對于圖1中所示飛翼布局飛機模型而言，陣風主要影響飛機的短周期模態（1.23 Hz）和機翼一彎模態（4.59 Hz）。由圖2（b）可知，4階以上的Padé近似所得線性系統的相頻特性在0～10 Hz頻率范圍與時滯系統保持較好的一致性，而此頻率范圍滿足陣風減緩主動控制系統的設計需求。因此，在滿足陣風減緩主動控制系統設計頻響需求的基礎上，為了保證所建立受控對象的階數不會過高，本文選用4階Padé近似所得到的傳遞函數代替舵機中的時滯環節，建立線性化舵機模型，進行陣風減緩主動控制系統設計。

圖2 包含純時滯模型及2～6階Padé近似模型的舵機階躍和頻率響應Fig.2 Step and frequency responses of actuator with pure time-delay model and 2～6 order Padé approximation models

3 氣動伺服彈性系統建模流程

3.1 氣動彈性系統建模

式中：xae為氣動彈性系統的狀態向量；δae為舵面偏轉輸入向量；wae為陣風擾動輸入向量；yae為氣動彈性系統的輸出向量；Aae、Bae、Cae、Dae、Eae和Fae分別為氣動彈性系統的狀態矩陣、舵機輸入矩陣、陣風輸入矩陣、輸出矩陣、舵機前饋矩陣和陣風前饋矩陣。對于圖1所示飛翼布局飛機其輸出向量包括翼尖加速度（1號和2號）、機身加速度（3號和4號）、位移、角速率和角位移信號。

3.2 舵機系統建模

根據式（3）可以得到舵機系統的狀態空間方程。單個舵機的狀態空間方程如下：

3.3 增穩控制系統建模

圖3 增穩控制系統結構Fig.3 Stability augment control system

3.4 氣動伺服彈性系統建模

4 陣風減緩主動控制系統設計

利用LQG控制方法［14-15］對式（11）所示氣動伺服彈性模型設計陣風減緩主動控制系統，其由Kalman狀態估計觀測器和狀態反饋控制器2個部分組成［21］。Kalman狀態估計觀測器根據傳感器所測系統輸出估計氣動伺服彈性系統的狀態，估計的狀態量經過所設計的狀態反饋控制器生成控制信號，驅動2號舵面和3號舵面進行偏轉。

所設計的陣風減緩主動控制系統如圖4所示。其中Kalman狀態估計觀測器的參數KK和陣風減緩最優控制器反饋參數KL可通過求解黎卡提方程［14-15］獲得。在控制器反饋參數的設計過程中選取合適的輸出輸入加權矩陣，以達到陣風響應減緩效果。

圖4 陣風減緩主動控制系統Fig.4 Gust alleviation active control system

對圖1所示飛翼布局飛機而言，其輸出為翼尖加速度（1號和2號）、機身加速度（3號和4號）、位移、角速率和角位移信號，輸入為2號和3號舵面的舵機輸入信號。而所設計的陣風減緩主動控制系統目的為減緩飛機機身處的過載和翼根彎矩，同時保證整個控制過程中，舵面的偏角不大于舵機的可用偏角，即±20°，以及舵機的偏轉速率不大于150（°）／s，因此選取輸入和輸出的加權矩陣為

然而，基于LQG控制方法所設計的陣風減緩主動控制系統會與受控對象保持相同的階數。對于氣動伺服彈性系統而言，階數往往較高，較高的控制律不利于物理實現。因此，采用平衡截斷法對所設計的陣風減緩主動控制律進行降階（14階）。

5 陣風減緩主動控制系統仿真分析

5.1 陣風減緩主動控制仿真

利用Simulink將第4節中所設計的經過降階的控制系統引入到包含時滯環節的氣動伺服彈性模型中進行仿真，分別計算開環和閉環情況下模型在von Karman連續陣風（陣風速度均方根為1 m／s，陣風尺度為760 m）激勵下的響應，并根據力的疊加法計算圖1所示應變片位置的翼根彎矩響應，從而驗證根據線性化氣動伺服彈性模型所設計的陣風減緩主動控制方案對于非線性模型的有效性。其仿真模型如圖5所示，包括氣動伺服彈性模型、增穩控制系統、陣風減緩主動控制系統及陣風成型濾波器。其中，陣風成型濾波器將輸入的高斯白噪聲生成與von Karman功率譜密度相吻合的時域連續陣風［26］。圖6為包含時滯環節的舵機仿真模型。

