具有可變延時的四元數神經網絡的指數穩定性

徐曉惠，楊繼斌

（西華大學汽車測控與安全四川省重點實驗室，四川 成都 610039）

神經網絡在聯想記憶、優化問題求解、圖像處理等多個領域得到了越來越多的應用[1-3]，因此受到學者們的廣泛關注。按照信號的性質不同，神經網絡可分為實值神經網絡(Real-valued neural networks)、復值神經網絡(Complex-valued neural networks)及四元數神經網絡(Quaternion-valued neural networks)。對于特殊場合的應用，比如彩色圖像處理、陣列信號處理、風速預報等，實值神經網絡和復值神經網絡已經不能滿足需求，而四元數作為復數理論在某種意義上的擴展在這些方面具有極大的優勢[4]。由于乘法的不可交換性，四元數神經網絡的性質比實值神經網絡和復值神經網絡更為復雜，而平衡點穩定性的研究是神經網絡應用的前提條件；因此，四元數神經網絡的動態行為的研究引起了學者們的關注。文獻[5]研究了一類具有參數不確定性和脈沖干擾的四元數神經網絡的動態行為，并得到了確保系統魯棒穩定性的充分條件，然而在模型中沒有考慮神經元之間信號傳輸的延時問題。文獻[6 -7]在四元數神經網絡模型中引入了固定延時。考慮到系統神經元個數較多，且不同神經元之間的信號傳輸所需要的時間不斷變化；因此，文獻[8 -10]在不同類型的四元數神經網絡模型中引入了可變時滯。在研究四元數神經網絡的動態行為時有3 種主流的研究方法，分別為LMI 方法[9-12]、加權Lyaounov 函數方法[7,13-14]和Cauchy 收斂原理[15]。學者們[7,9,11-15]得到了判定系統穩定性的充分條件。文獻[7,9,11 -15]的穩定性條件中均含有自由變量，在實際應用時對自由變量的選擇很大程度上依賴于人們的經驗，選擇不當會導致其他參數選擇范圍變小，進而使得設計的系統較為保守。此外，矢量Lyapunov 函數法在分析神經網絡的動態行為時具有一定的優勢，如函數構造形式簡單、穩定性條件較為緊湊、無自由變量等。目前還沒有學者采用矢量Lyapunov 函數法對四元數神經網絡的穩定性進行研究。

基于以上分析，本文將在一類四元數神經網絡模型中考慮可變時滯后，利用矢量Lyapunov 函數法和M 矩陣相關性質，研究該系統在平衡點的全局指數穩定性，并得到保守性較低且形式緊湊的穩定性判據。

1 預備知識和模型描述

首先給出一些符號定義。令 R，C和 Q分別表示實數域，復數域和四元數域。

對于一個四元數z=z(0)+z(1)i+z(2)ι+z(3)κ ∈Q(z(q)∈R，q=0,1,2,3)。Re(z)=z(0)表示z的實部，Im(z)=z(1)i+z(2)ι+z(3)κ表示z的虛部，其中i，ι和κ分別代表虛數單位。

首先給出四元數的Hamilton’s 規則[15]：

對于兩個四元數，即z=z(0)+z(1)i+z(2)ι+z(3)κ ∈Q和y=y(0)+y(1)i+y(2)ι+y(3)κ ∈Q，加法和乘法運算規則分別如下：

本文考慮如下模型：

在系統(4)中，z(t)=(z1(t),z2(t),···,zn(t))T∈Qn代表神經元狀態向量，D=diag(d1,d2,···,dn)∈Rn×n表示自反饋連接矩陣，其中dm＞0，m=1,2,···,n。f(z(t))=(f1(z1(t)),f2(z2(t)),···,fn(zn(t)))T∈Qn代表神經元激活函數。A=(amj)n×n∈Qn×n和B=(bm j)n×n∈Qn×n為神經元之間的連接矩陣。J=(J1,J2,···,Jn)T∈Qn為外部輸入向量。τmj(t)表示神經元之間的傳輸延時，τmj(t)是有界函數且滿足τM=maxm,j∈{1,2,···,n}supt≥t0τmj(t)＞0(m,j=1,2,···,n)。

假設1激活函數fj(zj(·))滿足fj(0)=0。對于任意給定zj,yj∈Q，存在常數＞0 (q,q?=0,1,2,3,j=1,2,···,n)使得：

定義1若對于所有的J∈Qn和t≥t0，存在常數Γ ＞0和λ ＞0使得不等式Γexp(-λ(t-t0))成立，則平衡點～z是全局指數穩定的。

下面將系統(4)分解為1 個實部系統和3 個虛部系統：

其中：

2 穩定性條件

此時初始條件形式變為ψm(s)=φm(s)-(m=1,2,···,n)。顯然系統(12)—(15)的原點是指數穩定的，則系統(11)的平衡點為指數穩定的。

下面定義與系統(12)—(15)相關的4 個函數：

計算Vk(t,(t))k=1,2,···,n沿(13)的右上導數，并考慮到假設1，對所有，計算有：

注1：由式(5)可知：模型(4)中的激活函數在進行分解時滿足強耦合條件，而文獻[5,8 -9,11,16]中的激活函數滿足弱耦合條件，選擇激活函數時受到限制；因此，本文的假設條件更具有一般性。

注2：基于矢量Lyapunov 函數法和M 矩陣理論，定理1 以矩陣的形式給出了確保系統(4)指數穩定的充分條件。該判定矩陣中只包含系統自反饋系數、關聯矩陣和激活函數，不含有任何待定條件或自由變量，相對文獻[7,9,11 -15]中的穩定性條件，是一種較為直接的判據。此外，該判據形式緊湊且計算容易，在實際應用時更為方便和直觀。

3 數值仿真

考慮如下系統：

注3：文獻[15]也給出了判定系統(27)的解指數穩定的充分條件。將系統(27)的假設條件代入到文獻[16]的推論4 中的穩定性條件，其他參數同文獻[15]中的算例，計算結果如下：

圖1 系統(27)的狀態曲線

由上面計算結果可知，文獻[15]推論4 中的穩定性條件顯然是不成立的，因此根據推論4 無法判斷出系統(27)的穩定性。然而，根據仿真結果（見圖1）可以看出系統(27)的狀態曲線是收斂的，同時本文定理1 也判斷出了系統(27)的穩定性結論。因此，本文的穩定性條件給出的參數范圍更廣，具有更低的保守性。

4 結論

本文建立了一類具有可變時滯的四元數神經網絡的數學模型，在假定激活函數滿足強耦合條件的情況下，利用M 矩陣理論和矢量Lyapunov 函數法分析了該系統平衡點的全局指數穩定性，并給出了相關的穩定性判據。本文穩定性條件不僅形式簡單易于應用，并且具有較大的參數范圍。最后，本文通過給出的數值仿真算例驗證了所得結論的正確性和低保守性。