由線段最值引發的最值問題

文 張亞軍

最值問題是本章中的典型問題，也是難點問題。這類問題我們通常可以轉化為求線段的最值問題來解決。

例題如圖1，已知拋物線y=ax2-x-4（a≠0）的圖像與y 軸交于點C，與x 軸交于A、B兩點，B點坐標為（-2，0）。

（1）直接寫出a 的值和直線AC 的表達式；

（2）點P是拋物線上一動點，且在直線AC的下方，過點P作y軸的平行線，交線段AC于點H。

①求線段PH長的最大值；

②求S△PAC的最大值。

【解析】（1），由A（4，0）、C（0，-4），得直線AC的表達式為y=x-4。

（2）①求線段PH 長的最大值即求出線段PH長度的表達式。

∴當m=2時，PH的最大值是2。

【變式一】如圖3，若點P 是直線AC 下方的拋物線上的一個動點，作PD⊥AC于點D，求PD的最大值。

【方法一】∵△PHD 是等腰直角三角形，∴當PH 最大時，PD 最大，∴當PH=2時，PD有最大值，其最大值為。

【方法二】如圖4，過點P作PM∥AC，交y 軸于點M。求PD 最大值即轉化為求AC、PM 兩平行線之間距離的最大值。當PM與拋物線只有一個公共點時，PD 有最大值，即b2-4ac=0。求出直線PM 的關系式，再利用sin∠PMC=sin∠ACO，可求得PD 的最大值。

【變式二】如圖5，在例題（2）的條件下，以PH 為直徑的⊙M 與AC 的另一交點為E，連接PE。

（1）求PE的最大值；

（2）求劣弧EH弧長的最大值。

【解析】（1）∵△PEH 是等腰直角三角形，

∴當PH最大時，PE最大（同變式一）。

（2）當PH 最大時，劣 弧EH 弧長也最大。

∵PH最大值為2，

數學解題的過程，其實就是將問題不斷轉換、轉化的過程。把復雜問題轉化為求某一單項的問題，把不易求的轉化為容易求的問題。同學們需要具有睿智的數學眼光，很強的數學思維，用心感悟，日積月累，才能有所獲得。