基于SADRC的四旋翼姿態解耦控制及穩定性分析

萬慧，齊曉慧，李杰

（陸軍工程大學石家莊校區 無人機工程系，石家莊050003）

四旋翼具有可垂直起降、定點懸停、對起飛著陸場地要求低等優勢，在民用和軍事領域都有廣闊的應用前景，近年來逐漸成為航空領域的研究熱點之一［1］。目前，對于四旋翼的研究主要集中在四旋翼的位姿控制［2-3］、航跡規劃［4］及編隊、協同控制［5-7］等方面。

良好的姿態控制系統是四旋翼實現各項功能的前提，而四旋翼本身為欠驅動、強耦合系統，控制難度大，國內外研究人員針對該問題也進行了很多探索和嘗試。Bouabdallah團隊以小型四旋翼為研究對象，分別設計了基于PID、線性二次型調節器、反步法及滑模控制的姿態控制系統［8-9］，并對部分控制方法的控制性能進行了比較；Nicol等［10］將魯棒自適應控制方法應用于四旋翼姿態控制中；蔣回蓉［11］對基于反饋線性化方法的四旋翼姿態控制進行了研究；張靜等［12］對將模糊控制應用于四旋翼姿態控制中進行了嘗試。然而，大多數現代控制方法，如反步法、反饋線性化及線性二次型調節器等，雖然具有相對完善的設計方法，但是存在對模型精度要求高、結構復雜、運算量大等問題；滑模控制是飛行控制中應用較多的控制方法，對參數攝動具有較好的魯棒性，但是該控制結構本身存在抖振問題，當系統不確定性較大時，容易造成控制輸入飽和；自適應控制雖然有較好的魯棒性，但是設計復雜，系統穩定性不易保證；模糊控制雖然在仿真中取得了較好的效果，但是運算量大，使該方法的工程實現存在困難。正因為現代控制方法存在的諸多問題，PID控制仍是現有無人機產品應用最為廣泛的控制器，該方法結構簡單，參數易于整定，且不依賴精確模型，但是該方法的魯棒性和抗干擾性并不理想。

自抗擾控制（Active Disturbance Rejection Control，ADRC）技術繼承了PID控制的優點，同時吸收借鑒了現代控制理論的部分思想，具有較強的工程實用性，在處理多變量、強耦合系統的控制問題上具有獨特優勢［13］。目前，已有團隊將非線性自抗擾控制（Nonlinear Active Disturbance Rejection Control，NLADRC）和線性自抗擾控制（Linear Active Disturbance Rejection Control，LADRC）應用于四旋翼的控制系統設計中，在所設試驗條件下也取得了較為滿意的控制結果［14-16］。但是所設試驗條件較為簡單，而四旋翼實際的工作環境更為復雜，且NLADRC結構復雜，參數整定和穩定性分析困難，而LADRC對初始狀態誤差敏感，這些問題限制了自抗擾控制技術在四旋翼飛行控制中的進一步應用。

筆者團隊在定量對比分析了線性／非線性自抗擾控制各自的特點基礎上，提出了綜合兩者優點的線性／非線性切換自抗擾控制（SADRC）方法。目前，已經完成了針對單入單出（Single-Input Single-Output，SISO）被控對象基于該方法的控制器設計和穩定性分析，并通過算例仿真的方式對該方法的抗干擾能力和跟蹤精度進行了初步驗證，顯示了其在工程領域應用的潛力［17-18］。

本文針對四旋翼姿態控制系統，設計了基于SADRC的姿態解耦控制器，并提出了基于Lyapunov函數的對該解耦控制系統進行穩定性分析的方法。仿真結果表明，所提方法具有良好的抗擾性和對參數攝動的魯棒性，在工作環境相對復雜的情況下較LADRC和NLADRC更有優勢。

