巧用二次函數對稱性解決問題

2021-01-07 06:08:48文王寅

文王寅

拋物線的軸對稱性，是二次函數的一個重要特征，往往也是解題的關鍵。我們如果能夠熟練并巧妙地運用，可使解題變得輕松。

一、利用對稱性求點坐標

例1已知二次函數y=kx2-4kx+3k 圖像上有一點（3，2），則該點關于圖像對稱軸的對稱點的坐標為（）。

A.（2，3） B.（1，2）

C.（2，2） D.（1，3）

【分析】我們要求對稱點，就要先求出拋物線的對稱軸，然后利用對稱性求出另一點的坐標。

解：對稱軸為。設所求點的橫坐標為m，根據中點坐標公式可得，解得m=1。由對稱性可知縱坐標不變，所以所求點的坐標為（1，2）。故選B。

【點評】靈活利用配方法或公式求出對稱軸是解題的關鍵。本題還可以利用十字相乘法，將表達式轉化為交點式y=k（x-1）（x-3），求出對稱點的坐標。

例2若點A（2，y1）、B（-3，y2）、C（3，y3）三點在二次函數y=x2-4x-m 的圖像上，則y1、y2、y3的大小關系是（）。

A.y1＞y2＞y3B.y2＞y1＞y3

C.y2＞y3＞y1D.y3＞y1＞y2

【分析】找出圖像對稱軸，利用增減性求解。

解：配方得y=（x-2）2-4-m，所以對稱軸為x=2。因為a＞0，A 點橫坐標為2，所以A 為圖像頂點，即y1最小。根據對稱性，可得點C 關于對稱軸的對稱點C′的坐標為（1，y3），在對稱軸左側，y 隨x 增大而減小，所以y2＞y3，即y2＞y3＞y1。故選C。

【點評】借助拋物線的軸對稱性，把位于對稱軸兩側的點變換到同一側，這樣便于利用二次函數的增減性來進行比較。當然，本題也可直接代入求解。

例3已知拋物線y=ax2+bx+c 的部分圖像如圖1 所示，若y＞0，則x 的取值范圍是（）。

A.x＞1 B.x＜-1

C.-1＜x＜3 D.x＜-1或x＞3

【分析】函數圖像與x 軸有兩個交點，所以要先求出另一交點。

解：由圖可知，拋物線的對稱軸為x=1，一個交點為（-1，0），易求出另一交點為（3，0）。因為y＞0，所以根據圖像可知對應的取值范圍應為x 軸上方部分，即x＜-1或x＞3。故選D。

【點評】本題容易錯解為x＜-1，忽視對稱軸另一側的情況。數形結合思想是解決函數取值范圍的主要方法，如本題，若問當y＜0 時，求x 的取值范圍，則可根據圖像直接得到答案為-1＜x＜3。

例4如圖2，把拋物線平移得到拋物線m，拋物線m 經過點A（-6，0）和原點O（0，0），它的頂點為P，對稱軸與拋物線交于點Q，則圖中陰影部分面積為（）。

A.12 B.14 C.16 D.18

【分析】求不規則圖形面積應利用拼、割、補等方法轉化為規則圖形。

解：作QD⊥y軸于點D，設PQ 與x軸交于點C。由拋物線m 經過A（-6，0）、O（0，0），通過交點式可得m 的表達式為6）（x-0），即，所以圖像m 的對稱軸為x=-3，將x=-3 代入，得Q（-3，6），所以PC=QC，所以陰影部分面積可轉化為矩形CQDO面積，即3×6=18。故選D。

【點評】處理不規則圖形面積的關鍵是轉化。本題通過求出P、Q 兩點坐標，結合對稱性，將陰影部分面積轉化為矩形面積。

例5如圖3，拋物線分別交矩形ABCD 于F、E、A、D、C、B，若點A 的橫坐標為-1，則圖中陰影部分面積的和為（）。

【分析】已知的三個函數表達式都為y=ax2的形式，可知圖像頂點都為原點，對稱軸都為y 軸。可將右側陰影部分移至左側，即求矩形ABCD面積的一半。

解：由圖可知，點A在拋物線上，點B 在上，將x=-1 分別代入，得A所以則左側矩形面積為故選C。

【點評】解題的關鍵點是判斷各點所對應的拋物線。因為點B 所在拋物線開口向下，所以點B 在上；因為 |a |越大，拋物線開口越小，所以點A在上。

例6如圖4，已知點C（0，2）、D（4，2）、F（4，0）。問題：

（1）請利用尺規作出拋物線的對稱軸，想一想能有幾種作法；

（2）若拋物線對稱軸上有動點P，求PC+PO的最小值。

【分析】（1）根據C、D 兩點坐標，可知CD∥x 軸，作CD 的垂直平分線l，則l 即為拋物線的對稱軸。

（2）動點P 在對稱軸上，可找出點C（或點O）關于l的對稱點，利用線段垂直平分線性質，進行轉換。

解：（1）分別以點C、D 為圓心，大于為半徑畫弧，過兩弧上下交點作直線l，則直線l為拋物線的對稱軸。

（2）如圖5，連接OD，與l 交于點P，所以PC=PD，即PC+PO=PD+PO=OD。因為OC=2，CD=4，所以

【點評】問題（1）還可以利用矩形的對稱性質來解決，即連接CF、OD，過CF、OD的交點作x 軸的垂線，則垂線為拋物線的對稱軸。問題（2）是典型的“將軍飲馬”問題，可利用二次函數的對稱性得出點C 的對稱點為點D，根據線段垂直平分線性質轉化線段，構造三點共線，求出最小值。