芻議中美小學(xué)“異分母分?jǐn)?shù)加減法”的異同點(diǎn)

吳哲棟 吳海青

數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)之一。培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑來解決問題。異分母分?jǐn)?shù)加減法是小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算的重要內(nèi)容之一，也是學(xué)生較難掌握的內(nèi)容。本文通過對(duì)美國(guó)Go Math教材（以下簡(jiǎn)稱“Go Math教材”）與北師大版教材中異分母分?jǐn)?shù)加減法內(nèi)容進(jìn)行比較分析，希望能給一線教師在教學(xué)該部分內(nèi)容時(shí)提供參考，同時(shí)對(duì)教材編寫者提出一些建議。

一、教材內(nèi)容編排相同點(diǎn)

1. 異分母分?jǐn)?shù)加減法均安排在五年級(jí)。Go Math教材與北師大版教材均把異分母分?jǐn)?shù)加減法內(nèi)容安排在五年級(jí)，北師大版教材安排在五年級(jí)下冊(cè)第一單元的第2至第10頁(yè);Go Math教材的五年級(jí)數(shù)學(xué)只有一本教材，共11單元，異分母分?jǐn)?shù)加減法安排在第六單元，從第241頁(yè)至第288頁(yè)。可以說，兩個(gè)版本教材異分母分?jǐn)?shù)加減法內(nèi)容安排的年級(jí)以及學(xué)習(xí)時(shí)間基本相同。

2. 控制分母的大小，降低計(jì)算難度。兩個(gè)版本教材異分母分?jǐn)?shù)加減法中的分母均以小于20的數(shù)為主，偶爾出現(xiàn)大于20的分母也是像60、80一類的整十?dāng)?shù)。 由于分母數(shù)字較小，求公分母通分的計(jì)算過程難度不大，重在引導(dǎo)學(xué)生理解算理及對(duì)計(jì)算方法的掌握。

3. 注重幾何直觀操作，在豐富學(xué)生數(shù)學(xué)體驗(yàn)與思維經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上理解算理。兩個(gè)版本教材均注重借助幾何直觀圖形，采用數(shù)形結(jié)合的方法，通過畫一畫、涂一涂等環(huán)節(jié)，把抽象內(nèi)容具象化，讓學(xué)生參與整個(gè)操作探究過程，達(dá)到理解算理的目的。如Go Math教材創(chuàng)設(shè)了長(zhǎng)方形面積模型，把長(zhǎng)方形看成“1”，如果平均分成二份，每一份就是，如果平均分成四份，每一份就是，把抽象的異分母分?jǐn)?shù)加法算式+轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖形面積的相加（圖1）。

北師大版教材設(shè)計(jì)了折紙活動(dòng)，學(xué)生通過畫一畫、折一折等具體操作，借助分?jǐn)?shù)的面積模型，體會(huì)異分母分?jǐn)?shù)+相加的意義和過程，幫助學(xué)生理解異分母分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算道理。

4. 均利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，注重知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，完善認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)。在學(xué)習(xí)異分母分?jǐn)?shù)加減法之前，學(xué)生們已經(jīng)掌握了同分母分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法，也就是“分母不變，分子相加減”。異分母分?jǐn)?shù)分母不同，分?jǐn)?shù)單位不同，要進(jìn)行加減，就必須把它們轉(zhuǎn)化成相同的分?jǐn)?shù)單位，然后再按同分母分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算，所以關(guān)鍵是怎么把異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)。兩個(gè)版本教材均提供了兩種通分方法，一是以兩個(gè)分母直接相乘的乘積為公分母;二是以兩個(gè)分母的最小公倍數(shù)為公分母。

5. 均注重計(jì)算教學(xué)與解決問題相結(jié)合。計(jì)算教學(xué)通常比較枯燥，兩個(gè)版本教材均創(chuàng)設(shè)了讓學(xué)生應(yīng)用異分母分?jǐn)?shù)加減法知識(shí)解決實(shí)際問題的情境，盡量做到情境的生動(dòng)有趣。如北師大版教材創(chuàng)設(shè)“折紙”“星期日的安排”等學(xué)生熟悉的情境;Go Math教材也創(chuàng)設(shè)了“設(shè)計(jì)種植花園”“制作餡餅烘焙義賣”以及“用殼珠子和玻璃珠子編織籃子活動(dòng)”等學(xué)生熟知的情境。