1 四旋翼姿態模型

研究用的四旋翼平臺如圖1所示。該四旋翼無人機本體運動原理同“十”字型飛行方式的四旋翼無人機的運動原理，通過控制螺旋槳的轉速實現四旋翼無人機三軸的姿態角的變化。

圖1 四旋翼平臺Fig.1 Quadrotor aircraft platform

式中：φ、θ、ψ分別為飛行器的俯仰角、滾轉角、偏航角；l為四旋翼的臂長；Vi（i＝f，b，l，r）分別為“前、后、左、右”4個電機的電壓；Kf為電機電壓與升力間的系數；Kt為電機電壓與轉矩之間的系數；qi（i＝f，b，l，r）分別為“前、后、左、右”4個旋翼的角速度；Kafi（i＝x，y，z）分別表示x，y，z三軸的空氣阻力系數；Ji（i＝p，r，y）分別為機體繞俯仰軸、滾轉軸、偏航軸的轉動慣量；Jrz為旋翼轉子的轉動慣量。

引入虛擬控制量Ui（i＝1，2，3），并將各通道間的動態耦合部分視為系統的內部擾動，同時考慮各通道中可能存在的外部擾動wi（i＝1，2，3），設η＝［φ θ ψ］T，ω＝˙η，則式（1）可以進一步整理為

由式（2）可以看出，若設計的控制器可將各通道的“總擾動”進行較好的跟蹤和補償，則各通道可變為串聯積分形式，實現多耦合系統的解耦控制。

2 姿態解耦控制方法

2.1 SADRC方法

鑒于線性控制律在實際應用方面的優點，本文采用的SADRC方法實際上是在LADRC框架下，進行線性擴張狀態觀測器（Linear Extended State Observer，LESO）和非線性擴張狀態觀測器（Nonlinear Extended State Observer，NLESO）之間的切換［13］，系統控制律仍采用線性控制律，其具體結構如下：

式（3）為線性控制律，用于補償殘差，提高控制系統性能，ki（i＝1，2，…，n）為控制器增益。式（4）為切換擴張狀態觀測器（Switch in nonlinear-linear Extended State Observer，SESO），用于跟蹤和補償系統的“總擾動”。

式（4）中，u和y分別對應系統的控制輸入和輸出；u0為控制分量；vi（i＝1，2，…，n）為系統參考輸入各狀態的估計值；zi（i＝1，2，…，n）為系統各狀態的估計值；zn＋1為對系統總擾動的估計；b為系統參數，設已知關于b的部分信息b0，并假定b0≈b；β0i（i＝1，2，…，n＋1）為SESO中NLESO的增益系數，并假設SESO中LESO的增益β0iL（i＝1，2，…，n＋1）是其NLESO增益β0i（i＝1，2，…，n＋1）的λi（i＝1，2，…，n＋1）倍（對NLESO的增益β0i（i＝1，2，…，n＋1）進行整定，可從“帶寬法”角度出發，具體方法在文獻［14］中已經給出，這里不再贅述），λi（i＝1，2，…，n＋1）為常數；則切換函數fsi（e）（i＝1，2，…，n＋1）具體可表示為

LESO與NLESO的切換步驟具體如下：

步驟1 如果已知系統的初始狀態誤差，則為避免LADRC控制器的“峰值”現象，在系統的過渡時間內均采用NLESO；如果初始狀態誤差未知，則跳過步驟1，直接轉到步驟2。

步驟2 根據狀態誤差e大小，控制器在LESO和NLESO間切換。具體方法為：將線性段區間長度δs與誤差e的關系作為切換策略依據，預先設定δs（其具體值的確定將在后續參數整定中說明），當e＜δs時，采用NLESO估計系統的“總擾動”；反之，則采用LESO估計系統的“總擾動”。這里，δs為LESO與ESO估計性能的臨界值，當e＜δs時，ESO的估計性能優于LESO，反之，則LESO相比ESO具有更好的估計性能。

