基于虛擬材料的滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)建模及其時(shí)變特性研究*

陳勇將 湯文成 郭 魂 華洪良 劉宵陽

(①常州工學(xué)院航空與機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 常州 213032；②東南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京211189)

滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)被廣泛應(yīng)用于數(shù)控機(jī)床中，其性能直接影響著數(shù)控機(jī)床的加工精度與質(zhì)量。在高速切削過程中，滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)是時(shí)變系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)模型會(huì)隨工作臺(tái)位置和負(fù)載工件質(zhì)量的變化而改變[1]。對(duì)滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)振動(dòng)特性、時(shí)變特性等動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行研究，建立其準(zhǔn)確的動(dòng)力學(xué)模型至關(guān)重要。

滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型主要包括集總參數(shù)模型、混合模型和有限元模型[2-3]：集總參數(shù)模型不能分析系統(tǒng)的時(shí)變特性；混合模型只對(duì)絲杠采用連續(xù)彈性梁模型，其他部件簡(jiǎn)化成集中質(zhì)量和彈簧阻尼單元，模型精度較差；有限元模型精度較高，但建模難度大。結(jié)合部模型的精確構(gòu)建是進(jìn)給系統(tǒng)混合與有限元模型準(zhǔn)確建立的共性問題，其模型誤差是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模誤差的主要來源[4]。因此，要建立準(zhǔn)確的滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，關(guān)鍵在于構(gòu)建精確的結(jié)合部動(dòng)力學(xué)模型。

在機(jī)床結(jié)合部建模方法中，基于虛擬材料的建模方法具有較高的精確性、較廣的適用性和較強(qiáng)的實(shí)用性[5]，因此，對(duì)此結(jié)合部建模方法開展的研究也越來越廣泛和深入[6-10]。然而，基于虛擬材料結(jié)合部建模的研究仍停留在部件級(jí)分析階段，對(duì)于滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)不能只重視各結(jié)合部孤立的研究，更要開展系統(tǒng)級(jí)的結(jié)合部虛擬材料模型建模研究，才能建立準(zhǔn)確的滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型。

1 滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的建立

滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)主要包括滾珠絲杠副、軸承及導(dǎo)軌等零件，它存在螺栓固定結(jié)合部和滾珠絲杠-螺母運(yùn)動(dòng)結(jié)合部、滾動(dòng)導(dǎo)軌-滑塊運(yùn)動(dòng)給合部與軸承運(yùn)動(dòng)結(jié)合部?jī)煞N類型。基于虛擬材料的結(jié)合部動(dòng)力學(xué)參數(shù)化建模法，滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)固定結(jié)合部和運(yùn)動(dòng)結(jié)合部虛擬材料模型示意如圖1所示。

采用多目標(biāo)優(yōu)化算法獲得系統(tǒng)結(jié)合部虛擬材料模型的參數(shù)是一種有效的參數(shù)獲取方法[11-12]。以仿真固有頻率和試驗(yàn)固有頻率之間差值的最小化目標(biāo)函數(shù)計(jì)算模型，如式(1) ，選擇帶精英策略的非支配排序的遺傳算法(NSGA-II)作為多目標(biāo)優(yōu)化算法。基于分形理論建立系統(tǒng)結(jié)合部虛擬材料模型參數(shù)的解析模型，以此解析模型求解得到的動(dòng)力學(xué)參數(shù)變化范圍作為約束條件。針對(duì)滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)結(jié)合部虛擬材料參數(shù)的獲取，基于多目標(biāo)優(yōu)化方法獲取其參數(shù)可采用單獨(dú)和整體兩種獲取方法。

(1)

1.1 結(jié)合部虛擬材料模型參數(shù)的優(yōu)化初值

滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)結(jié)合部虛擬材料模型參數(shù)主要包括彈性模量、泊松比、密度和厚度。栓接固定結(jié)合部虛擬材料層的厚度一般約為1 mm，滾動(dòng)導(dǎo)軌-滑塊與軸承運(yùn)動(dòng)結(jié)合部的厚度值為滾珠直徑值，滾珠絲杠-螺母運(yùn)動(dòng)結(jié)合部厚度值為螺母內(nèi)徑與絲杠外徑差值，所以設(shè)計(jì)變量為彈性模量、泊松比和密度。考慮微凸體接觸變形存在的三個(gè)階段，基于兩微接觸點(diǎn)之間互相作用的彈性模量求解公式，可得到虛擬材料結(jié)合部的彈性模量求解公式為[5]

