再現二次函數軌跡

文 林 麗

例題如圖1，在平面直角坐標系中，點F的坐標是（4，2），點P為一個動點，過點P作x 軸的垂線PH，垂足為H，點P 在運動過程中始終滿足PF=PH。

（1）判斷點P 在運動過程中是否經過點C（0，5）；

（2）設動點P 的坐標為（x，y），求y 關于x的函數表達式，填寫下表，并在給定坐標系中畫出該函數的圖像；

0 2 4 6 8 ……xy……

（3）點C 關于x 軸的對稱點為C′，點P 在直線C′F 的下方時，求線段PF 長度的取值范圍。

【分析】（1）當P與C（0，5）重合，證明PH=PF即可解決問題。

（2）由PF2=PH2，再根據函數表達式即可解決問題。由題意，得y2=（x-4）2+（y-2）2，整理，得，∴函數表達式為2x+5。

（3）先求出直線FC′的表達式，再求出直線FC′與拋物線的交點坐標即可判斷。

【點評】本題考查了二次函數的性質、一次函數的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考壓軸題。

雖然本題始終未提及“二次函數”，但其卻是一道不折不扣的“二次函數”壓軸題。題目中的點P具有如下特征：到定點（F）的距離和到定直線（x 軸）的距離相等，從而得到點P運動的軌跡是拋物線。也就是說，二次函數可以看作是到定點距離等于到定直線距離的點的軌跡。

【延伸】二次函數圖像的頂點在原點O，經過點，點F（0，1）在y 軸上。直線y=-1與y軸交于點H。

（1）求二次函數的表達式；

（2）點P 是（1）中圖像上的點，過點P 作x軸的垂線與直線y=-1 交于點M，求證：FM 平分∠OFP；

（3）當△FPM 是等邊三角形時，求P點的坐標。

【分析】（1）根據題意，可設函數的表達式為y=ax2，將點A 代入函數表達式，求出a 的值，繼而可求得二次函數的表達式。

（2）過點P 作PB⊥y 軸于點B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF=PM，則∠PFM=∠PMF，再結合平行線的性質，可得出結論。

【點評】本題考查了二次函數的綜合應用，涉及待定系數法求函數表達式、角平分線的性質及等邊三角形的性質等知識。解決本題的關鍵是熟練掌握基本知識，應用數形結合，才能將所學知識融會貫通。

本題中，點P 到定點F 的距離和到定直線y=-1 的距離相等，同樣，點P 是拋物線y=-上的點，亦屬于軌跡類問題。

【新題】如圖3，以y 軸為對稱軸的拋物線與坐標軸交于點A（0，4）、B（4，0），y軸上有一定點C（0，3）,若點P 為拋物線在第一象限內的一動點。

（1）直接寫出拋物線的表達式；

（2）如圖4，連接PC、PB、BC，△PBC 面積的最大值是________；

（3）如圖5，若以P 為圓心，PC 為半徑的圓與x軸相切于點H，則P點坐標是______；

（4）如圖6，點D 坐標為（2，0），求△PDC的周長最小值。

【分析】（1）利用待定系數法求出函數表達式。

（2）過點P作x軸的垂線，交直線BC于點M，利用鉛垂高求三角形面積的最大值。

（3）當⊙P與x軸相切時，PC=PH，通過方程求出點P坐標。

（4）過P 作PH⊥x 軸于點H，易證PC+PH=5（定值），而DC 始終不變，從而得知當PD與x軸垂直時，△PDC的周長有最小值。

【點評】本題考查了待定系數法、鉛垂高求面積、二次函數性質、數形結合等知識，特別是第（4）小題，運用了拋物線的特殊點的特殊性質解決了動點最值問題。