二、教材內(nèi)容編排不同點(diǎn)

1. Go Math教材本單元的內(nèi)容更多、范圍更廣、分得更細(xì)，北師大版教材更簡(jiǎn)潔明了。如北師大版教材的第一節(jié)“折紙（異分母分?jǐn)?shù)加減法）”，一般為一個(gè)課時(shí)，Go Math教材把這一內(nèi)容分成了五個(gè)課時(shí)來完成，分別是：第一節(jié)“異分母分?jǐn)?shù)加法”，第二節(jié)“異分母分?jǐn)?shù)減法”，第四節(jié)“公分母與相等分?jǐn)?shù)”以及第五節(jié)“異分母分?jǐn)?shù)加減法”。Go Math教材專門安排了一節(jié)“估算異分母分?jǐn)?shù)的和與差”內(nèi)容，利用一節(jié)課時(shí)間專門針對(duì)異分母分?jǐn)?shù)加減法進(jìn)行估算訓(xùn)練，這一點(diǎn)很獨(dú)特。另外，Go Math教材還涉及異分母帶分?jǐn)?shù)加減法（被減數(shù)的分?jǐn)?shù)部分比減數(shù)的分?jǐn)?shù)部分更小，需要借位進(jìn)行異分母帶分?jǐn)?shù)減法）、分?jǐn)?shù)數(shù)列的找規(guī)律的內(nèi)容，這些是北師大版教材中沒有的。

北師大版教材本單元只有三節(jié)新課，第一節(jié)“折紙” （異分母分?jǐn)?shù)加減法），第二節(jié)“星期日的安排”（異分母分?jǐn)?shù)的加減混合運(yùn)算），第三節(jié)“分?jǐn)?shù)王國(guó)”與“小數(shù)王國(guó)” （分?jǐn)?shù)與小數(shù)互化），內(nèi)容非常簡(jiǎn)潔明了。

2. 北師大版教材更注重知識(shí)間的層次性，Go Math教材更重視幾何模型的建構(gòu)。異分母分?jǐn)?shù)加減法有三種情況，一是分母互質(zhì)的分?jǐn)?shù)，二是分母具有倍數(shù)關(guān)系的分?jǐn)?shù)，三是分母具有相同因數(shù)的分?jǐn)?shù)。北師大版教材在第一節(jié)“折紙”的情境中出現(xiàn)的是+這種分母有倍數(shù)關(guān)系的分?jǐn)?shù);在“試一試”環(huán)節(jié)出現(xiàn)分母具有相同因數(shù)的分?jǐn)?shù);然后在練習(xí)中出現(xiàn)分母互質(zhì)的分?jǐn)?shù)。教材先在例題中安排最簡(jiǎn)單的分母有倍數(shù)關(guān)系的分?jǐn)?shù)，要求所有學(xué)生都能掌握;當(dāng)學(xué)生掌握了異分母分?jǐn)?shù)加減法后，在“試一試”安排最難的分母具有倍數(shù)關(guān)系的分?jǐn)?shù)，便于深入討論學(xué)習(xí)。最后在練習(xí)中出現(xiàn)分母互質(zhì)的分?jǐn)?shù)，讓學(xué)生體驗(yàn)完整的類型。整個(gè)安排由易到難，層次性很強(qiáng)，符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。

Go Math教材第一節(jié)“異分母分?jǐn)?shù)加法”及第二節(jié)“異分母分?jǐn)?shù)減法”，兩節(jié)內(nèi)容都是讓學(xué)生體驗(yàn)如何根據(jù)長(zhǎng)方形面積直觀模型及分?jǐn)?shù)的意義，利用畫圖方法得出異分母分?jǐn)?shù)加減法答案，而不是通過通分計(jì)算出答案。如異分母分?jǐn)?shù)減法“-”，Go Math教材分成三步完成教學(xué)。第一步，先把一個(gè)長(zhǎng)方形的面積看成整體“1”，在長(zhǎng)方形“1”下面分兩行分別畫出它的和。第二步，教學(xué)4和8有倍數(shù)關(guān)系，1個(gè)可以分成2個(gè)，所以3個(gè)就是可以分成6個(gè)，再減去1個(gè)。第三步，得出結(jié)論是5個(gè)，也就是。整個(gè)計(jì)算過程全部依據(jù)畫圖（圖2）的方法，利用幾何模型得出結(jié)果。