(2)

結(jié)合部虛擬材料的泊松比解析模型建立的關(guān)鍵是切變模量的構(gòu)建，泊松比的表達(dá)式為

(3)

結(jié)合部虛擬材料的密度常用平均密度計(jì)算公式來計(jì)算：

(4)

式中：m1、m2分別為兩工件微凸體層的質(zhì)量；V1、V2分別為兩工件微凸體層的體積；ρ1、ρ2分別為兩工件微凸體層的密度；h1、h2分別為兩工件微凸體層的厚度；Aa為結(jié)合面的名義接觸面積。

1.2 結(jié)合部虛擬材料模型參數(shù)獲取的多目標(biāo)優(yōu)化方法

針對(duì)滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)結(jié)合部虛擬材料參數(shù)的獲取，基于多目標(biāo)優(yōu)化方法獲取其參數(shù)可采用兩種方法：一是單獨(dú)獲取到各結(jié)合部的虛擬材料參數(shù)，即設(shè)計(jì)變量為單個(gè)結(jié)合部的彈性模量、泊松比、密度和厚度，目標(biāo)函數(shù)為含單個(gè)結(jié)合部試件的仿真固有頻率和試驗(yàn)固有頻率之間差值的最小化；二是整體獲取到全部結(jié)合部的虛擬材料參數(shù)，即設(shè)計(jì)變量為全部結(jié)合部的彈性模量、泊松比、密度和厚度，目標(biāo)函數(shù)為系統(tǒng)整機(jī)的仿真固有頻率和試驗(yàn)固有頻率之間差值的最小化。

2 滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)建模方法驗(yàn)證

為了驗(yàn)證基于虛擬材料方法建立的滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)模型，搭建了如圖2所示的滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)模態(tài)測(cè)試平臺(tái)，此平臺(tái)主要由力錘、三軸加速度計(jì)、數(shù)據(jù)采集器、實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)分析模塊以及計(jì)算機(jī)組成。被測(cè)量滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)主要結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。實(shí)驗(yàn)測(cè)量：螺母在3個(gè)不同位置時(shí)的進(jìn)給系統(tǒng)固有頻率與振型，螺母移動(dòng)位置的參照面為靠近前法蘭軸承座的導(dǎo)軌起始端面，如圖2所示，螺母位置1處、2處和3處距導(dǎo)軌起始端面分別為0 mm、115 mm和230 mm；含單個(gè)結(jié)合部試件的固有頻率與振型。

表1 滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)模態(tài)測(cè)試平臺(tái)主要參數(shù)

模態(tài)實(shí)驗(yàn)采用移動(dòng)力錘法，傳感器安裝在絲杠上，通過橡皮繩懸掛滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)試件來模擬自由邊界條件，在試件上布置了32個(gè)激勵(lì)點(diǎn)。根據(jù)模態(tài)有效質(zhì)量比計(jì)算結(jié)果可知，需取3階試驗(yàn)固有頻率參與到目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化過程。通過對(duì)比試驗(yàn)?zāi)B(tài)振型與理論模態(tài)振型的相似性，確定此3階試驗(yàn)固有頻率具體選擇的階數(shù)。由獲得的實(shí)驗(yàn)振型可知，在3個(gè)不同螺母位置處，皆有一階與滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)仿真振型對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)振型未獲取到，分別為螺母位置1處、2處及3處的第2階、第1階及第2階實(shí)驗(yàn)振型。同時(shí)可知，滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)前3階振型，以絲杠的彎曲振動(dòng)為主，伴有底板的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。由圖3可知，基于滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)虛擬材料動(dòng)力學(xué)模型仿真得到的固有頻率與模態(tài)實(shí)驗(yàn)獲取的固有頻率基本吻合，且基于整體獲取法獲取參數(shù)的仿真固有頻率更為接近實(shí)驗(yàn)固有頻率。

3 討論

3.1 兩種方法獲取的結(jié)合部虛擬材料模型參數(shù)的對(duì)比與分析

由圖4～6可知，基于多目標(biāo)優(yōu)化方法整體獲取的結(jié)合部虛擬材料模型參數(shù)值都小于初值和單獨(dú)獲取法的獲取值，這主要是由于整體獲取法的目標(biāo)函數(shù)為系統(tǒng)整機(jī)的仿真固有頻率和試驗(yàn)固有頻率之間差值的最小化，而滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)整機(jī)固有頻率較絕大部分單獨(dú)部件的固有頻率低(含各結(jié)合部的單獨(dú)部件固有頻率，以下簡(jiǎn)寫成“各結(jié)合部的固有頻率”)。

