整合資源重變式，深化認知建模型

李麗萍

幾何圖形是現實物體的抽象。教學中教師應該將資源進行適當的整合，借助變式還原圖形的本質。練習的設計除基本的技能訓練外，還不能忽視對知識本質和解決問題方法的探尋。形成思維方式比單純地掌握公式更重要，建立模型比會用公式計算更重要。

一、抓住原型，感受知識聯系

有一道習題：如圖1，圓環的面積是628 cm2，陰影部分的面積是（? ）cm2。這道習題得分率僅為31.5%，可以引發我們的思考。

此題的原型（如圖2所示），已知圓的面積是21.98平方厘米，求正方形的面積是多少平方厘米？（已知單個圓的面積求正方形的面積）。如果認為此題需要結合逆向思維，可先解決“已知正方形的面積求圓的面積”。

這類題型學生最大的障礙在于怎么求出圓的半徑，但越是想要求出半徑，越無從下手。如何突破這個思維定勢？回到圖2，仔細觀察，正方形的邊長等于圓的半徑r，正方形的面積就等于r2。看來，求圓（正方形）的面積直接需要的條件是r2，而非r。把r2看作一個整體代入S圓=πr2。反過來，已知圓的面積求正方形的面積（r2）：r2=S圓÷π。

回到圓環這道題，同樣的道理：圖中外圓的半徑等于大正方形的邊長，內圓的半徑等于小正方形的邊長，陰影部分的面積可以表示為R2-r2，把R2-r2看作一個整體代入S環=π×（R2-r2）中求，得到S陰=S環÷π。

把“圓環”降為“圓”，不是簡單“兩個”變“一個”，這里體現著知識之間的內在聯系，在變與不變的思考辨析中，學生學會在變式中找到原型，在原型中發現解決這類題型的方法。

二、舉一反三，鞏固解題方法

從一題出發讓學生學會舉一反三，巧用整體代入法解決類似的問題。就如，教師可以提問：“這個正方形能不能換成其他圖形，這個方法還適用嗎？”在教師的引導下，學生想到可以用等腰三角形替換原來的正方形，此時只要抓住這個等腰三角形面積是原來正方形的，再用整體代入法來解決就簡單多了。

教師還可以出示變式題組，繼續引導學生發散思維。

（1）圖3，正方形的面積是12平方厘米，求陰影部分的面積（π=3.14，下同）。解題思路：S正=4r2=12→r2=3→S陰=3π=9.42 （cm2）。

（2）圖4，大正方形的面積是20平方厘米，求陰影部分的面積。解題思路：S正=4r2=20→r2=5→S陰=20-5π=4.3（ cm2）。

（3）圖5，已知陰影部分的面積是16平方厘米，求圓環的面積。解題思路：S陰=2R-2r2=16→R2-r2=8→S環=8π=25.12? （cm2）。

有同一維度的拔高，也有多個維度的提升，由淺入深，由表及里，讓學生在舉一反三中，發現其中的規律，達到突破難點的目的，培養學生的觀察、分析能力。

三、還原本質，促進認知深化

（一）分析錯因，返“璞”歸真

在學生的練習中，我們不難發現這樣的錯誤：S環=π×（R-r）2。教師需要幫助學生厘清形式相似的π×（R2-r2）和π×（R-r）2有什么本質上的不同。

回到生活中常見的箭靶，有9個圓環，雖然每個圓環的環寬一樣，但是從里往外，圓環的面積是越來越大。如果S環=π×（R-r）2的話，得到結果都相等，這就產生矛盾，所以兩個數的平方差和這兩個數差的平方是不同的。通過對錯因的分析，加深學生對圓環面積公式的理解，也使其明白在射箭比賽中為什么射中不同環的得分不一樣。

另外，部分學生還理不清外圓的半徑、內圓的半徑、環寬三者關系。如：蘇頌公園里有一個直徑6米的圓形噴水池，要在它的周圍鋪上1米寬的小路。求小路的面積是多少平方米？此題學生往往會這樣做：內圓的面積，3.14×（6÷2）2=28.26（m2）;外圓的直徑，6+1=7（m）;外圓的面積，3.14×（7÷2）2=38.465（m2）;圓環的面積：38.465-28.26=10.205（m2）。

學生的解題思路是沒有錯，錯在求外圓的直徑時忘了加另外一端的小路的寬度。現實中的“型”本質在于圖中的“形”，如果學生在做題時能夠借助“形”來輔助理解外圓的半徑=內圓的半徑+環寬、外圓的直徑=內圓的直徑+2條環寬，相信學生在碰到類似題時便不會再有困惑。

（二）借助史料，還原本質

學生受知識正遷移的影響，認為圓環的面積只能是外圓的面積減內圓的面積。還能轉化成什么？回顧圓的面積推導過程，我們利用“化曲為直”的方法，把圓的面積轉化為等面積的近似長方形，想象一下：圓環是不是也可以這樣拉直？在北師大版教材的“數學萬花筒”中有這樣的介紹，可以把一個由草繩編織成的圓形茶杯墊片，沿著半徑剪開后可拼成一個等腰三角形。圓環可以看作兩個同心圓，它們都轉化為三角形重疊在一起，相差部分就是梯形，上底是2πr（內圓的周長），下底是2πR（外圓的周長），高是R-r（半徑之差），梯形的面積就是圓環的面積。這個方法在我國古代數學專著《九章算術》中有記載：今有環田，中周九十二步，外周一百二十二步，徑五步。問田幾何。答曰：二畝五十五步。術曰：并中外周而半之，以徑乘之為積步。

四、拓展延伸，建立數學模型

在學生理解掌握了圓環的概念、圓環面積的計算之后，我們很有必要針對這類圖形建立數學模型，讓學生由感性認識提升到方法的概括。于是筆者設計這樣一組題型（如圖6）。學生通過計算每個圖形陰影部分面積后，歸納總結出計算方法的相同之處。這組題都不是圓環的面積，但用的方法跟求圓環的面積思路（大的面積-小的面積）是一樣的，從而拓展了計算組合圖形面積的一般方法，建立數學模型。

通過對一道習題的研究與思考，發現學生需要一個呈現知識及關系的平臺，來溝通知識間的內在聯系和深化認知;教師教學需要精選范例，關注變式，整合習題資源，還原知識本質，有效落實教學目標，用“做”悟“學”，立足思維起點并向深處邁進。

（作者單位：福建省廈門市同安區新城小學 責任編輯：王彬）