靈活選用二次函數表達式

2021-01-07 06:08:46文劉丹

關鍵詞：拋物線

文劉丹

二次函數是中考的熱點內容，其中用待定系數法確定二次函數的表達式也是我們必須掌握的方法。我們在求二次函數的表達式時，應根據題目給出的條件，靈活地選用不同的方法。

用待定系數法確定二次函數表達式的步驟：1.根據題目條件設出合適的函數表達式；2.把已知條件代入函數表達式；3.解方程（組）求出待定系數的值，從而寫出函數表達式。下面舉例說明，希望對同學們有幫助。

（下文中提到的a、b、c、h、k、x1、x2均為常數，a≠0）

一、利用y=ax2求二次函數表達式

當拋物線的頂點在原點時，通常選用y=ax2設表達式。

例1已知拋物線的頂點在原點，且點A（2，8）在拋物線上，求該拋物線的函數表達式。

解：設函數表達式為y=ax2，把A（2，8）代入，解得a=2，所以拋物線的表達式為y=2x2。

【總結】因為拋物線的頂點在原點，所以設拋物線的表達式為y=ax2，然后將已知的點坐標代入表達式即可求出a的值。

已知拋物線的頂點在y 軸上或是以y 軸為對稱軸時，可設函數表達式為y=ax2+k。

例2已知：拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為y軸，且過點A（0，-3）、B（2，0），求該拋物線的表達式。

解：由題可設拋物線的表達式為y=ax2-3，將B（2，0）代入表達式，得4a-3=0，可得a=則拋物線的表達式為

【總結】由于拋物線的對稱軸為y 軸，且過點A（0，-3），所以拋物線的頂點坐標為（0，-3），于是設拋物線的表達式為y=ax2-3，然后將B（2，0）代入求解即可。

如果二次函數的圖像頂點在x 軸上或最大（小）值為零時，可設它的表達式為y=a（xh）2，其頂點坐標為（h，0）。

例3如圖1，已知二次函數圖像頂點在x軸上，對稱軸為直線x=-2，且A（1，3）在函數圖像上，求它的表達式。

解：由題可設拋物線的表達式為y=a（x+2）2，將A（1，3）代入，得a（1+2）2=3，解得所以拋物線的表達式為

【總結】因為拋物線圖像頂點在x 軸上，對稱軸為x=-2，所以頂點坐標為（-2，0），由此可設拋物線的表達式為y=a（x+2）2，然后將點A（1，3）代入即可求出表達式。

已知拋物線圖像的頂點坐標為（h，k），一般可設拋物線表達式為y=a（x-h）2+k，然后根據其他條件確定a 的值。已知拋物線的對稱軸，即頂點的橫坐標；或已知拋物線的最大（小）值，即拋物線的最高（低）點的縱坐標，也可用此形式求二次函數的表達式。

例4已知二次函數圖像對稱軸為直線x=-1，且最大值為-3，同時圖像與y 軸的交點坐標為（0，-5），求該函數的表達式。

解：由題可設二次函數的表達式為y=a（x+1）2-3，將（0，-5）代入得a=-2，從而得拋物線的表達式為y=-2（x+1）2-3，即y=-2x2-4x-5。

【總結】若已知條件是圖像的頂點坐標或對稱軸方程與最大（小）值，可設拋物線表達式為y=a（x-h）2+k，再將已知條件代入，求出待定的系數。

已知拋物線與x 軸的交點的橫坐標時，通常設表達式為交點式，即y=a（x-x1）（x-x2）。

例5如圖2，在直角坐標系中，點A、B、C三點的坐標分別為（-1，0）、（3，0）、（0，3）。

（1）求過A、B、C三點的拋物線表達式；

（2）求出拋物線的對稱軸和頂點坐標。

解：（1）設拋物線的表達式為y=a（x+1）（x-3），將（0，3）代入得3=a（0+1）（0-3），解得a=-1，∴拋物線的表達式為y=-（x+1）（x-3），即y=-x2+2x+3。

（2）∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

∴對稱軸為直線x=1，頂點坐標為（1，4）。

【總結】當已知拋物線與x 軸的兩個交點坐標，且知道圖像上的另一個坐標時，通常設交點式y=a（x-x1）（x-x2）來求這個二次函數表達式。

當已知二次函數圖像上任意三點時，可設二次函數的表達式為y=ax2+bx+c，然后將三點坐標分別代入求出待定系數。一般來說，此方法計算比較繁瑣，只有當三點坐標不符合以上幾種情況時才使用。

例6已知二次函數中，函數y與自變量x的部分對應值如下表：

x y……-1 0 0 1 2 3-5-8-9-8……

求此二次函數表達式。

解：設二次函數表達式為y=ax2+bx+c，

∴二次函數表達式為y=x2-4x-5。

【總結】實際上根據表中的情況，我們還可以利用“頂點式”或“交點式”求解。有興趣的同學可以嘗試一下。