圖6 舵機的仿真模型Fig.6 Simulation model of actuator

5.2 陣風減緩效果分析

根據式（2）將舵機的延遲后環節近似化為一個4階的傳遞函數，構建式（11）所示的氣動伺服彈性系統模型，并采用式（12）所示的加權矩陣利用LQG控制方法設計陣風減緩主動控制系統，并將所設計的控制系統進行降階，計算3號、4號加速度計處的過載和翼根處的彎矩，如圖7所示。并計算開／閉環狀態下陣風響應的均方根值，如表1所示。

圖7 氣動伺服彈性模型的陣風響應Fig.7 Gust responses of aeroservoelastic model

如圖7所示，所設計的陣風減緩主動控制系統可以有效減緩機身加速度計處的過載響應，減緩效率均在15%左右，而對于翼根彎矩具有較好的減緩效果，效果達到25%以上。

表2中列出了所設計的陣風減緩主動控制系統對Padé近似化后的線性氣動伺服彈性系統和包含時滯環節的非線性氣動伺服彈性系統的陣風減緩情況。2種情況下的陣風減緩主動控制效果基本相同且所設計的陣風減緩主動控制系統對線性模型的減緩效果略大于非線性模型，說明Padé近似能有效模擬舵機中的時滯環節，并且所得結果較非線性模型而言并不保守。

由此可見，利用Padé近似將舵機中所存在的非線性時滯環節進行線性化，根據線性模型所設計的陣風減緩主動控制系統能有效減緩原模型的陣風響應。

表1 陣風響應的均方根及減緩效果Tab1e 1 Root-mean-square of gust responses and effects of gust a11eviation

表2 線性模型和非線性模型的陣風減緩效果Tab1e 2 Gust a11eviation effects of 1inear mode1and non1inear mode1

5.3 Padé近似階數對陣風減緩效果的影響

選取不同的Padé近似階數替代舵機中的時滯環節，進行LQG陣風減緩主動控制系統設計。所設計的控制系統對包含時滯環節的氣動伺服彈性系統的陣風響應減緩效率如表3所示。

表3 不同Padé近似階數下所設計控制系統的陣風減緩效果Tab1e 3 Gust a11eviation effects of designed contro1 svstem based on different Padéapproximation orders

如圖2所示，過低的Padé近似階數（2階）無法在主要氣動彈性振動頻率范圍內準確描述舵機中所存在的時滯環節，從而影響所建立的線性受控對象的準確性，進而導致所設計的控制系統對于包含時滯環節控制對象的作用效果并不明顯，甚至會加劇某些響應。同時，較高階（4～10階）的Padé近似保證所建立的線性模型在主要氣動彈性振動頻率范圍內與原時滯模型的頻響特性具有較好的一致性，從而保證所設計的陣風減緩主動控制系統均能較好地減緩原氣動伺服彈性模型的陣風響應，且其減緩效果相差并不大。因此，在滿足陣風減緩主動控制系統設計需求的條件下，為了降低所建立受控對象的階數，從而降低所設計控制系統的階數，建議選取較低的Padé近似階數進行控制系統設計。

5.4 控制律降階對陣風減緩效果的影響

采用LQG控制方法所設計的陣風減緩主動控制系統具有較高的階數，對于5.1節中所述氣動伺服彈性模型而言，在選取4階Padé近似的情況下，控制系統高達44階，物理實現較為困難。因此采用平衡截斷法對所設計的控制方案進行降階。

對比控制系統降階前后的頻率響應，選取輸入為俯仰角擾動、輸出為Flap2舵機控制信號和輸入為位移擾動、輸出為Flap3舵機控制信號的傳遞函數繪制Bode圖，如圖8所示。在高于14階的情況下，在重要的彈性頻率范圍（0～10 Hz）內，降階系統與滿階系統具有較好的一致性，而在低于14階的情況下，降階后系統的幅值和相位與滿階系統相差較大。因而，對于本文所設計的控制系統，可利用平衡截斷法將高階的控制律降低到14階。