3. 北師大版教材中的問題更具啟發(fā)性，Go Math教材中的指引更具操作性。北師大版教材第一節(jié)“折紙”，教材中提出三個(gè)問題。第一個(gè)問題“他倆一共用了這張紙的幾分之幾”，引導(dǎo)學(xué)生去探究異分母分?jǐn)?shù)加法的算法和算理;第二個(gè)問題“笑笑比淘氣多用了這張紙的幾分之幾”，引導(dǎo)學(xué)生去探究異分母分?jǐn)?shù)減法的算法和算理;第三個(gè)問題“分母不同的分?jǐn)?shù)相加減怎樣計(jì)算？算一算，說一說”，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)異分母分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法。問題層次性非常強(qiáng)，一環(huán)扣一環(huán)，一步比一步更深入，學(xué)生依據(jù)問題的提示與引導(dǎo)就可以探究出異分母分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法。

Go Math教材通常是把問題的解決分成幾步來完成，每一步都很明確告知學(xué)生要做什么，學(xué)生按照步驟去做，就可以解決問題。如教學(xué)“估算+”，教材以填空的方式分三步進(jìn)行教學(xué)。第一步，用黑點(diǎn)在數(shù)線上標(biāo)出，在（0）和（）之間，更靠近（0），所以約等于（0）。第二步，用黑點(diǎn)在數(shù)線上標(biāo)出，在（0）和（）之間，更靠近（），所以約等于（）。第三步，“+”就變成“0+”，所以“+”的答案就約等于。

三、建議與反思

1. 兩個(gè)版本教材均注重幾何直觀操作，通過豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)體驗(yàn)與思維去理解算理;均重視引導(dǎo)學(xué)生利用轉(zhuǎn)化思想，讓學(xué)生懂得發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，以完善認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu);均注重計(jì)算教學(xué)與解決問題相結(jié)合。筆者認(rèn)為兩個(gè)版本教材的以上相同之處是當(dāng)今小學(xué)數(shù)學(xué)教育發(fā)展的趨勢(shì)，我們應(yīng)當(dāng)堅(jiān)持這個(gè)方向。

2. 控制分母的大小，降低計(jì)算難度，重在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)算理的理解及計(jì)算方法的掌握。這是前些年我國(guó)課改的方向，也是當(dāng)今世界數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)發(fā)展的方向，國(guó)內(nèi)教材已經(jīng)朝這個(gè)方向做得很好，這一點(diǎn)我們應(yīng)當(dāng)保持。

3. 一線教師經(jīng)常會(huì)遇到這種現(xiàn)象：部分學(xué)生知道怎么算異分母分?jǐn)?shù)加減法，但總是說不清或不完全理解算理。針對(duì)這種情況，筆者建議一線教師可以嘗試借鑒Go Math教材的幾何模型方法，讓學(xué)生多操作、多動(dòng)手畫一畫，把抽象的異分母分?jǐn)?shù)計(jì)算與直觀的幾何圖形聯(lián)系起來，既生動(dòng)又形象，學(xué)生自然就會(huì)理解算理，這么處理也符合這一年齡段學(xué)生的心理特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律。

4. 建議教材編寫者考慮增加“異分母分?jǐn)?shù)加減法的估算”這一內(nèi)容，這對(duì)學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行估計(jì)有積極作用，也是幫助學(xué)生形成數(shù)感的重要途徑。另外，Go Math教材中“異分母分?jǐn)?shù)加減法中的估算”采用數(shù)形結(jié)合的辦法，把抽象的估算與具體形象的數(shù)線圖結(jié)合起來，既使學(xué)生學(xué)會(huì)通過數(shù)形結(jié)合的方法，把抽象的估算轉(zhuǎn)化成直觀的數(shù)線圖，也能提升估算能力，形成數(shù)感。這些都是非常值得借鑒的地方。

（作者單位：香港理工大學(xué) 廣東省深圳市寶安區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 責(zé)任編輯：王振輝）