由線段最值引發(fā)的最值問題

文 張亞軍

最值問題是本章中的典型問題，也是難點(diǎn)問題。這類問題我們通?？梢赞D(zhuǎn)化為求線段的最值問題來解決。

例題如圖1，已知拋物線y=ax2-x-4（a≠0）的圖像與y 軸交于點(diǎn)C，與x 軸交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0）。

（1）直接寫出a 的值和直線AC 的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在直線AC的下方，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交線段AC于點(diǎn)H。

①求線段PH長的最大值；

②求S△PAC的最大值。

【解析】（1），由A（4，0）、C（0，-4），得直線AC的表達(dá)式為y=x-4。

（2）①求線段PH 長的最大值即求出線段PH長度的表達(dá)式。

∴當(dāng)m=2時(shí)，PH的最大值是2。

【變式一】如圖3，若點(diǎn)P 是直線AC 下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PD⊥AC于點(diǎn)D，求PD的最大值。

【方法一】∵△PHD 是等腰直角三角形，∴當(dāng)PH 最大時(shí)，PD 最大，∴當(dāng)PH=2時(shí)，PD有最大值，其最大值為。

【方法二】如圖4，過點(diǎn)P作PM∥AC，交y 軸于點(diǎn)M。求PD 最大值即轉(zhuǎn)化為求AC、PM 兩平行線之間距離的最大值。當(dāng)PM與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，PD 有最大值，即b2-4ac=0。求出直線PM 的關(guān)系式，再利用sin∠PMC=sin∠ACO，可求得PD 的最大值。

【變式二】如圖5，在例題（2）的條件下，以PH 為直徑的⊙M 與AC 的另一交點(diǎn)為E，連接PE。

（1）求PE的最大值；

（2）求劣弧EH弧長的最大值。

【解析】（1）∵△PEH 是等腰直角三角形，

∴當(dāng)PH最大時(shí)，PE最大（同變式一）。

（2）當(dāng)PH 最大時(shí)，劣 弧EH 弧長也最大。

∵PH最大值為2，

數(shù)學(xué)解題的過程，其實(shí)就是將問題不斷轉(zhuǎn)換、轉(zhuǎn)化的過程。把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為求某一單項(xiàng)的問題，把不易求的轉(zhuǎn)化為容易求的問題。同學(xué)們需要具有睿智的數(shù)學(xué)眼光，很強(qiáng)的數(shù)學(xué)思維，用心感悟，日積月累，才能有所獲得。