上述即為SESO控制器的切換策略，其流程如圖2所示。

圖2 SADRC切換策略Fig.2 SADRC switch scheme

針對δs的確定主要有實驗法和理論分析法2種。實驗法的主要思想為：將SADRC應用于實際的被控對象或仿真環境下對象的模型，并施加一個較大的擾動，然后給定δs一個初值，重復調整δs直 到 在 該 δs下，SADRC 中 LADRC 和NLADRC性能均達到最優，則此時的δs即為切換策略的臨界點。

2.2 基于SADRC的四旋翼姿態解耦控制

結合被控對象實際情況，做出以下假設：

假設1 系統參考輸入及其一、二階導數有界。

式中：AH＝A－BK。則控制增益Kη、Kω的選取應使矩陣AH滿足Hurwitz條件。在此條件下，總擾動Fdis被SESO估計并補償，可證明系統式（13）全局漸進穩定。

3 穩定性分析

3.1 觀測器誤差動力系統穩定性分析

3.2 閉環控制系統穩定性分析

4 仿真實驗

本節以3-DOF四旋翼平臺為被控對象進行姿態控制數字仿真實驗，設計基于SADRC的姿態解耦控制器，并對該方法的抗擾性和魯棒性與基于LADRC和NLADRC的控制器控制性能進行對比驗證。系統參數為：l＝0.197 m，Kf＝0.118 8 N／V，Kt＝0.0036 N·m／V，Kafx＝Kafy＝0.008 N·m／rad／s，Kafz＝0.009 N·m／rad／s，Jp＝Jr＝0.052 2 kg·m2，Jy＝0.11 kg·m2，Jrz＝1.91×10－6kg·m2。

將φ、θ、ψ視作系統的一通道、二通道、三通道，則設計的LADRC、NLADRC及SADRC控制器相關參數選擇如表1所示。

表1 LADRC、NLADRC、SADRC控制器參數選擇Tab1e 1 Parameter pr eferences of LADRC，NLADRC，SADRC

在基于SADRC的四旋翼姿態控制器設計 中，SESO的增益矩陣L可表示為

式 中：βφ0i、βθ0i、βψ0i分 別 為 對 應 通 道 SESO 中NLSEO的增益；λφ0i、λθ0i、λψ0i分別表 示對應通道SESO 中 LESO 的 增 益 為 對 應 通 道 SESO 中NLSEO的增益的倍數。

根據式（7），λφ0i、λθ0i、λψ0i（i＝1，2，3）的取值與e的大小有關。為考察e對L的影響，以λφ0i為例，分別做出λφ01、λφ02、λφ03隨e大小變化的曲線，如圖3所示。

圖3 λφ01、λφ02、λφ03隨e變化的曲線Fig.3 Curves ofλφ0i（i＝1，2，3）changing with e

4.1 抗擾性實驗

設置系統3個通道的初始值為φ（0）＝0°，θ（0）＝0°，ψ（0）＝0°，各通道跟蹤均為幅值為3°階躍信號，仿真時間50 s。其中，φ、θ通道分別存在z1φ＝0.04°，z1θ＝0.4°的初始狀態誤差，在t＝25 s時，分別對各通道輸出端施加幅值為0.04°、0.6°、1°，持續時間3 s的干擾信號，對信號的跟蹤效果及實際控制量曲線分別如圖4、圖5所示。

圖4 四旋翼φ、θ、ψ通道跟蹤和抗擾效果Fig.4 Tracking and anti-disturbance performance for quadrotor ofφ、θ、ψchannel