表4列出了4階Padé近似的情況下不同階數控制系統對陣風響應的減緩效果。由此可見，控制律的降階會導致所設計控制系統的效果降低，即導致陣風減緩效率降低。在控制律小于14階的情況下，由于降階后控制系統與原系統的頻響特性相差較大，從而導致系統失穩，即機身加速度計（3號和4號）處的過載及翼根彎矩均產生發散。因此，在陣風減緩主動控制系統設計過程中需要選擇合適的降階階數，在保證系統穩定和減緩效果的基礎上，選取較低的降階階數。

表5和表6列出了6階和8階Padé近似情況下，控制律降階對陣風減緩控制系統的影響。對比表4～表6可知，在不同的Padé近似階數情況下，降階均會降低所設計控制系統的陣風減緩控制效果。而對本文所設計的控制系統而言，在選用較高階Padé近似的情況下，未在控制系統降至12階時出現如表4所示的系統失穩，但其對翼根過載的減緩效果出現了明顯的下降。由此可見，Padé近似階數對控制系統的降階存在影響。對本文所述模型而言，選用4階Padé近似在保證陣風減緩效果的條件下，使得降階后所得控制律的階數（14階）小于6階和8階Padé近似的情況（16階）。

圖8 降階前后控制系統的頻率響應Fig.8 Frequency responses of control system before and after order reduction

表4 控制律降階對陣風減緩效果的影響Tab1e 4 Effect of order-reduction on gust a11eviation

表5 6階Padé近似情況下控制律降階對陣風減緩效果的影響Tab1e 5 Effect of order-reduction on gust a11eviation in case of 6-order Padéapproximation

表6 8階Padé近似情況下控制律降階對陣風減緩效果的影響Tab1e 6 Effect of order-r eduction on gust a11eviation in case of 8-order Padéapproximation

5.5 陣風減緩主動控制系統魯棒性分析

采用閉環回差矩陣的最小奇異值方法［27］對降階前／后所設計的陣風減緩主動控制系統進行魯棒性分析，如圖9所示。控制律降階會影響低頻處的最小奇異值，但在高頻部分二者基本保持一致。

在全頻率范圍內，降階前系統的最小奇異值為0.309，降階后系統的最小奇異值為0.389。若取σM＝0.3為系統魯棒性性能約束，則所設計的陣風減緩主動控制系統在全頻率段均具有較好的魯棒性，且降階并不會導致系統的魯棒性變差。

圖9 降階前后系統回差矩陣的最小奇異值Fig.9 Minimum singular value of closed-loop system before and after order reduction

6 結 論

將基于舵機時滯環節線性化后得到的氣動伺服彈性系統利用線性二次高斯控制方法所設計的陣風減緩主動控制律引入原包含舵機時滯環節的非線性氣動伺服彈性系統中進行仿真計算，計算結果表明：

1）所設計的陣風減緩主動控制系統能有效減緩包含時滯環節的氣動伺服彈性模型的陣風響應（機身過載和翼根彎矩）。

2）Padé近似階數對陣風減緩主動控制系統的設計存在影響。較低的近似階數無法準確描述時滯環節在高頻處所產生的相位滯后，從而導致所設計的控制系統對包含時滯環節受控對象的陣風響應減緩效果不明顯，甚至可能加劇某些響應。因此，在控制系統設計過程中，所選擇的Padé近似階數需要保證線性化模型的頻響特性在主要的氣動彈性頻率范圍內與原模型保持較好的一致性。在此基礎上選取較低的近似階數保證所建立的受控對象及所設計的控制系統的階數不會過高。

3）控制律降階會導致所設計的控制系統效果下降，甚至可能造成系統失穩。通過對比控制系統降階前后的頻響特性，選擇合適的降階階數，使得降階前后控制系統在重要的氣動彈性頻率范圍內保持較好的一致性，從而保證降階后陣風減緩主動控制系統仍有良好的控制效果。