同時(shí)可知，基于多目標(biāo)優(yōu)化方法單獨(dú)獲取各結(jié)合部虛擬材料模型參數(shù)值相較于整體獲取法的獲取值有著一定的分散性，這與單獨(dú)獲取法目標(biāo)函數(shù)為各結(jié)合部試件的仿真固有頻率和試驗(yàn)固有頻率之間差值的最小化有著直接關(guān)系。因?yàn)楦鹘Y(jié)合部試件的固有頻率都不一樣，而整體獲取法的獲取值相對(duì)集中于3個(gè)區(qū)域，尤其是結(jié)合部虛擬材料模型的泊松比和密度，這與選取3階試驗(yàn)固有頻率參與到目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化過程不無關(guān)系。滾珠絲杠-螺母運(yùn)動(dòng)結(jié)合部虛擬材料模型的彈性模量值最大，由已有研究可知，滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)中滾珠絲杠-螺母結(jié)合部接觸剛度相對(duì)較大，從宏觀角度看彈性模量可以表征結(jié)合部的接觸剛度。

3.2 螺母位置與負(fù)載質(zhì)量對(duì)進(jìn)給系統(tǒng)振動(dòng)的影響

由上可知基于整體獲取法獲取的滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)結(jié)合部虛擬材料參數(shù)，將其獲取的參數(shù)代入至仿真模型，據(jù)此分析不同螺母位置與負(fù)載質(zhì)量對(duì)進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響。在高速切削過程中，螺母位置與負(fù)載質(zhì)量在不斷變化，這種變化會(huì)影響滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)的振動(dòng)模態(tài)。由圖3可知，隨著螺母位置從位置1移至位置3，即螺母遠(yuǎn)離參照面的過程中，滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)的前三階固有頻率皆先變大后減小。在螺母位置2處，即絲杠中間位置處的前三階固有頻率最大。這是由于螺母扮演了移動(dòng)彈性支撐的角色，其位置變化會(huì)導(dǎo)致進(jìn)給系統(tǒng)的剛度跟隨其產(chǎn)生相應(yīng)的變化：當(dāng)螺母處于絲杠兩端時(shí)，系統(tǒng)的總體支撐剛度最小；當(dāng)螺母處于絲杠中間位置時(shí)，系統(tǒng)總體支撐剛度較大，其固有頻率也就越高。由圖7可知，工作臺(tái)負(fù)載質(zhì)量越大，系統(tǒng)剛度越小，系統(tǒng)的固有頻率越小。工作臺(tái)負(fù)載質(zhì)量對(duì)進(jìn)給系統(tǒng)固有頻率雖有影響，但不如螺母位置對(duì)進(jìn)給系統(tǒng)固有頻率的影響。

4 結(jié)語

(1)基于多目標(biāo)優(yōu)化方法單獨(dú)獲取各結(jié)合部虛擬材料模型參數(shù)的獲取方法計(jì)算量小，但操作繁雜，需要對(duì)各個(gè)結(jié)合部都進(jìn)行試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析與仿真模態(tài)計(jì)算。基于多目標(biāo)優(yōu)化方法整體獲取全部結(jié)合部虛擬材料模型參數(shù)的獲取方法計(jì)算量大，需要同時(shí)優(yōu)化全部結(jié)合部的參數(shù)，但操作簡(jiǎn)單，只需對(duì)滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)進(jìn)行一次試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析與仿真模態(tài)計(jì)算，并通過實(shí)驗(yàn)證明其獲取參數(shù)更為可靠。

(2)由于整體獲取法基于系統(tǒng)整機(jī)的固有頻率，故基于多目標(biāo)優(yōu)化方法整體獲取的結(jié)合部虛擬材料模型參數(shù)值都小于初值和單獨(dú)獲取法的獲取值。

(3)隨著螺母位置和工作臺(tái)負(fù)載質(zhì)量的改變，滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型具有時(shí)變特性。工作臺(tái)負(fù)載質(zhì)量對(duì)進(jìn)給系統(tǒng)固有頻率雖有影響，但不如螺母位置對(duì)進(jìn)給系統(tǒng)固有頻率的影響。