圖5 四旋翼實際控制輸入曲線Fig.5 Curves of real control input for quadrotor

由圖4、圖5可以得到以下結論：①3種控制方法均可實現對四旋翼姿態控制系統的解耦控制，且由于虛擬轉換矩陣的存在，使得本文所提姿態解耦控制方法在輸入輸出個數不相等的情況下仍然適用；②LADRC控制器對初始狀態誤差較為敏感，當被控對象存在初始狀態誤差時，LADRC可能產生“峰化”現象，使控制性能降低，而NLADRC和SADRC幾乎不受初始狀態誤差的影響；③當被控對象受小擾動干擾時（本文對擾動大小的判斷主要根據擾動對系統輸出的影響進行定義，本文中定義當系統受擾后瞬時最大輸出超過期望輸出的5%及以上時，所受擾動為大干擾，小于5%則為小干擾），LADRC、NLADRC和SADRC的控制性能相差不大，這是因為本文中3種控制器的觀測器參數選擇均可對系統所受小擾動進行快速地估計和補償，LADRC和SADRC的控制性能要優于NLADRC，這是因為在大誤差條件下，LESO 的增益大于NLESO，LESO可更加快速地對所受擾動進行估計和補償。綜合而言，相對LADRC和NLADRC，SADRC控制器可適應更為復雜的擾動情況，具有良好的抗擾性能。

4.2 魯棒性實驗

設置三通道初始值φ（0）＝0°，θ（0）＝0°，ψ（0）＝0°，且均不存在初始狀態誤差，在t＝0 s，各通道跟蹤均為幅值為3°的階躍信號，仿真時間50 s。每次仿真前，對模型參數隨機施加±10%的變化，采用誤差絕對值積分（Integrated Absolute Error，IAE）準則和能量消耗對控制系統魯棒性進行評價，其中系統的IAE值為各通道誤差絕對值積分之和，系統的能量消耗則用各通道控制輸入絕對值積分（Integrated Absolute Control Input，IACI）之和進行表示，每次仿真記錄各控制器的IAE值、IACI值、超調量σ、受擾動后的恢復時間tr。在以下3種仿真條件下，各重復仿真200次，得到每次各控制器IAE值與σ的關系、IACI值與tr的關系，如圖6所示，仿真條件如下：

仿真條件1 各通道均不存在干擾信號。

仿真條件2 在t＝25 s時，分別對各通道施加幅值為0.001°的干擾信號，持續至仿真結束。

仿真條件3 在t＝25 s時，分別對各通道施加幅值為1°的干擾信號，持續至仿真結束。

由圖6可以得到如下結論：①從點的離散程度看，在存在參數攝動的情況下，3種控制方法均具有良好的魯棒性和抗擾性；②在小擾動條件下，3種控制方法的IAE無明顯差別，進一步證明了本文中3種控制器的觀測器參數選擇均可對系統所受小擾動進行快速地估計和補償，但是非線性機制使得NLADRC和SADRC在小擾動條件下恢復速度及能量消耗上較LADRC更低；③在大擾動條件下，LADRC和SADRC在IAE及受擾后的恢復速度方面更有優勢，這是因為LESO的觀測器增益較大，可對大擾動實現快速地估計和補償，但是NLADRC在能量消耗方面有明顯優勢。

圖6 參數攝動情況下3種控制方法的魯棒性性能Fig.6 Robustness performance for the three controlled quadrotor system

5 結 論

1）本文對四旋翼姿態控制進行研究，設計了基于線性／非線性切換自抗擾控制的四旋翼姿態解耦控制器。

2）將切換自抗擾控制方法應用于多入多出被控對象，拓展了該方法的適用范圍，并針對基于SADRC的多入多出控制系統提出了一種基于Lyapunov函數，借助計算機解算，便于工程應用的穩定性分析方法，同時為控制器參數選擇提供參考。

3）線性自抗擾控制器、非線性自抗擾控制器及切換自抗擾控制器均具有良好的抗擾性和魯棒性，其中切換自抗擾控制器在所受擾動較為復雜，如擾動大小不確定或者擾動幅值存在較大波動的情況下更有優勢。具體采用何種控制器，可結合具體被控對象、工作環境及控制需求決定。

本文所提方法雖然結構簡單，便于應用，但是理論上不夠嚴謹，后續將進一步對穩定性分析方法進行研究，對被控系統的閉環穩定性給出更為嚴格的證明。